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概率论与数理统计浙大四版习题答案第二章最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除第二章随机变量及其分布1.一 一袋中有 5 只乒乓球，编号为 1、2、3、4、5，在其中同时取三只，以 X表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量 X的分布律解：X可以取值 3，4，5，分布律为P(X 3)P(一球为3号,两球为1,2号)21C23C511021C33C5P(X 4)P(一球为4号,再在1,2,3中任取两球)310610P(X 5)P(一球为5号,再在1,2,3,4中任取两球)21C43C5也可列为下表X：3，4，5P：1,3,61010 103.三 设在 15 只同类型零件中有 2 只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以 X表示取出次品的只数，（1）求 X的分布律，（2）画出分布律的图形。解：任取三只，其中新含次品个数 X可能为 0，1，2 个。P(X 0)3C133C1522351235135P(X 1)12C2C133C1521C2C133C15PP(X 2)再列为下表X：0，1，2P：22,12,1353535O12x精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除4.四 进行重复独立实验，设每次成功的概率为 p，失败的概率为 q=1p(0pY)=P(X=1,Y=0)+P(X=2,Y=0)+P(X=2,Y=1)+P(X=3)P(Y=0)+P(X=3)P(Y=1)+P(X=3)P(Y=2)=P(X=1)P(Y=0)+P(X=2,Y=0)+P(X=2,Y=1)+P(X=3)P(Y=0)+P(X=3)P(Y=1)+P(X=3)P(Y=2)12=C30.6(0.4)2(0.3)3C3(0.6)20.4(0.3)821C3(0.6)20.4C30.7(0.3)2(0.6)31(0.3)3(0.6)3C30.7(0.3)2(0.6)32C3(0.7)20.3 0.2439.十 有甲、乙两种味道和颜色极为相似的名酒各 4杯。如果从中挑 4杯，能将甲种酒全部挑出来，算是试验成功一次。（1）某人随机地去猜，问他试验成功一次的概率是多少？（2）某人声称他通过品尝能区分两种酒。他连续试验 10次，成功 3次。试问他是猜对的，还是他确有区分的能力（设各次试验是相互独立的。）解：（1）P(一次成功)=141C870精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除1693（2）P(连续试验 10 次，成功 3 次)=C10()3()770703。此概率太10000小，按实际推断原理，就认为他确有区分能力。九 有一大批产品，其验收方案如下，先做第一次检验：从中任取 10件，经验收无次品接受这批产品，次品数大于 2拒收；否则作第二次检验，其做法是从中再任取 5件，仅当 5 件中无次品时接受这批产品，若产品的次品率为 10%，求（1）这批产品经第一次检验就能接受的概率（2）需作第二次检验的概率（3）这批产品按第 2次检验的标准被接受的概率（4）这批产品在第 1次检验未能做决定且第二次检验时被通过的概率（5）这批产品被接受的概率解：X表示 10 件中次品的个数，Y 表示 5 件中次品的个数，由于产品总数很大，故 XB（10，0.1），YB（5，0.1）（近似服从）（1）P X=0=0.9100.34921（2）P X2=P X=2+P X=1=C100.120.98 C100.10.99 0.581（3）P Y=0=0.950.590（4）P 0X2，Y=0 =P 0X2P Y=0 =0.5810.5900.343（5）P X=0+P 0X2，Y=00.349+0.343=0.69212.十三 电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为 4 的泊松分布，求（1）每分钟恰有 8次呼唤的概率法一：法二：表）。=0.0511340.021363=0.029771（2）每分钟的呼唤次数大于 10的概率。精品好资料-如有侵权请联系网站删除(010)=P(X 11)=0.002840（查表计算）PX 3 PX 4 0.566530十二(2)每分钟呼唤次数大于 3 的概率。十六 以 X表示某商店从早晨开始营业起直到第一顾客到达的等待时间（以分计），X 的分布函数是0.4x,x 0FX(x)1 ex 00求下述概率：（1）P至多 3 分钟；（2）P 至少 4 分钟；（3）P3分钟至 4分钟之间；（4）P至多 3 分钟或至少 4分钟；（5）P恰好 2.5 分钟解：（1）P至多 3分钟=P X3=FX(3)1e1.2（2）P 至少 4分钟 P(X 4)=1 FX(4)e1.6（3）P3 分钟至 4分钟之间=P 3X4=FX(4)FX(3)e1.2 e1.6（4）P至多 3分钟或至少 4分钟=P至多 3 分钟+P至少 4分钟 =1 e1.2 e1.6（5）P恰好 2.5分钟=P(X=2.5)=00,x 1,18.十七 设随机变量 X的分布函数为FX(x)ln x,1 x e,，1,x e.求（1）P(X2),P 0X3,P(2X52)；（2）求概率密度 fX(x).解：（1）P(X2)=FX(2)=ln2，P(0X3)=FX(3)FX(0)=1，P(2 X 5555 FX()FX(2)ln ln2 ln22241,1 x e,（2）f(x)F(x)x0,其它20.十八（2）设随机变量X的概率密度f(x)为精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除21 x2（1）f(x)01 x 1其它0 x 1 x（2）f(x)2 x1 x 2其他0求 X的分布函数 F(x)，并作出（2）中的 f(x)与 F(x)的图形。解：当1x1 时：22112F(x)0 dx 1 x2dx x 1 xarcsin x1221111x 1 x2arcsin x 21xX11x当 1x时：F(x)0 dx 21 x2dx 0 dx 111故分布函数为：0 x 1 111F(x)x 1 x2arcsin x 1 x 1211 x解：（2）F(x)P(X x)f(t)dtx当x 0时,F(x)x0 dt 0 x2当0 x 1时,F(x)0 dt t dt 020 x当1 x 2时,F(x)当2 x时,F(x)00 dt 10t dt x1(2 t)dt 2x x12200 dt 10t dt 21(2 t)dt x20 dt 1故分布函数为0 x2F(x)222x x121x 00 x 11 x 22 x精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除（2）中的 f(x)与 F(x)的图形如下012x012xf(x)F(x)22.二十 某种型号的电子的寿命 X（以小时计）具有以下的概率密度：1000 x 1000f(x)x2其它0现有一大批此种管子（设各电子管损坏与否相互独立）。任取 5只，问其中至少有 2只寿命大于 1500 小时的概率是多少？解：一个电子管寿命大于 1500小时的概率为P(X 1500)1 P(X 1500)11(122)331500100010001000(1)1500dx 1x1000 x2令 Y 表示“任取 5只此种电子管中寿命大于 1500 小时的个数”。则2Y B(5,)，321 11P(Y 2)1 P(Y 2)1P(Y 0)P(Y 1)1()5C5()()433315211232112432433523.二十一 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 X（以分计）服从指数分布，其概率密度为：精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除x15FX(x)5e,x 00,其它某顾客在窗口等待服务，若超过 10分钟他就离开。他一个月要到银行5次。以 Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出 Y 的分布律。并求 P（Y1）。解：该顾客“一次等待服务未成而离去”的概率为15P(X 10)fX(x)dx edx e510 e21051052k25k因此Y B(5,e2).即 P(Y k)ke(1 e),(k 1,2,3,4,5 15P(Y 1)1 P(Y 1)1 P(Y 0)1(1 e2)51(1)1(1 0.1353363)57.3891 0.867751 0.4833 0.5167.xx 24.二十二 设 K 在（0，5）上服从均匀分布，求方程4x2 4xK K 2 0有实根的概率1K 的分布密度为：f(K)5 000 K 5其他要方程有根，就是要 K 满足(4K)244(K+2)0。解不等式，得 K2时，方程有实根。P(K 2)2f(x)dx 51dx 2550 dx 3525.二十三 设 XN（3.22）（1）求 P(2X5)，P(4)2，P(X3)若 XN（，2），则 P(X)=P(2X5)=5 3 2 3=(1)(0.5)22 =0.84130.3085=0.5328精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除P(42)=1P(|X|2)=1P(2 P3)=1P(X3)=13 3=10.5=0.52（2）决定 C 使得 P(X C)=P(XC)得又P(X C)=1P(XC)=P(XC)P(XC)=1=0.52P(XC)=C 3 C 3 0 0.5,查表可得22 C=326.二十四 某地区 18岁的女青年的血压（收缩区，以 mm-Hg计）服从N(110,122)在该地区任选一 18岁女青年，测量她的血压 X。求（1）P(X105)，P(100 x)x 110 x 110)0.05()0.95.1212x 110查表得1.645.x 11019.74 129.74.故最小的X 129.74.12(2)P(X x)1 P(X x)1(精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除27.二十五 由某机器生产的螺栓长度（cm）服从参数为=10.05，=0.06的正态分布。规定长度在范围 10.050.12 内为合格品，求一螺栓为不合格的概率是多少？设螺栓长度为 XPX 不属于(10.050.12,10.05+0.12)=1P(10.050.12X10.05+0.12)=1(10.05 0.12)10.05(10.05 0.12)10.05 0.060.06 =1(2)(2)=10.97720.0228 =0.045628.二十六 一工厂生产的电子管的寿命 X（以小时计）服从参数为=160，(未知)的正态分布，若要求 P(120X200=0.80，允许最大为多少？P(120X200)=200 160 120 160 40 40 0.80 又对标准正态分布有(x)=1(x)40 40 0.80 上式变为1 解出40 40 0.9便得:再查表，得401.281 4031.251.28130.二十七 设随机变量 X的分布律为：X：2，P：1，51，6 0，5151，113031，1，1，求 Y=X2的分布律精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 Y=X2：(2)2(3)2P：15 (1)2(0)2(1)211111651530再把 X2的取值相同的合并，并按从小到大排列，就得函数 Y 的分布律为：Y：056 1155 41130 9P：1111（1）求 Y=eX的分布密度 X的分布密度为：f(x)又且1031.二十八 设随机变量 X在（0，1）上服从均匀分布0 x 1x为其他Y=g(X)=eX是单调增函数X=h(Y)=lnY，反函数存在=ming(0),g(1)=min(1,e)=1 maxg(0),g(1)=max(1,e)=efh(y)|h(y)|11 Y 的分布密度为：(y)y01 y ey为其他（2）求 Y=2lnX 的概率密度。又且Y=g(X)=2lnXX h(Y)Ye2是单调减函数反函数存在。=ming(0),g(1)=min(+,0)=0=maxg(0),g(1)=max(+,0)=+Y 的分布密度为：yy1212efh(y)|h(y)|1 e(y)2200 y y为其他32.二十九 设 XN（0，1）（1）求 Y=eX的概率密度精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除1e2x22 X的概率密度是f(x),x Y=g(X)=eX是单调增函数又且X=h(Y)=lnY 反函数存在 =ming(),g(+)=min(0,+)=0=maxg(),g(+)=max(0,+)=+Y 的分布密度为：(ln y)2fh(y)|h(y)|1e21(y)y200 y y为其他（2）求 Y=2X2+1的概率密度。在这里，Y=2X2+1在(+，)不是单调函数，没有一般的结论可用。设 Y 的分布函数是 FY（y），则FY(y)=P(Yy)=P(2X2+1y)y 1 X 2y 12 =P当 y1 时，(y)=FY(y)=12ex22dx精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除1 =e2(y 1)y14（3）求 Y=|X|的概率密度。Y 的分布函数为 FY(y)=P(Yy)=P(|X|y)x22当 y0 时：(y)=FY(y)=yy1e2dxyy1e2x22y22dxe233.三十（1）设随机变量 X的概率密度为 f(x)，求 Y=X3的概率密度。又且Y=g(X)=X3是 X 单调增函数，X=h(Y)=Y，反函数存在，=ming(),g(+)=min(0,+)=13=maxg(),g(+)=max(0,+)=+Y 的分布密度为：1(y)=f h(h)|h(y)|=f(y)y3,y ,但y 03132(0)0（2）设随机变量 X服从参数为 1 的指数分布，求 Y=X2的概率密度。ex法一：X的分布密度为：f(x)0 x 0 x 0y=x2Y=x2是非单调函数当 x0 时 y=x2反函数是x y精品好资料-如有侵权请联系网站删除Oyx最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除当 x0 时 y=x2x y Y fY(y)=f(y)(y)f(y)(y)yy0 1e=2y0y12yey,y 0y 0法二：Y FY(y)P(Y y)P(y X y)P(X y)P(X y)yxedx 0 1 e00y,y 0y 01e Y fY(y)=2 y0y,y 0.y 0.34.三十一 设 X的概率密度为 2xf(x)200 x x为其他求 Y=sin X的概率密度。FY(y)=P(Yy)=P(sinXy)当 y0 时：FY(y)=0当 0y1时：FY(y)=P(sinXy)=P(0Xarc sin y或 arc sin yX)=arcsin y02xdx 22xdx arcsin y2当 1y时：FY(y)=1 Y 的概率密度(y)为：y0时，(y)=FY(y)=(0)=00y1时，(y)=FY(y)=2xdx arcsin y2arcsin y02xdx 2精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 =2 1 y21y时，(y)=FY(y)=(1)=036.三十三 某物体的温度 T(oF)是一个随机变量，且有 TN（98.6，2），试求()的概率密度。已知 5(T 32)9法一：T 的概率密度为f(t)122e(t98.6)222,t 又 g(T)5(T 32)是单调增函数。9T h()9 32反函数存在。5且 =ming(),g(+)=min(,+)=maxg(),g(+)=max(,+)=+的概率密度()为()fh()|h()|9e10 9(3298.6)254e12281(37)210095,法二：根据定理：若 XN（1，1），则 Y=aX+bN(a1+b,a22)由于 TN（98.6,2）25333 5 25160160 5 故 T N98.6,2 N,29999999故的概率密度为：333922()1e5229 5 2 29910e81(37)2100,精品好资料-如有侵权请联系网站删除