2016届河北省衡水中学高三下学期五调考试数学(理)试题.pdf

数学试卷（理科）数学试卷（理科）第卷（共第卷（共 6060 分）分）一、选择题选择题：本大题共本大题共 1212 个小题个小题,每小题每小题 5 5 分分,共共 6060 分分.在每小题给出的四个选项在每小题给出的四个选项中，只有一项中，只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的.1.复数13i()1iA2iB2iC12iD12i2.已知集合A 1,3,m，B 1,m，AU B A，则m（）A0 或3B0 或 3 C1 或3D1 或 33.已知函数f(x)sin(x)cos(x)(xR)，则下列结论错误的是（）66A函数f(x)的最小正周期为B函数f(x)的图象关于直线x C函数f(x)的图象关于点(D函数f(x)在区间0,4.若y(x312对称6,0)对称5上是增函数121n)(nN*)的展开式中存在常数项，则常数项为（）xyA15 B20 C30 D120 x2ax,x 05.已知函数f(x)x，若不等式f(x)1 0在xR上恒成立，则实数a的2 1,x 0取值范围为（）A(,0B2,2C(,2D(0,26.执行如图所示的程序框图，则输出的S为（）A2 B11CD-3327.某种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了 1000 粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种 2 粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为（）A100 B200 C300 D4008.已知公比为 2 的等比数列an的前n项和为Sn，若a4a5a616，则S9（）A48 B128 C144 D146x2y29.点A为双曲线221(a 0,b 0)的右顶点，过右焦点F(1,0)且倾斜角为的直线ab6与直线x a交于点P，若APF为等腰三角形，则双曲线的离心率为（）A2 B2C3 D310.某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是（）2A28 B246 2C20 2 13D166 2 2 13x2y5 011.设实数x,y满足不等式组2x y7 0，若x,y为整数，则3x4y的最小值是（）x 0,y 0A13 B16 C17 D19f(x)12.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)f(x)2xe，若f(0)1，则函数的f(x)x取值范围为（）A(,0B2,0C0,1D0,2第卷（共第卷（共 9090 分）分）二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上）13.已知平面内点A(1,2)，点B(12,22)，把点B绕点A沿顺时针方向旋转点P，则点P的坐标为.14.抛物线y x与直线x 0、x 1及该抛物线在x t(0 t 1)处的切线所围成的图形面积的最小值为.o15.已知菱形ABCD的边长为3，且BAD 60，将ABD沿BD折起，使A,C两点2后得4间的距离为3，则所得三棱锥的外接球的表面积为.16.如图，在正方形ABCD中作如下操作，先过点D作直线DE1交BC于E1，记CDE11，第一步，作ADE1的平分线交AB于E2，记ADE22，第二步，作CDE2的平分线交BC于E3，记CDE33，第三步，作ADE3的平分线交AB于E4，记ADE44，以此类推，得数列1,2,3,L,n,L，若1为.12，那么数列n的通项公式三、解答题三、解答题（本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤算步骤.）17.（本小题满分 12 分）在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知（1）求cosC的值；（2）求sin B的值；（3）若b 3 3，求ABC的面积.18.（本小题满分 12 分）第 31 届夏季奥林匹克运动会将于2016 年 8 月 5 日21 日在巴西里约热内卢举行，下表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据（单位：枚）.b2 3，A3C.c3（1）根据表格中两组数据完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图，并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可）；（2）甲、乙、丙三人竞猜今年中国代表团和俄罗斯代表团中的哪一个获得的金牌数多（假设两国代表团获得的金牌数不会相等），规定甲、乙、丙必须在两个代表团中选一个，已知甲、乙猜中国代表团的概率都为43，丙猜中国代表团的概率为，三人各自猜哪个代表团55的结果互不影响.现让甲、乙、丙各猜一次，设三人中猜中国代表团的人数为X，求X的分布列及数学期望EX.19.（本小题满分 12 分）如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为 2 的正方形，四边形EFBD为等腰梯形，EF/BD，EF 1BD，平面EFBD平面ABCD.2（1）证明：DE/平面ACF；（2）若梯形EFBD的面积为 3，求二面角ABF D的余弦值.20.（本小题满分 12 分）已知点F(0,1)，直线l1:y 1，直线l1 l2于P，连接PF，作线段PF的垂直平分线交直线l2于点H，设点H的轨迹为曲线r.（1）求曲线r的方程；（2）过点P作曲线r的两条切线，切点分别为C,D.（）求证：直线CD过定点；（）若P(1,1)，过点P作动直线L交曲线r于点A,B，直线CD交L于点Q，试探究|PQ|PQ|是否为定值？若是，求出该定值；不是，说明理由.|PA|PB|21.（本小题满分 12 分）已知函数f(x)e ax 2ax1.（1）当a x21时，讨论f(x)的单调性；2（2）设函数g(x)f(x)，讨论g(x)的零点个数；若存在零点，请求出所有的零点或给出每个零点所在的有穷区间，并说明理由（注：有穷区间指区间的端点不含有和的区间）.请考生在请考生在 2222、2323、2424 三题中任选一题作答，三题中任选一题作答，如果多做，如果多做，则按所做的第一题记分则按所做的第一题记分.22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图，已知AB为圆O的一条直径，以端点B为圆心的圆交直线AB于C,D两点，交圆O于E,F两点，过点D作垂直于AD的直线，交直线AF于H点.（1）求证：B,D,H,F四点共圆；（2）若AC 2,AF 2 2，求BDF外接圆的半径.23.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：4(cossin)6，若以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系.（1）求圆C的参数方程；（2）在直角坐标系中，点P(x,y)是圆C上动点，试求x y的最大值，并求出此时点P的直角坐标.24.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知m,n都是实数，m 0，f(x)|x1|x2|.（1）若f(x)2，求实数x的取值范围；（2）若|mn|mn|m|f(x)对满足条件的所有m,n都成立，求实数x的取值范围.2衡水中学 20152016 学年度第二学期五调考试高三年级数学（理科）试卷答案一、选择题：CBCBC DBDAB BB12.解：由f(x)f(x)2xex2x得e(f(x)f(x)2x所以(e f(x)2xxxx21(x 1)2设e f(x)x c，由f(0)1得c 1，所以f(x)，则f(x)exex所以2xf(x)2,012f(x)x 1二、填空题：13.(1,0)14.16.n19 15.212611()n1或n1()n62122三、解答题：17.【解析】（1）因为A BC，A3C，所以B 2C.由正弦定理得：bc，sin BsinC所以2 32sin CcosCbsin B，即.3sinCcsinC又sinC 0.故化简得cosC 3.3（2）因为C(0,)，所以sinC 1cos C 1216，33所以sin B sin2C 2sin CcosC 2（3）因为B 2C，632 2.333所以cosB cos2C 2cos C 1 21，21313因为A BC，所以sin A sin(BC)sin BcosC cosBsinC2 23166().33339b2 3，b 3 3.c3因为所以c 9.211969 2bcsin A 3 3.22294所以ABC的面积S 18.【解析】（）两国代表团获得的金牌数的茎叶图如下中国68281123453 分43762俄罗斯432P(X 0)P(A)P(B)P(C)(1)2(1)55125P(X 1)P(ABC)P(ABC)P(ABC)44343191 C2(1)(1)(1)25555512543443561P(X 2)P(ABC)P(ABC)P(ABC)()2(1)C2(1)555551254348P(X 3)P(A)P(B)P(C)()255125故X的分布列为XP0212511912525612534812510 分EX 021956481112312 分12512512512551BD，得EF/OD,EF OD219.【解析】（）设AC、BD的交点为O，则O为BD的中点，连接OF由EF/BD,EF 所以四边形EFOD为平行四边形，故ED/OF3 分又ED 平面ACF,OF 平面ACF所以DE/平面ACF6 分（）方法一：因为平面EFBD 平面ABCD，交线为BD，AO BD所以AO 平面EFBD，作OM BF于M，连AMQ AO平面BDEF，AO BF，又OM AO=OBF 平面AOM，BF AM,故AMO为二面角ABF D的平面角.8 分取EF中点P，连接OP，因为四边形EFBD为等腰梯形，故OP BD因为S梯形EFBD所以OP 因为SFOB所以OM 11(EF BD)OP(2 2 2)OP 3221210222.由PF OB，得BF OF OP PF22211OBOP OM BF22OBOP2 103 1022，故AM OA OM10 分BF55所以cosAMO OM2AM3212 分3故二面角ABF D的余弦值为方法二：取EF中点P，连接OP，因为四边形EFBD为等腰梯形，故OP BD，又平面EFBD 平面ABCD，交线为BD，故OP平面ABCD，如图，以O为坐标原点，uuu ruuu ruuu r分别以OA，OB，OP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz.因为S梯形EFBD所以OP 11(EF BD)OP(2 2 2)OP 32222,A(2,0，0),B(0，2,0),C(2,0，0),F(0，,2)2uuu ruuu r20),BF (0,，2)因此AB (2,2，2设平面ABF的法向量为n (x,y,z)rr uuu r 2x2y 0rn AB 0n由r uuu，得，令z 1，则(2,2,1)r2y 2z 0nBF 02因为AO BD，所以AO平面EFBD，uuu r故平面BFD的法向量为OA (2,0,0)uuu r ruuu r rOAn2 22于是cos OA,n uuu rr OA n2222123由题意可知，所求的二面角的平面角是锐角，故二面角ABF D的余弦值为212 分320.【解析】（）由题意可知，|HF|=|HP|，点 H 到点 F（0，1）的距离与到直线 l1：y=1 的距离相等，点 H 的轨迹是以点 F（0，1）为焦点，直线 l1：y=1 为准线的抛物线点 H 的轨迹方程为 x2=4y2 分（）（）证明：设 P（x1，1），切点 C（xC，yC），D（xD，yD）1211x，得yx直线 PC：y1xC(x x1)，422121121又 PC 过点 C，yCxC，yc1xc(x x1)xcxcx1，424211yc1 2ycxcx1，即xcx1 yc1 0221同理xDx1 yD1 0，21直线 CD 的方程为xx1 y1 0直线 CD 过定点（0，1）6 分21（）由（）（）P（1，1）在直线 CD 的方程为xx1 y1 0，21得 x1=1，直线 CD 的方程为x y1 02由y 设 l：y+1=k（x1），与方程142k设A(xA,yA)，B(xB,yB)x y1 0联立，求得xQ22k 1联立 y+1=k（x1）与x2 4y，得x24kx4k 4 0，由根与系数的关系，得xA xB 4kxAxB 4k 4xQ1,xA1,xB1同号，|PQ|PQ|11|PQ|()|PA|PB|PA|PB|11k2(11)|xA1|xB1|1k2|xQ1|xQ1|(11)|xA1|xB1|(xA xB242k1)2k 1(xA1)(xB1)54k 2 22k 15|PQ|PQ|为定值，定值为 2.12 分|PA|PB|x21.【解析】（）当a=1时，f(x)=e x1易知f(x)在R上单调递增，且f(0)0，因此，当x 0时，f(x)0；当x 0时，f(x)0故f(x)在(,0)单调递减，在(0,)单调递增4 分（）由条件可得g(x)e 2ax2a，g(x)e 2a（i）当a 0时，g(x)e 0，g(x)无零点（ii）当a 0时，g(x)0，g(x)在R上单调递增xxxg(0)12a,g(1)e 0若12a 0，即a 若12a 0，即a 1时，g(0)12a 0，g(x)在(0,1)上有一个零点21时，g(0)0，g(x)有一个零点022a12a2a11若12a 0，即0 a 时，g()e2a2 2a11 0，g(x)在,0上有一个2a零点8 分（iii）当a 0时，令g(x)0，得x ln(2a)；令g(x)0，得x ln(2a)所以g(x)在,ln(2a)单调递减，在ln(2a),单调递增，g(x)min g(ln(2a)2aln(2a)2e2 a 0时，g(x)0，g(x)无零点若ln(2a)2 0，即2e2若ln(2a)2 0，即a 时，g(2)0，g(x)有一个零点22e2若ln(2a)2 0，即a 时，g(1)e 0，g(ln(2a)0，g(x)在1,ln(2a)2有一个零点；10 分设h(x)e x(x 1)，则h(x)e 2x，设u(x)e 2x，则u(x)e 2，当x 1时，u(x)e 2 e2 0，所以u(x)h(x)在1,)单调递增，xx2xxxh(x)h(1)e2 0，所以h(x)在1,)单调递增，h(x)h(1)e1 0，即x 1时，ex x2，故g(x)x22ax2a设k(x)ln x x(x 1)，则k(x)11 x1 0，所以k(x)在1,)单调递减，xxk(x)k(1)1 0，即x 1时，lnx xe2因为a 时，2a e21，所以ln(2a)2a，2又g(2a)(2a)2a(2a)2a 2a 0，g(x)在ln(2a),2a上有一个零点，2故g(x)有两个零点e2综上，当a 时，g(x)在1,ln(2a)和ln(2a),2a上各有一个零点，共有两个零2e2e21点；当a 时，g(x)有一个零点2；当 a 0时，g(x)无零点；当0 a 时，22211 2a1当a 时，g(x)有一个零点0；当a 时，g(x)在g(x)在,0上有一个零点；222a(0,1)上有一个零点.12分（22）（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明讲证明:()Q AB为圆O的一条直径；BF FH,DH BDB,D,H,F四点共圆4 分解：()AH与圆B相切于点F，由切割线定理得AF AC AD，即2 2解得AD 4，所以BD 22 2AD，1AD AC1,BF BD 1，2DHAD又AFB:ADH，则，得DH 2，BFAF连接BH，由（1）知BH为BDF的外接圆直径，BH BD DH 3，故BDF的外接圆半径为22310 分2（23）（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程2解：（）因为 4(cossin)6，所以x y 4x 4y 6，2222所以x y 4x4y 6 0，即(x2)(y 2)2为圆 C 的普通方程22所以所求的圆 C 的参数方程为x 22cosy 22sin(为参数)5 分（）由（）可得，x y 42(sincos)42sin(当4)4时，即点P的直角坐标为(3,3)时，x y取到最大值为 6.10 分（24）（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲32x,x 132x 2x 2解：()f(x)1,1 x 2由f(x)2得或，x 12x3 22x3,x 2解得x 1515或x.故所求实数x的取值范围为(,)(,).5 分2222（）由mn mn m f(x)且m 0得mn mnm f(x)又mn mnmmnmnm1252 2f(x)2.1 52 2f(x)2的解集为(,)(,)，f(x)2的解集为,，所求实数x的取值范围为,.10 分1 52 2