【例】每箱产品有件,其次品数从到是等可能的.pdf

北京领航考研名师铁军北京领航考研名师铁军 20062006 年考研数学预年考研数学预测测 3838 题题 31-3831-38【例 31】每箱产品有 10 件，其次品数从 0 到 2 是等可能的。开箱检验时，从中任取一件，如果检验为次品，则认为该箱产品不合格而拒收。由于检验误差，假设一件正品被误判为次品的概率为 2%，一件次品被漏查误判为正品的概率为10%。求：（1）检验一箱产品能通过验收的概率；（2）检验 10 箱产品通过率不低于 90%的概率【详解详解】（1）设=“一箱内有 i 件次品”，i=0，1，2。则A0,A1,A2两两不相容，其和为，构成一个完备事件组。设事件 B=“一箱产品通过验收”，B1=“抽到一件正品”。依题意，有；应用全概公式，得又由于 B1与为对立事件，再次应用全概公式有（2）由于各箱产品是否通过验收互不影响，则设10 箱产品中通过验收的箱数为X，X服从参数为 n=10，P=P(B)=0.892 的二项分布。【例32】设随机变量X 的密度函数为求随机变量的分布函数与密度函数。【详解详解】令，取非零值的范围为1，2。当时，有的分布函数Y 的密度函数为注意：本题中不是单调函数，不能直接用公式求解。此例表明，先考虑随机变量的取非零值的范围，然后在此范围内求分布函数值可以简化运算。至于取非零值范围之外的分布函数值，可以由分布函数的性质决定其为0 或 1。【例 33】袋中有只黑球，每次从中随意取出一球，并换入一个白球，如此交换共进行次。已知袋中白球数的数学期望为a，则第 n+1 次从袋中任取一球为白球的概率是【详解详解】依题意，袋中白球数是一个随机变量，X 可取 0，1，2，n，且若记 B=“第 n+1 次从袋中任取一球为白球”，=“第 n 次交换后袋中有个白球”=X=k。则由全概率公式，得【例 34】设一台机器上有 3 个部件，在某一时刻需要对部件进行调整，3 个部件需要调整的概率分别为且相互独立，任一部件需要调整即为机器需要调整。（1）求机器需要调整的概率；（2）记为需要调整的部件数，求期望、方差。【详解详解】设事件为机器要调整，记为第个部件需要调整，.（1）显然，则（根据事件的独立性知）.（2）求期望、方差有两种解法：解法一：解法一：先求的分布律，根据分布律再求数学期望和方差。据分布律再求数学期望和方差。根据的意义，显然有事件的记法如（1），并注意到事件之间的独立性，有=；.所以，解法二：解法二：可以不求的分布律，引进新的随机变量，利用期望、方差的性质求出期望、方差。现引进新的随机变量定义如下：因此我们有而服从分布，所以，又因为，且之间相互独立，所以.【评注评注】本题中解法二比解法一简单得多，这就是引进新的随机变量的好处，但如何引进新的随机变量是一个难点。一般在考研试题中，总是引进服从分布，用独立性和来简化计算。【例 35】假设一批共100 件产品，其中一、二、三等品分别为80，10，10 件。现在从中任抽取一件，记试求：（1）随机变量的联合分布；（2）随机变量的相关系数。【详解详解】引进事件由条件，知易见，有四个可能值：（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）又又；【例 36】生产线上源源不断地生产成箱的零件，假设每箱平均重 50 千克，标准差为 5 千克，若用最大载重量为 5 吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保证不超载的概率大于0.977？（）。【详解详解】以表示装运的第i 箱产品的实际重量，n 为所求箱数。由条件是独立同分布随机变量（但具体分布未知），因而总重量为 T=。由条件知.千克。又随机变量独立同分布且数学期望和方差都存在，故根据列维一林德伯格中心极限定理，只要n 充分大，随机变量T 就近似服从正态分布 N(50n,25n)。由题意知，所求n 应满足条件：当 n 充分大时变量近似服从N（0，1），可见，从而有.即最多只能装 98 箱。【例 37】设总体 X 为连续型随机变量，概率密度函数为，从该总体抽取容量为的简单随机样本。试求在曲线下方，统计量对应的统计值的右方的（曲边形）面积S 的数学期望。【详解详解】设为总体 X 的分布函数，则先求的分布函数 G（m）的概率密度 g(m)。M 的分布函数的概率密度因此，计算 S 的数学期望：【例 38】已知某种材料的抗压强度，现随机地抽取 10 个样品进行抗压试验，测得数据如下（单位：）：样本均值，样本方差.（1）求平均抗压强度的矩估计值；（2）求平均抗压强度的 95%的置信区间；（3）若已知，求的 95%的置信区间.【详解详解】（1）（2 2）设总体 XN（与均未知，则的置信水平为1-的置信区间为，其中.性质：.由题意知这里是未知的情况，用代替.而样本标准差，所以置信区间为，这里，所以.（3）若已知，则的置信区间为，这里，所以。