2012届高考数学知识梳理复习题8.pdf
第第 1 1 讲讲 数列的概念数列的概念 知 识 梳理 1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.2.通项公式：如果数列an的第n项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即an f(n).3.递推公式：如果已知数列an的第一项（或前几项），且任何一项an与它的前一项an1（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即an f(an1)或an f(an1,an2)，那么这个式子叫做数列an的递推公式.如数列an中，a11,an 2an1，其中an 2an1是数列an的递推公式.4.数列的前n项和与通项的公式Sn a1 a2 an；anS1(n 1).S S(n 2)n1n5.数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6.数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.递增数列:对于任何nN,均有an1 an.递减数列:对于任何nN,均有an1 an.摆动数列:例如:1,1,1,1,1,.常数数列:例如:6,6,6,6,.有界数列:存在正数M使an M,nN.无界数列:对于任何正数M,总有项an使得an M.重 难 点 突 破 1.重点：理解数列的概念和几种简单表示方法；掌握数列的通项公式的求法.2.难点：用函数的观点理解数列.3.重难点：正确理解数列的概念，掌握数列通项公式的一般求法.求数列的通项、判断单调性、求数列通项的最值等通常应用数列的有关概念和函数的性质.问题 1：已知Sn是数列an的前n项和，Sn Sn1 an1(n N)，则此数列是()A.递增数列 B.递减数列 C.常数数列 D.摆动数列分析：将已知条件转化为数列项之间的关系，根据数列单调性作出判定.解析：Sn Sn1 an1，Sn1 Sn an(n 2)两式相减，得an an1 an1 an，an 0(n 2)当n 1时，a1(a1 a2)a2 a1 0，an 0(n N)，选 C.问题 2：数列an中，an是()A.a1,a50 B.a1,a44 C.a45,a44 D.a45,a50分析：由已知条件判定数列单调性，注意n的取值范围.解析：ann 2006，则该数列前 100 项中的最大项与最小项分别n 2007n 20062007 2006，1n 2007n 2007n1,44时，an递减；n45,时，an递减.结合图象，选 C.热 点 考 点 题 型 探 析考点 1 数列的通项公式题型 1 已知数列的前几项，求通项公式【例 1】求下列数列的一个通项公式：3,5,9,17,33,1,0,7246810,3 15 35 63 991,3,6,10,15,21,1,0,0,0,【解题思路】写出数列的通项公式，应注意观察数列中an和n的联系与变化情况，应特别注意：自然数列、正奇数列、正偶数列，(1)和相关数列，等差、等比数列，以及由它们组成的数列，从中找出规律性，并分别写出通项公式.n【解析】联想数列2,4,8,16,32,即数列2，可得数列的通项公式an 2 1；1315n n将原数列改写为,1 01 0 1 01 0,分母分别为1,2,3,4,5,分子分别为1 23 4 5 67 8(1)n11n(n 1)1,0,1,0,1,呈周期性变化，可以用sin，或cos，或表示.222sinannn 1cosn1(1)12（或a 2a，或）nn2nnn2n(2n 1)(2n 1)分子为正偶数列，分母为13,35,57,79,911,得an观察数列可知：a11,a21 2,a31 2 3,a41 2 3 4,a41 2 3 4,a51 2 3 4 5,an1 2 3 n 本题也可以利用关系式an an1 n求解.n(n 1)2【名师指引】联想和转换是由已知认识未知的两种有效的思维方法.求数列的通项公式，应运用观察、分析、归纳、验证的方法.易错之处在于每个数列由前几项找规律不准确，以及观察、分析、归纳、验证这四个环节做的不够多，应注意对每一数列认真找出规律和验证.题型 2 已知数列的前n项和，求通项公式【例 2】已知下列数列an的前n项和Sn，分别求它们的通项公式an.n2Sn 2n 3n；Sn 3 1.【解题思路】利用an（S1n 1)，这是求数列通项的一个重要公式.Sn Sn1(n 2)2【解析】当n 1时，a1 S1 21 31 5，22当n 2时，an Sn Sn1(2n 3n)2(n 1)3(n 1)4n 1.当n 1时，411 5 a1，an 4n 1.当n 1时，a1 S1 31 4，nn1n1当n 2时，an Sn Sn1(3 1)(31)23.当n 1时，23114(n 1)2 a1，an.n123(n 2)【名 师 指 引】任 何 一 个 数 列，它 的 前n项 和Sn与 通 项an都 存 在 关 系：S1(n 1)anS S(n 2)n1n若a1适合an，则把它们统一起来，否则就用分段函数表示.题型 3 已知数列的递推式，求通项公式【例 3】数列an中，a11,an2an 1(n2)，求a2,a3,a4,a5，并归纳出an.2an 1【解题思路】已知an的递推公式anf(an 1)求前几项，可逐步计算.【解析】a11,an2an 1(n2)，2an 1a2由2a32a12a22a42222，a3，a4，a5，2a132a242a352a462 2 2 2 22.,，可以归纳出an2 3 4 5 6n1【名师指引】由递推公式求通项，可以考虑“归纳猜想证明”的方法，也可以构造新数列.【新题导练】1.已知有穷数列：5,7,11,2n7，其中后一项比前一项大 2.求此数列的通项公式；4n9是否为此数列的项？【解析】设数列的第k项为ak，则ak52(k2)2k3令2n32k3kn2，故该数列的通项公式ak2k3(k1,2,3,n2)令4n92k3，解得k2n3，2n3n2，4n9不是有穷数列的项.22.数列an中，a1a2a3ann(nN)，求a3a5的值.2【解析】由a1a2a3ann(nN)，得2当n1时，a11；当n2时，a1a2a3an 1(n1)n292561(n2)两式相除，得an.，.a,aaa3535(n1)2416163.数列an中，a11,an 12an1，求a2,a3,a4,a5，并归纳出an.【解析】a11,an 12an1a22a113，a32a217，a42a3115，a52a4131由121,321,721,1521,3121,，可以归纳出an考点 2 与数列的通项公式有关的综合问题123452n1题型 1 已知数列通项公式，求项数及最大（最小）项2【例 4】数列an中，an n 5n 4.18是数列中的第几项？n为何值时，an有最小值？并求最小值.【解题思路】数列的通项an与n之间构成二次函数，可结合二次函数知识去探求.【解析】由n25n 4 18 n2 5n 14 0，解得n 7，18是数列中的第7项.an n25n 4 (n 529)，nN242n 2或n 3时，(an)min 2 42 5 2.【名师指引】利用二次函数知识解决数列问题时，必须注意其定义域n为正整数.题型 2 已知数列通项公式，判断数列单调性及有界性n2【例 5】数列an中，an2.n 1求数列an的最小项；判断数列an是否有界，并说明理由.【解题思路】转化为判断数列的单调性，即证an an1，或an an1；从“数列的有界性”定义入手.(n 1)2n22【解析】an1 an2(n 1)1n 1(n 1)2(n21)n2(n)212n 1 0222(n 1)1(n 1)(n 1)1an an1，数列an是递增数列，数列an的最小项为a11.2n21 121，数列an有界.an2n 1n【名师指引】数列是特殊的函数，判断函数的单调性、有界性的方法同样适用于数列.【新题导练】24.数列an中，an 3n 28n 1，求an取最小值时n的值.14193【解析】an 3n2 28n 1 3n，n 5时，an取最小值.3325.数列an中，an n n2 2，求数列an的最大项和最小项.an1n 1(n)2 2n n2 21，【解析】22ann n 2n 1(n 1)2又an n n2 2 0，an an1，数列an是递增数列数列an的最小项为a113，没有最大项.抢 分 频 道 基础巩固训练1.设数列2,5,2 2,11,14,，则4 2是这个数列的（）A第 9 项 B第 10 项 C第 11 项 D第 12 项【解析】C4 2 32 23(111)，选 C22.(2008 年华师附中)数列an的前n项和为Sn，且Sn 2Sn1 an,a2 1，则数列an的首项为（）A1或2 B1 C 2 D1或22【解析】DSn 2Sn1 an,a2 1中令n 1，得a1 2(a11)a1，a11或223.(2009 恩城中学)已知定义在正整数集上的函数f(x)满足条件：f(1)2，f(2)2,f(n2)f(n1)f(n),则f(2009)的值为（）A2 B 2 C4 D4【解析】B利用数列的周期性，周期为4，f(2009)f(5054 1)f(1)2.4.数列 2n 13n 1中数值最大的项是第项.【解析】35.(2009 恩城中学文)观察下式：1=1，2+3+4=3，3+4+5+6+7=5，4+5+6+7+8+9+10=7，则可得出一般结论 .【解析】n (n 1)(n 2)(3n 2)(2n 1).6.数列an中，an2 an1 an，a1 2,a2 5，则a2009的值是（）A2 B2 C5 D5【解析】C利用数列的周期性，除前 4 项后，周期为 6，a2009 a433861 a5 5.222222综合拔高训练7.(2009 恩城中学节选)已知数列an的首项a1数列an的通项公式【解析】由a112，其前n项和Sn n ann1求2122，Sn n an，Sn1(n1)an1，2ann1n 2，an1n122得：an Sn Sn1 n an(n1)an1，即，anaann1a1an1an2a3a2n1 n2a2a1n1n2 121，an4 3n(n1)n(n1)8.设数列an的第n项an是二次函数，a1 5,a215,a3 35，求a4.a b c 52【解析】设an an bn c，由4a 2b c 15 a 5,b 5,c 59a 3b c 35an 5n2 5n 5，a4 542 54 5 65.9n2 9n 29.数列an中，an.9n21求这个数列的第 10 项；99是否为该数列的项，为什么？100求证：an(0,1)；在区间,1 2内有无数列的项，若有，有几项？若无，说明理由.3 39n2 9n 23n 228【解析】an，；a1029n 13n 1313n 29999不是该数列的项.3n 299，无整数解，3n 11001003n 233an，nN，0 11，an(0,1)3n 13n 13n 11213n 22由 an，得3333n 13令an 2 3n 1 9n 6781 2 n，当且仅当n 2时，在区间,内有数列的项.633 39n 6 6n 2
