高中数学基本不等式知识点归纳及练习题.pdf
高中数学基本不等式知识点归纳及练习题 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13,2020高中数学基本不等式的巧用高中数学基本不等式的巧用ab1基本不等式：ab2(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当 ab 时取等号2几个重要的不等式baab2(a，bR R)；(1)a2b22ab(a，bR R)；(2)ab2(a，b 同号)；(3)ab 2 a2b2ab2(a，bR R)(4)2 2 3算术平均数与几何平均数ab设 a0，b0，则 a，b 的算术平均数为2，几何平均数为 ab，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数4利用基本不等式求最值问题已知 x0，y0，则(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 xy 时，xy有最小值是 2 p.(简记：积定和最小)p2(2)如果和 xy是定值 p，那么当且仅当 xy 时，xy有最大值是4.(简记：和定积最大)一个技巧运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如 a2b22ab 逆用就是a2b2abab2(a，b0)等还要注意“添、拆项”ab2；2 ab(a，b0)逆用就是 ab 2 技巧和公式等号成立的条件等两个变形a2b2ab2 ab(a，bR R，当且仅当 ab 时取等号)；(1)2 2(2)a2b2ab2 ab(a0，b0，当且仅当 ab 时取等号)2211ab这两个不等式链用处很大，注意掌握它们三个注意(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致应用一：求最值应用一：求最值例 1：求下列函数的值域（1）y3x 212x 21（2）yxx解题技巧：解题技巧：技巧一：凑项技巧一：凑项5例 1：已知x，求函数y 4x21的最大值。44x5技巧二：凑系数技巧二：凑系数例 1.当时，求y x(82x)的最大值。技巧三技巧三：分离分离x27x10(x 1)的值域。例 3.求y x1。技巧四技巧四：换元：换元技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数ax25的值域。f(x)x的单调性。的单调性。例：求函数y 2xx 4练习求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x的值.1x23x1,x 3,(x 0)（2）y 2x（1）y xx31,x(0,)(3)y 2sin xsin x2已知0 x1，求函数y x(1x)的最大值.；30 x 大值.条件求最值条件求最值1.若实数满足a b 2，则3a3b的最小值是 .2，求函数y x(23x)的最311变式：若log4x log4y 2，求的最小值.并求x,y的值xy技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。出错。192：已知x 0,y 0，且1，求x y的最小值。xy变式：（1）若x,y R且2x y 1，求11的最小值xy(2)已知a,b,x,y R且ab1，求x y的最小值xy技巧七、已知技巧七、已知x x，y y为正实数，且为正实数，且x x 2 21 1，求，求x x1 1y y2 2的最大值的最大值.2 2技巧八：已知技巧八：已知a a，b b为正实数，为正实数，2 2b bababa a3030，求函数，求函数y y技巧九、取平方技巧九、取平方5、已知x，y为正实数，3x2y10，求函数W 3x 2y的最值.应用二：利用基本不等式证明不等式应用二：利用基本不等式证明不等式1已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a b c ab bc ca222y y 2 21 1abab的最小值的最小值.1）正数a，b，c满足abc1，求证：(1a)(1b)(1c)8abc 1 1 1例 6：已知a、b、cR，且abc 1。求证：1118abc应用三：基本不等式与恒成立问题应用三：基本不等式与恒成立问题19例：已知x 0,y 0且1，求使不等式x y m恒成立的实数m的取值范围。xy应用四：均值定理在比较大小中的应用：应用四：均值定理在比较大小中的应用：1a b例：若a b 1,P lgalgb,Q(lga lgb),R lg()，则P,Q,R的大小关系22是 .解：（1）y3x 2122x 23x 21 6值域为 6，+）2x 21x2；x1x =2x1（2）当x0 时，yx2x11当x0 时，yx =（x）2xx值域为（，22，+）解：因4x5 0，所以首先要“调整”符号，又(4x2)项，1不是常数，所以对4x2要进行拆、凑4x5511x,54x 0，y 4x2 54x3 23144x554x当且仅当54x 1，即x 1时，上式等号成立，故当x 1时，ymax1。54x评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。解析：由知，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x(82x)8为定值，故只需将y x(82x)凑上一个系数即可。当，即x2 时取等号当x2 时，y x(82x)的最大值为 8。评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。解析一：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x1）的项，再将其分离。当,即时,y 2（x1)45 9（当且仅当x1 时取“”号）x1解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x1，化简原式在分离求最值。(t 1)27(t 1）+10t25t 44y=t 5ttt4当,即t=时,y 2 t59（当t=2 即x1 时取“”号）。t评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为y mg(x)最值。2解：令x24 t(t 2)，则y x 5x24 A B(A 0,B 0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求g(x)x241 t (t 2)tx24111因t 0,t1，但t 解得t 1不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。tt51因为y t 在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故y。2t5所以，所求函数的值域为,。2分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且3a3b定值，因此考虑利用均值定理求最小值，解：3a和3b都是正数，3a3b2 3a3b 2 3ab 6当3a 3b时等号成立，由a b 2及3a 3b得a b 1即当a b 1时，3a3b的最小值是 6错解错解：x 0,y 0，且1x91，x y 19x y 292 xy 12故yxyxyx ymin12。错因：解法中两次连用基本不等式，在x y 2 xy等号成立条件是x y，在19 29xyxy等号成立条件是19即y 9x,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用基本不xy等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。正解正解：x 0,y 0,191，x y x y19y9x10 61016xyxyxy当且仅当19y9x时，上式等号成立，又1，可得x 4,y 12时，x ymin16。xyxy分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式aba 2b 22。1y 22 221同时还应化简 1y中y前面的系数为，x1y2x222x1y 2221y 2分别看成两个因式：22下面将x，x1y22 2x(21y 2y 212 2 )x 22223即x1y2 2 x2241y 232224分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问一是通过消元，转化为一元函数问题题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。302b302b2 b230b法一：a，abbb1b1b1由a0 得，0b15令tb+1，1t16，ab162t234t31t2（t16t）34t16t2t8t1ab18y当且仅当t4，即b3，a6 时，等号成立。18法二：由已知得：30aba2ba2b2 2 ab 30ab2 2 ab2令uab则u2 2u300，5 2 u3 21ab3 2，ab18，y18点评：本题考查不等式a b的应用、不等式的解法及运算能力；如何ab（a,b R）2（a,b R）由已知不等式ab a2b30出发求得ab的范围，关键是寻找到a b与ab之间的关系，由此想到不等式a b，这样将已知条件转换为含ab的不等式，进ab（a,b R）2而解得ab的范围.变式：1.已知a0，b0，ab(ab)1，求ab的最小值。2.若直角三角形周长为 1，求它的面积最大值。解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，ab2a 2b 22，本题很简单3x 2y 2（3x）2（2y）2 23x2y2 5解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。W0，W23x2y2 3x 2y102 3x 2y10(3x)2(2y)210(3x2y)20W 20 2 5变式:求函数y 2x 152x(1 x 5)的最大值。22解析：注意到2x1与52x的和为定值。y2(2x 152x)2 4 2(2x 1)(52x)4(2x1)(52x)8又y 0，所以0 y 2 2当且仅当2x1=52x，即x 3时取等号。故ymax 2 2。2评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件。总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式。分析：不等式右边数字 8，使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2”连乘，又111abc2 bc，可由此变形入手。aaaa解：a、b、cR，abc 1。12 ac11abc2 bc。同理1，1bbaaaa12 ab。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得1cc1 1 1 12 bc 2 ac 2 ab。当且仅当时取等号。a b c 111 83abcabc解：令x y k,x 0,y 0,119x y9x9y10y9x1，1.1xykxkykkxky103 2。k 16，m,16kk分析：a b 1lga 0,lgb 0Q 1（lga lgb)lgalgb p2a b1R lg()lgab lgab QRQP。22
