2013届高三数学 章末综合测试题(15)解析几何(1).pdf

2013 2013 届高三数学章末综合测试题（届高三数学章末综合测试题（1515）平面解析几何（）平面解析几何（1 1）一、选择题(本大题共 12 小题，每小题5 分，共60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知圆xyDxEy0 的圆心在直线xy1 上，则D与E的关系是()ADE2 CDE1BDE1 DDE222解析D依题意得，圆心 ，在直线xy1 上，因此有 1，即D2222E2.2以线段AB：xy20(0 x2)为直径的圆的方程为()A(x1)(y1)2C(x1)(y1)82222DEDEB(x1)(y1)2D(x1)(y1)82222解析B直径的两端点为(0,2)，(2,0)，圆心为(1,1)，半径为 2，圆的方程为(x1)(y1)2.3已知F1、F2是椭圆 y1 的两个焦点，P为椭圆上一动点，则使|PF1|PF2|取最4大值的点P为()A(2,0)B(0,1)C(2,0)D(0,1)和(0，1)解析D由椭圆定义，|PF1|PF2|2a4，|PF1|PF2|22x22|PF1|PF2|24，2当且仅当|PF1|PF2|，即P(0，1)或(0,1)时，取“”4已知椭圆1 的焦点分别是F1、F2，P是椭圆上一点，若连接F1、F2、P三点1625恰好能构成直角三角形，则点P到y轴的距离是()161625 A.B3 C.D.533解析A椭圆1 的焦点分别为F1(0，3)、F2(0,3)，易得F1PF2n0”是“方程mxny1 表示焦点在y轴上的椭圆”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件1 1解析C方程可化为 1，若焦点在y轴上，则 0，即mn0.11n m22x2y2mnx2y227 设双曲线221 的一条渐近线与抛物线yx1 只有一个公共点，则双曲线的离ab心率为()55A.B5 C.D.542解析D双曲线的渐近线为yx，由对称性，只要与一条渐近线有一个公共点bayx1，即可由byx，a2得xx10.2bab222240，即b4a，e 5.a8P为椭圆 1 上一点，F1、F2为该椭圆的两个焦点，若F1PF260，则PF1PF243()A3C2 3B.3D2x2y2601 2解析DSPF1F2btan3tan 30 3|PF1|PF2|sin 60，221|PF1|PF2|4，PF1PF24 2.2x2y2129设椭圆221(m0，n0)的右焦点与抛物线y8x的焦点相同，离心率为，则mn2此椭圆的方程为()A.C.1121614864x2x2y2y2B.D.1161216448x2x2y2y2c2，解析B抛物线的焦点为(2,0)，由题意得c1，m2m4，n12，方程为1.16122x2y210设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的 2 倍，则C的离心率为()A.2C2B.3D3x2y2x2y2解析B设双曲线C的方程为221，焦点F(c，0)，将xc代入22ababb4b2c222222 1 可得y2，|AB|2 22a，b2a，cab3a，e 3.aaa2x2y211已知抛物线y4x的准线过双曲线221(a0，b0)的左顶点，且此双曲线的ab2一条渐近线方程为y2x，则双曲线的焦距为()A.5C.32B2 5D2 3x2y2解析B抛物线y4x的准线x1 过双曲线221(a0，b0)的左顶点，aba1，双曲线的渐近线方程为yxbx.双曲线的一条渐近线方程为y2x，bab2，ca2b2 5，双曲线的焦距为 2 5.x2212已知抛物线y2px(p0)上一点M(1，m)(m0)到其焦点的距离为 5，双曲线 ya21 的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为()1A.91C.321B.41D.2解析A由于M(1，m)在抛物线上，m2p，而M到抛物线的焦点的距离为 5，根据抛物线的定义知点M到抛物线的准线x 的距离也为 5，1 5，p8，由此224可以求得m4，双曲线的左顶点为A(a，0)，kAM，而双曲线的渐近线方程为1appyx411，根据题意得，a.9a1aa二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上)13已知直线l1：axy2a10 和l2：2x(a1)y20(aR)，则l1l2的充要条件是a_.解析l1l2a1【答案】314直线l：yk(x3)与圆O：xy4 交于A，B两点，|AB|2 2，则实数k_.解析|AB|2 2，圆O半径为2，O到l的距离d 2 2 2.即14.714722222211，解得a.a13|3k|k21 2，解得k【答案】15过原点O作圆xy6x8y200 的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为_解析如图，圆的方程可化为(x3)(y4)5，|OM|5，|OQ|2552 5.在OQM中，11|QA|OM|OQ|QM|，222 5 5|AQ|2，|PQ|4.5【答案】416在ABC中，|BC|4，ABC的内切圆切BC于D点，且|BD|CD|2 2，则顶点A的轨迹方程为_解析以BC的中点为原点，中垂线为y轴建立如图所示的坐标系，E、F分别为两个切点则|BE|BD|，|CD|CF|，|AE|AF|.|AB|AC|2 2，点A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支(y0)，且a 2，c2，b 2，22方程为 1(x 2)22【答案】x2y2x2y22 1(x 2)2三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10 分)在平面直角坐标系中，已知圆心在直线yx4 上，半径为 2 2的圆C经过原点O.(1)求圆C的方程；(2)求经过点(0,2)且被圆C所截得弦长为 4 的直线方程解析(1)设圆心为(a，b)，ba4，则2ab22 2，2解得a2，b2，2故圆的方程为(x2)(y2)8.(2)当斜率不存在时，x0，与圆的两个交点为(0,4)，(0,0)，则弦长为4，符合题意；当斜率存在时，设直线为y2kx，2k2则由题意得，842，无解1k综上，直线方程为x0.18(12 分)(2011合肥一模)椭圆的两个焦点坐标分别为F1(3，0)和F2(3，0)，且椭圆过点1，3.2(1)求椭圆方程；6(2)过点，0作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M，N两点，A为椭圆的左顶点 试5判断MAN的大小是否为定值，并说明理由x2y2解析(1)设椭圆方程为221(ab0)，abab3，3由c 3，椭圆过点1，可得132221，a4ba4，解得2b1，222所以可得椭圆方程为 y1.4x226(2)由题意可设直线MN的方程为：xky，56xky，5联立直线MN和椭圆的方程：x4y1，22126422化简得(k4)yky0.525设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1y22564，y1y2k24512k，k244162又A(2,0)，则AMAN(x12，y1)(x22，y2)(k1)y1y2k(y1y2)0，525所以MAN.219(12 分)已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别为7 和 1.(1)求椭圆C的方程；|OP|(2)若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，e(e为椭圆离|OM|心率)，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线解析(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a，c，ac1，由已知，得ac7，a4，解得c3.椭圆方程为 1.167(2)设M(x，y)，P(x，y1)，其中x4,4，x2y2x2y2312由已知得22e，而e，xy4故 16(xy1)9(xy)，1127x由点P在椭圆C上，得y，162122222代入式并化简，得 9y112.点M的轨迹方程为y4 7(4x4)，32轨迹是两条平行于x轴的线段20(12 分)给定抛物线y2x，设A(a,0)，a0，P是抛物线上的一点，且|PA|d，试求d的最小值解析设P(x0，y0)(x00)，则y02x0，d|PA|22x0a2y02x0a22x0 x01a 2a1.2a0，x00，(1)当 0a0，此时有x00 时，dmin1a22a1a；(2)当a1 时，1a0，此时有x0a1 时，dmin 2a1.21(12 分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为 2，且过点(4，10)，点M(3，m)在双曲线上(1)求双曲线方程；(2)求证：点M在以F1F2为直径的圆上；(3)求F1MF2的面积解析(1)双曲线离心率e 2，设所求双曲线方程为xy(0)，则由点(4，10)在双曲线上，知4(10)6，双曲线方程为xy6.(2)若点M(3，m)在双曲线上，则 3 m6，m3，由双曲线xy6 知F1(2 3，0)，F2(2 3，0)，2MF1MF2(2 33，m)(2 33，m)m30，MF1MF2，故点M在以F1F2为直径的圆上1(3)SF1MF2|F1F2|m|2 3 36.222(12 分)已知实数m1，定点A(m,0)，B(m,0)，S为一动点，点S与A，B两点连1线斜率之积为2.22222222222m(1)求动点S的轨迹C的方程，并指出它是哪一种曲线；(2)当m 2时，问t取何值时，直线l：2xyt0(t0)与曲线C有且只有一个交点？(3)在(2)的条件下，证明：直线l上横坐标小于 2 的点P到点(1,0)的距离与到直线x2 的距离之比的最小值等于曲线C的离心率解析(1)设S(x，y)，则kSAy0y0，kSB.xmxmx22由题意，得222，即2y1(xm)xmmm1m1，y2轨迹C是中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆(除去x轴上的两顶点)，其中长轴长为 2m，短轴长为 2.(2)当m 2时，曲线C的方程为 y1(x 2)22xyt0，2由x2y1，22x222消去y，得 9x8tx2t20.22令64t362(t1)0，得t3.t0，t3.此时直线l与曲线C有且只有一个公共点(3)由(2)知直线l的方程为 2xy30，设点P(a,2a3)(a2)，d1表示P到点(1,0)的距离，d2表示P到直线x2 的距离，则d1a122a32 5a10a10，2d22a，2d15a10a10 d22aa22a25.a22a22a2令f(a)，a22则f(a)2a2a222a2a2a242a26a8.a234令f(a)0，得a.34当a 时，f(a)0；34当 a0.34d1f(a)在a 时取得最小值，即 取得最小值，3d2 mindd12245f，322，2又椭圆的离心率为 的最小值等于椭圆的离心率d1d2