一次函数、反比例函数和二次函数.pdf

一次函数、反比例函数和二次函一次函数、反比例函数和二次函数数一、重要考点：一、重要考点：1.1.会画一次函数、二次函数、反比例函数的图象；会画一次函数、二次函数、反比例函数的图象；2.2.掌握一次函数、二次函数、反比例函数的性质；掌握一次函数、二次函数、反比例函数的性质；3.3.能根据条件确定函数的解析式；能根据条件确定函数的解析式；4.4.能用函数解决实际问题。能用函数解决实际问题。二二.重点提示：重点提示：1 1一次函数一次函数定义定义如果如果 y=kx+b(ky=kx+b(k，b b 为常数，为常数，k0)k0)那么那么 y y 叫做叫做 x x 的一次函数的一次函数当当 b=0b=0 时，一次函数时，一次函数 y=kx+by=kx+b 变为变为 y=kx(k0)y=kx(k0)，y y 叫叫 x x 的正比例函数的正比例函数图象图象k0k0k0k0k0，b=0b=0k0k0，b=0b=0经过经过(0(0，0)0)、(1(1，k)k)两点的直线两点的直线经过点经过点(0(0，b)b)，(-(-性质性质，0)0)两点的一条直线两点的一条直线图象在一、图象在一、三象限内三象限内 y y图象在二、图象在二、四象限内四象限内 y y随随 x x 增大而增大增大而增大b b 决定直线与决定直线与 y y 轴交点的位置轴交点的位置随随 x x 增大而减小增大而减小y y 随随 x x 增大而增大增大而增大y y 随随 x x 增大而减小增大而减小2 2二次函数二次函数抛物线抛物线 y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)位置由位置由 a a、b b、c c 决定决定（1 1）a a 决定抛物线的开口方向：决定抛物线的开口方向：（2 2）c c 决定抛物线与决定抛物线与 y y 轴交点的位置轴交点的位置（1 1）求）求 y y 与与 x x 之间的函数关系式；之间的函数关系式；（2 2）求）求 x x 为何值时，矩形为何值时，矩形 AMHNAMHN 的面积最大，最大面积是多少？的面积最大，最大面积是多少？解：（解：（1 1）正方形）正方形 ABCDABCD 的边长为的边长为 4 4，CE=1CE=1，CF=CF=，CF/AGCF/AG，BE=3BE=3，BG=4BG=4，HMHMAGAG，CBCBAGAG，HM/BEHM/BE，MG=MG=x x。y=x(4+4-y=x(4+4-x)=-x)=-x x2 2+8x+8x。(2)(2)y=-y=-x x2 2+8x=-+8x=-(x-3)(x-3)2 2+12+12。当当 x=3x=3 时，时，y y 最大，最大面积是最大，最大面积是 1212。解题点拨：解题点拨：（1 1）要写出）要写出 y y 关于关于 x x 的函数关系式，就要在图形中寻找对应关系，把对应关系中的量分别用的函数关系式，就要在图形中寻找对应关系，把对应关系中的量分别用 y y、x x 或已知量来替换，或已知量来替换，就可以找到就可以找到 y y 与与 x x 的关系式。的关系式。（2 2）这类题目，注意自变量）这类题目，注意自变量 x x 的取值范围。的取值范围。2 2（北京东城区）已知：如图一次函数的图象经过第一、二、三象限，且与反比例函数的图象交于北京东城区）已知：如图一次函数的图象经过第一、二、三象限，且与反比例函数的图象交于 A A、B B 两点，与两点，与 y y轴交于点轴交于点 C C，与，与 x x 轴交于点轴交于点 D D。OB=OB=（1 1）求反比例函数的解析式；）求反比例函数的解析式；（2 2）设点）设点 A A 的横坐标为的横坐标为 mm，ABOABO 的面积为的面积为 S S，求，求 S S 与与 mm 的函数关系式，并写出自变量的函数关系式，并写出自变量mm 的取值范围；的取值范围；（3 3）当）当OCDOCD 的面积等于的面积等于时，试判断过时，试判断过 A A、B B 两点的抛物线在两点的抛物线在 x x 轴上截得的线段长能轴上截得的线段长能，tantanDOB=DOB=。否等于否等于 3 3。如果能，求此时抛物线的解析式；如果不能，请说明理由。如果能，求此时抛物线的解析式；如果不能，请说明理由。解：（解：（1 1）过点）过点 B B 作作 BHBHx x 轴于点轴于点 H H。在在 RtRtOHBOHB 中，中，tantanHOB=HOB=HO=3BHHO=3BH。，由勾股定理，得由勾股定理，得 BHBH2 2+HO+HO2 2=OB=OB2 2。又又OB=OB=，BHBH2 2+(3BH)+(3BH)2 2=(=()2 2。BHBH0 0，BH=1BH=1，HO=3HO=3。点点 B B（-3-3，-1-1）。）。设反比例函数的解析式为设反比例函数的解析式为 y=y=（k k1 100）。）。点点 B B 在反比例函数的图象上，在反比例函数的图象上，k k1 1=3=3。反比例函数的解析式为：反比例函数的解析式为：y=y=。（2 2）设直线）设直线 ABAB 的解析式为的解析式为 y=ky=k2 2x+bx+b（k k2 200）。）。由点由点 A A 在第一象限，得在第一象限，得 mm0 0。又由点又由点 A A 在函数在函数 y=y=的图象上，可求得点的图象上，可求得点 A A 的纵坐标为的纵坐标为。点点 B B（-3-3，-1-1），点），点 A A（mm，），），解关于解关于 k k2 2、b b 的方程组，得的方程组，得直线直线 ABAB 的解析式为的解析式为 y=y=。令令 y=0y=0，求得点，求得点 D D 的横坐标为的横坐标为 x=m-3x=m-3。过点过点 D D 的横坐标为的横坐标为 x=m-3x=m-3。过点过点 A A 作作 ACACx x 轴于点轴于点 G G。S=SS=SBDOBDO+S+SADOADO=DODOBH+BH+DODOGAGA=DODO（BH+GABH+GA）=|m-3|m-3|（1+|1+|）。）。由已知，直线经过第一、二、三象限，由已知，直线经过第一、二、三象限，b b0 0，即，即0 0。mm0 0，3-m3-m0 0。由此得：由此得：0 0mm3 3。S=S=(3-m)(1+(3-m)(1+)。即即 S=S=（0 0mm3 3）。）。（3 3）过）过 A A、B B 两点的抛物线在两点的抛物线在 x x 轴上截得的线段长不能等于轴上截得的线段长不能等于 3 3。证明如下：证明如下：S SOCDOCD=DODOOC=OC=|m-3|m-3|=|=。由由 S SOCDOCD=，得，得=。解得解得 mm1 1=1=1，mm2 2=3=3。经检验，经检验，mm1 1=1=1，mm2 2=3=3 都是这个方程的根。都是这个方程的根。0 0mm3 3，m=3m=3 不合题意，舍去。不合题意，舍去。点点 A A（1 1，3 3）。）。设过设过 A A（1 1，3 3）、）、B B（-1-1，-3-3）两点的抛物线的解析式为）两点的抛物线的解析式为 y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c（a0a0）。）。由此得由此得即即 y=axy=ax2 2+（1+2a1+2a）x+2-3ax+2-3a。设抛物线与设抛物线与 x x 轴两交点的横坐标为轴两交点的横坐标为 x x1 1、x x2 2。则则 x x1 1+x+x2 2=-=-令令|x|x1 1-x-x2 2|=3|=3。x x1 1 x x2 2=则则(x(x1 1+x+x2 2)2 2-4x-4x1 1x x2 2=9=9。即即(-(-)2 2-4-4=9=9。整理，得整理，得7a7a2 2-4a+1=0-4a+1=0。=(-4)=(-4)2 2-4-4771=-121=-120 0，方程方程 7a7a2 2-4a+1=0-4a+1=0 无实根。无实根。因此过因此过 A A、B B 两点的抛物线在两点的抛物线在 x x 轴上截得的线段长不能等于轴上截得的线段长不能等于 3 3。3 3、（北京西城区）（本题、（北京西城区）（本题 9 9 分）分）已知：抛物线已知：抛物线 y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c 过点过点 A A（-1-1，4 4），其顶点的横坐标是），其顶点的横坐标是中中 x x1 1x x2 2)，且，且 x x1 12 2+x+x2 22 2=13=13。（1 1）求此抛物线的解析式及其顶点）求此抛物线的解析式及其顶点 E E 的坐标；的坐标；（2 2）设此抛物线与）设此抛物线与 y y 轴交于点轴交于点 D D，点，点 MM 是抛物线上的点，若是抛物线上的点，若MBOMBO 的面积为的面积为DOCDOC，与，与 x x 轴分别交于轴分别交于 B B（x x1 1，0 0），），C C（x x2 2，0 0）两点）两点(其其面积的面积的倍，求点倍，求点 MM 的坐标。的坐标。解：（）抛物线解：（）抛物线 y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c 过点过点 A A（-1-1，4 4），），a-b+c=4a-b+c=4，即，即 c=4-a+bc=4-a+b。抛物线顶点的横坐标是抛物线顶点的横坐标是即即 b=-ab=-a。抛物线抛物线 y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c 与与 x x 轴分别交于轴分别交于 B B（x x1 1，0 0），），C(xC(x2 2，0)0)两点（其中两点（其中 x x1 1xx2 2），），x x1 1，x x2 2是方程是方程 axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)的两个实根。的两个实根。x x1 1+x+x2 2=，x x1 1x x2 2=由已知由已知 x x1 12 2+x+x2 22 2=13=13，（x x1 1+x+x2 2)2 2-2x-2x1 1x x2 2=x=x1 12 2+x+x2 22 2()2 2-=13=13。由解得由解得经检验，经检验，a a、b b、c c 的值使的值使0 0，符合题意。，符合题意。抛物线的解析式为抛物线的解析式为 y=-xy=-x2 2+x+6+x+6。当当 x=x=时，时，y=y=，抛物线抛物线 y=-xy=-x2 2+x+6+x+6 的顶点的顶点 E E 的坐标为（的坐标为（）。）。(2)(2)由由(1)(1)得得 y=-xy=-x2 2+x+6+x+6，（如图，画草图帮自己分析），（如图，画草图帮自己分析）令令 x=0 x=0，y=6y=6，得，得 D D（0 0，6 6）。）。令令 y=0y=0，-x-x2 2+x+6=0+x+6=0，解得：解得：x x1 1=-2=-2，x x2 2=3=3。B(-2B(-2，0)0)，C(3C(3，0)0)。设点设点 MM 的坐标为（的坐标为（x x，y y），则点），则点 MM 到到 x x 轴的距离为轴的距离为yyMM。MBOMBO=S SDOCDOC，BOyBOyMM=OCOCODOD得得yyMM=6=6，y yMM=6 6。因为抛物线因为抛物线 y=-xy=-x2 2+x+6+x+6 开口向下，顶点的坐标为（开口向下，顶点的坐标为（），对称轴是直线），对称轴是直线 x=x=若若 y yMM=6=6，因为因为 660 x0D D、x0 x0答案：答案：B B5 5（山西）将二次函数（山西）将二次函数 y=y=A A、y=y=C C、y=y=x x2 2+x-1+x-1 化成化成 y=a(x+m)y=a(x+m)2 2+n+n 的形式是（的形式是（）(x+2)(x+2)2 2+2+2(x-2)(x-2)2 2+2+2(x+2)(x+2)2 2-2-2B B、y=y=(x-2)(x-2)2 2-2-2D D、y=y=答案：答案：A A6 6平面直角坐标系中，反比例函数平面直角坐标系中，反比例函数 y=y=的图象只可能是（的图象只可能是（）答案：答案：B B7 7图象经过点（图象经过点（0 0，-1-1）、点（）、点（2 2，3 3）的一次函数解析式是（）的一次函数解析式是（）A A、y=-2x+1y=-2x+1B B、y=-2x-1y=-2x-1C C、y=y=答案：答案：D D8 8（天津）（本题（天津）（本题 8 8 分）分）x-1x-1D D、y=2x-1y=2x-1已知：在已知：在 RtABCRtABC 中，中，B=90B=90，BC=4cmBC=4cm，AB=8cmAB=8cm，D D、E E、F F 分别为分别为 ABAB、ACAC、BCBC 边上的中点。若边上的中点。若 P P 为为 ABAB 边上边上的一个动点，的一个动点，PQ/BCPQ/BC，且交，且交 ACAC 于点于点 Q Q，以，以 PQPQ 为一边，在点为一边，在点 A A 的异侧作正方形的异侧作正方形 PQMNPQMN，记正方形，记正方形 PQMNPQMN 与矩形与矩形 EDBFEDBF的公共部分的面积为的公共部分的面积为 y y。（1 1）如图，当）如图，当 AP=3cmAP=3cm 时，求时，求 y y 的值；的值；（2 2）设）设 AP=xcmAP=xcm，试用含试用含 x x 的代数式表示的代数式表示 y(cmy(cm2 2)；（3 3）当）当 y=2cmy=2cm2 2时，试确定点时，试确定点 P P 的位置。的位置。答案：本题满分答案：本题满分 8 8 分分解（解（1 1）PQ/BCPQ/BC，BC=4BC=4，AB=8AB=8，AP=3AP=3，=，PQ=PQ=1 1 分分 D D 为为 ABAB 的中点，的中点，AD=AD=AB=4AB=4，PD=AD-AP=1PD=AD-AP=1 PQMNPQMN 为正方形，为正方形，DN=PN-PD=PQ-PD=DN=PN-PD=PQ-PD=，y=MNy=MNDN=DN=(cm(cm2 2)。2 2 分分（2 2）AP=xAP=x，由由=得：得：PQ=PQ=x=PNx=PN AN=AP+PN=AN=AP+PN=x x。当当 ANADANAD 时，有时，有 0 x0 x时，时，y=0y=0；当当 APADANAPADAN 时，有时，有x4x4 时，时，y=y=(x-4)=x-4)=x x2 2-2x-2x；当当 ADAPADAP 且且 ANABANAB 时，有时，有 4x4x时，时，y=2y=2x=xx=x；当当 APABANAPABAN 时，有时，有x8x8 时，时，y=2(8-x)=-2x+16y=2(8-x)=-2x+16。（3 3）将）将 y=2y=2 代入代入 y=-2x+16(y=-2x+16(x8)x8)时，得时，得 x=7x=7，即即 P P 点距点距 A A 点点 7cm7cm；将将 y=2y=2 代入代入 y=y=x x2 2-2x(-2x(x4)x4)时，得时，得 x=x=，即即 P P 点距点距 A A 点点cmcm。6 6 分分