高中物理人教版选修35 16.4完全非弹性碰撞动能损失最大的证明和一动一静下碰后速度的取值范围.pdf

高中物理人教版选修高中物理人教版选修 3535 16.416.4 完完全非弹性碰撞动能损失最大的全非弹性碰撞动能损失最大的证明和一动一静下碰后速度的证明和一动一静下碰后速度的取值范围取值范围第 2 页第 3 页求解：一动碰一静，碰后两球速度的取值范围。求解：一动碰一静，碰后两球速度的取值范围。由动量守恒：由动量守恒：m m1 1 v v0 0=m m1 1 v v1 1+m m2 2 v v2 2（1 1）1 11 11 12 22 22 2能量关系：能量关系：m m1 1v v0 0 m m1 1v v1 1 m m2 2v v2 2 Q Q（2 2）（Q Q 为过程中损失的机械能）为过程中损失的机械能）2 22 22 2由（由（1 1）得：）得：v v1 1 v v0 0-m m2 2v v2 2（3 3）m m1 12 2将（将（3 3）带入（）带入（2 2）式：）式：m m1 1v v0 0 m m（1 1v v0 0-2 2m m2 22 22 2v v2 2）m m2 2v v2 2 2 2Q Q，整理可得：，整理可得：m m1 1m mv v2 2(m m2 2 2 2)-2 2m m2 2v v0 0v v2 2 2 2Q Q 0 0（4 4）m m1 12 2-b b b b2 2-4 4acac根据求根公式：根据求根公式：x x 可得：可得：2 2a am m1 1v v0 0(m m2 2v v0 0)2 2-2 2m m2 2(m m1 1 m m2 2)Q Qm m1 1将将 v v2 2带入（带入（3 3）式，可得：）式，可得：v v1 1 m m1 1 m m2 2m m1 1v v0 0-(m m1 1v v0 0)2 2-讨论根的合理性：若：讨论根的合理性：若：v v2 2 2 2m m2 2(m m1 1 m m2 2)m m1 1v v0 0(m m2 2v v0 0)-Q Qm m1 12 22 2m m1 1(m m1 1 m m2 2)Q Qm m2 2m m1 1 m m2 2，则，则，v v1 1 m m1 1 m m2 2，v v1 1速度方向与原方向相同，且大于速度方向与原方向相同，且大于 v v2 2，不符合，不符合碰撞的合理性原则，将这组根舍去。碰撞的合理性原则，将这组根舍去。m m1 1v v0 0(m m1 1v v0 0)2 2-2 2m m1 1(m m1 1 m m2 2)Q Qm m2 2结论：结论：v v2 2 m m1 1 m m2 22 2m m2 2(m m1 1 m m2 2)Q Qm m1 1（5 5），m m1 1v v0 0-(m m2 2v v0 0)2 2-v v1 1 m m1 1 m m2 2（6 6）讨论损失机械能讨论损失机械能 Q Q 与速度的取值范围：与速度的取值范围：（5 5）（6 6）式可得）式可得 m m1 1、m m2 2，v v0 0一定时，对于不同类型的碰撞，一定时，对于不同类型的碰撞，Q Q 将不同：将不同：弹性碰撞时弹性碰撞时 Q Q=0=0，带入（，带入（5 5）（6 6）可得：）可得：v v2 2 2 2m m1 1v v0 0m m-m m2 2v v0 0，v v1 1 1 1m m1 1 m m2 2m m1 1 m m2 2当发生完全非弹性碰撞时，可由上篇证明得到，当发生完全非弹性碰撞时，可由上篇证明得到，Q Q 的最大值：的最大值：第 4 页m m m m v v1 11 1(m m1 1v v0 0)2 22 2Q Qm m m m1 1v v0 0-1 12 20 0（7 7）2 22 2 m m1 1 m m2 22 2(m m1 1 m m2 2)在这里，从另一个角度来确定在这里，从另一个角度来确定 Q Q 的最大值，由（的最大值，由（5 5）（6 6）碰撞一定存在一个合理的）碰撞一定存在一个合理的 v v1 1与与v v2 2，即：，即：2 2(m m1 1v v0 0)2 2-2 2m m1 1(m m1 1 m m2 2)Q Q 0 0（8 8）m m2 22 2m m2 2(m m1 1 m m2 2)Q Q 0 0（9 9）m m1 12 2(m m2 2v v0 0)2 2-m m m m v v不等式（不等式（8 8）（9 9）式化简后实为同一不等式，有共同的解：）式化简后实为同一不等式，有共同的解：Q Q 1 12 20 0，2 2(m m1 1 m m2 2)m m m m v v可得，损失机械能的最大值：可得，损失机械能的最大值：Q Qm m 1 12 20 0，此时，此时v v1 1=v v2 2，即发生了完全非弹性碰撞，即发生了完全非弹性碰撞，2 2(m m1 1 m m2 2)此时机械能损失最大（一动碰一静的情况下符合证明的结论。此时机械能损失最大（一动碰一静的情况下符合证明的结论。）22 2m m v结论：对结论：对0 Q 120，故在（，故在（5 5）（6 6）式中）式中 Q Q 越大，越大，v v1 1越大，越大，v v2 2越小。故越小。故 v v1 1、v v2 2的取的取2(m1 m2)值范围为：值范围为：其中：其中：弹性碰撞时，弹性碰撞时，Q Q=0=0，v v1 1最小，最小，v v2 2最大：最大：v1m1-m22m1v0v0，v2m1 m2m1 m2完全非弹性碰撞时，完全非弹性碰撞时，Q Q 最大，最大，v v1 1最大，最大，v v2 2最小：最小：v1 v2m1v0m1 m2第 5 页