六年级奥数-第一讲.分数的速算与巧算.教师版.pdf

分数的速算与巧算分数的速算与巧算教学目标教学目标本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型.1、裂项：裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找通项进行解题的能力2、换元：换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。3、循环小数与分数拆分：循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题4 4、通项归纳法、通项归纳法通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式知识点拨一、裂项综合一、裂项综合（一）（一）、“裂差”型运算“裂差”型运算(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b，那么有ab1111()abba ab(2)对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即：11，形式的，我们有：n(n 1)(n 2)n(n 1)(n 2)(n3)1111n(n 1)(n 2)2 n(n1)(n1)(n 2)1111n(n 1)(n 2)(n3)3 n(n1)(n 2)(n1)(n 2)(n3)裂差型裂项的三大关键特征：裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是 1 的，复杂形式可为都是 x(x 为任意自然数)的，但是只要将 x 提取出来即可转化为分子都是 1 的运算。（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻 2 个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。（二）（二）、“裂和”型运算：“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：a2b2a2b2aba bab11（1）（2）abababbaabababba裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。三、整数裂项(1)12 2334.(n1)n1(n1)n(n1)31(n2)(n1)n(n1)4(2)123 234345.(n2)(n1)n 二、换元二、换元解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简三、循环小数化分数三、循环小数化分数1 1、循环小数化分数结论：、循环小数化分数结论：纯循环小数混循环小数循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与不循环部分数字分子循环节中的数字所组成的数所组成的数的差按循环位数添 9，不循环位数添 0，组成分母，其中 9 在 0分母n 个 9，其中 n 等于循环节所含的数字个数的左侧 abcaaabab1ab；，0.abc 0.a 0.ab 0.0ab 99099999109902 2、单位分数的拆分：、单位分数的拆分：例：例：11111111111=102020 分析：分数单位的拆分，主要方法是：从分母 N 的约数中任意找出两个 m 和 n,有：11(m n)mn11=NN(m n)N(m n)N(m n)AB本题 10 的约数有:1,10,2,5.。例如：选 1 和 2，有：11(1 2)12111010(1 2)10(1 2)10(1 2)3015本题具体的解有：1111111111011110126014351530例题精讲模块一、分数裂项分数裂项11111 1234234534566789789101111111【解析】原式31232342343457898910【例【例 1 1】111119312389102160333【巩巩固固】.12342345171819201111111【解析】原式3(.)312323423434517181918192011319201113912318192018192068405719【例【例 2 2】计算：计算：1232348910【解析】如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目但是本题中分子不相同，而是成等差数列，且等差数列的公差为 2相比较于 2，4，6，这一公差为 2 的等差数列(该数列的第n个数恰好为n的2 倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3，所以可以先把原式中每一项的分子都分成3 与另一个的和再进行计算原式3 23 41232343168910112811 3 2123234891012323489101 111111111 3 22122323348991091023343 111111 2212910233411 910311 7112311 222902104605152与n 1 n 2 也 可 以 直 接 进 行 通 项 归 纳 根 据 等 差 数 列 的 性 质，可 知 分 子 的 通 项 公 式 为2n3，所 以2n 323，再 将 每 一 项 的nn 1n 2 n 1n 2nn 1n 23分别加在一起进行裂项后面的过程与前面的方法相同nn 1n 2【巩巩固固】计计算：算：1155（572343451719）8910910111719这个算式不同于我们891091011【解析】本题的重点在于计算括号内的算式：57234345常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常见的分子相同、或分子是分母的差或和的情况所以应当对分子进行适当的变形，使之转化成我们熟悉的形式观察可知5 23，7 34，即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和，所以571719234345891091011233 49102343459101111111134244535101191111111110112435911344511 1111111111110112243546344511 11111 81 28 3131122103113325335531所以原式1155 651551111 810911【巩巩固固】计计算：算：3451245235634671210111314【解析】观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是 5 个连续自然数的乘积，所以可以先将每一项的分子、分母都乘以分子中的数即：324252原式1234523456345671221011121314现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，考虑到每一项中分子、分母的对称性，可以用平方差公式：3 15 4，4 26 4，5 37 4222324252【解析】原式123452345634567122101112131415 426 437 412345234563456711111112132343454561014 4101112131444441011121314123452345634567111111122334344511121213111111101112131112131412342345234534561111122312131234111213141111177111117512212132411121314811121314821114830861612349【例【例 3 3】22323423452341012349【解析】原式2232342345234102131411012232342341011111111222323234234923491013628799123491036288001111【例【例 4 4】11 21 231 2100【解析】本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简单的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的代入有112，1(11)1122112，1 2(1 2)2232原式2221223342120099 2(1)1100101101101101(1 2350 49)(1 2350)234【巩巩固固】1(1 2)(1 2)(1 23)(1 23)(1 23 4)原式2345501336610101512251275（1111111112741）（）（）（）36610122512751275310099)(1 2100)234【巩巩固固】1(1 2)(1 2)(1 23)(1 23)(1 23 4)(1 2211311【解析】，1(1 2)11 2(1 2)(1 23)1 21 2310099)(1 2(1 2原式1100)11，所以1 2991 210011 2100150495050505023【巩巩固固】11（1 2）(1 2)(1 23)(1 2323410【解析】原式1()133661045551109)(1 2310)11 111111145553366101 1155155111111【例【例 5 5】222222.3 15 17 19 111 113 122【解析】这题是利用平方差公式进行裂项：a b (a b)(a b)，原式(111111)()()()()()244668810101212141111111111111()2446688101012121421113()214214【巩巩固固】计计算：算：357122222323242157282221232224232【解析】原式21 22223232428272227 811111112222222223347816312864321521721199321199521【巩巩固固】计计算：算：23 15217211993211995211222【解析】原式12 1 1223 15 17 1221 1221993 11995 1222 997 24461994199611199711111 997 997 997199419961996244621996122232【巩巩固固】计计算：算：1335575029910122【解析】式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大，但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变为2 1，4 1，621，10021，可以发现如果分母都加上 1，那么恰好都是分子的 4 倍，所以可以先将原式乘以 4 后进行计算，得出结果后除以 4 就得到原式的值了1224262原式242 1421621100210021111112121242 14 16 11111504133557111002119910111 9910111111115014233557111 150635015012421011011014224466881010【巩巩固固】13355779911n211121【解析】（法 1）：可先找通项an2n 1n 1(n 1)(n 1)原式(111111)(1)(1)(1)(1)1335577991111555(1)5 52111111288181832325050（法 2）：原式(2)()()()()33557799116101418506510 4 5357911111111131999【例【例 6 6】21111111(1)(1)(1)(1)(1)22323199911211n1【解析】n1 2()111n 2(n1)(n 2)n1n 2(1)(1)(1)23n12111111 111999原式()()()()213445199920001000100023 2【巩巩固固】计计算：算：11111 21 231 2200711 2n211 2()n(n1)nn112007(2007 1)2【解析】先找通项公式an原式1112(2 1)3(31)22222220072007 212233420072008200810041111【巩巩固固】335357357 21111【解析】先找通项：an，352n 11 2n 13 nnn 22原式11111324354611911101211111 1911244610121335111 111 175211122122641 21 231 23 41 2350【例【例 7 7】22323 42350(1 n)nn(n1)2【解析】找通项an(1 n)nn(n1)212原式2334455641018282334455614253647，通过试写我们又发现数列存在以上规律，这样我们就可以轻松写出全部的项，所以有原式233445561425364748494950505135023 2475048514952152261212 2212 223212 2232 4212 22 262【例【例 8 8】33311 2313 233313 2333 431 23 263n(n 1)(2n 1)1 2 n22n12116【解析】an3()n2(n 1)21 23 n33n(n1)3nn 142111111112152原式=()()()()=(1)3122334262732781222111【巩巩固固】1212122 13 199 11(n 1)2(n 1)2【解析】an1(n 1)21(n 1)21n(n 2)223398989999原式(2 1)(2 1)(31)(31)(981)(981)(991)(991)2233445598989999299491314253649997100981100502232992【例【例 9 9】计算：计算：222 132199 1n 1n 1【解析】通项公式：an，n 11n 11nn 2原式22223344(2 1)(2 1)(31)(31)(4 1)(4 1)98989999(981)(981)(99 1)(99 1)22334455989899993142536499971009822334498989999299991324359799981001100502122992【巩巩固固】计计算：算：221 100500022200500099 99005000n2【解析】本 题 的 通 项 公 式 为2，没 办 法 进 行 裂 项 之 类 的 处 理 注 意 到 分 母n 100n5000n2100n 5000 5000 n100 n 5000 100 n100 100 n，可 以 看 出 如 果 把n换 成100n的 话 分 母 的 值 不 变，所 以 可 以 把 原 式 子 中 的 分 数 两 两 组 合 起 来，最 后 单 独 剩 下 一 个502将项数和为 100 的两项相加，得50250005000n2100n100nn22n2200n 1000022 2，22n 100n5000100n100100 n5000n 100n5000n 100n5000所以原式 249199（或者，可得原式中 99 项的平均数为 1，所以原式19999）2211 111124【例【例 10 10】222222234520211 21 2 10 1111111【解析】虽然很容易看出，可是再仔细一看，并没有什么效果，因为这不象分数裂项23234545那样能消去很多项我们再来看后面的式子，每一项的分母容易让我们想到公式，于是我们又有16 减号前面括号里的式子有 10 项，减号后面括号里的式子2222n(n 1)(2n 1)1 2 3 n也恰好有 10 项，是不是“一个对一个”呢11 111124 222222234520 211 21 2 10 111111124 62345202112323510112124111111 2423452021243465202221111111 232 434546520 2120 22 21242411111 601166120221011244612231111模块二、换元与公式应用33333333【例【例 11 11】计计算：算：1 3 5 7 9 11 13 153333【解析】【解析】原式1 2 3 4 1431532343 7314345760027282481281521512813 23【巩巩固固】132435911【解析】【解析】原式21213131221321223212 2232101101102110291021010112110 3756【巩巩固固】计计算：算：123 2343458910222【解析】【解析】原式 2 2 1 3 3 1 4 4 1 9921 2333 431 2 3 932 3 4 912 3 4 29 9 45245 1980111111【例【例 12 12】计计算：算：123456333333【解析】【解析】法一：利用等比数列求和公式。17113原式1131732641132729法二：错位相减法设S 111111123456333333则3S 311111113642345，3S S 36，整理可得S 1333333729所以可以采用法三：本题与例 3 相比，式子中各项都是成等比数列，但是例 3 中的分子为 3，与公比 4 差 1，“借来还去”的方法，本题如果也要采用“借来还去”的方法，需要将每一项的分子变得也都与公比差 1由于公比为 3，要把分子变为 2，可以先将每一项都乘以 2 进行算，最后再将所得的结果除以 2 即得到原式的值由题设，2S 2222222136423456，则运用“借来还去”的方法可得到2S 6 3，整理得到S 13333333729(22 4262 1002)(123252 992)【例【例 13 13】计计算：算：1 23 91098 3 21(2212)(4232)(6252)(1002992)【解析】【解析】原式102(2 1)(2 1)(4 3)(4 3)(65)(65)(10099)(10099)1001 23 4 9910050501 5010010022【巩巩固固】3141592631415925 31415927 _；1234 8766 24688766 _22【解析】【解析】观察可知和都与相差 1，设a 31415926，原式 a a 1a 1 a a 1 1222原式1234 8766 212348766221234 87661000021000000002222【巩巩固固】计计算：算：1 2 3 4 22【解析】【解析】原式 2007 2006 2 2005220062 200725242322212(3 2)(3 2)1(2007 2006)(2007 2006)(2005 2004)(2005 2004)2007 2006 2005 20043 211200712007 2015028212 22223232 42425220002 20012【例【例 14 14】计计算：算：122334452000200112222232324242522000220012【解析】【解析】原式 121223233434454520002001200020011223344520002001 213243542001200021324 35199920012000()()122334420002000200120002000 2 2 2 2 2 4000200120012000个2相加【例【例 15 15】2007 8.58.5 1.51.510160 0.3【解析】【解析】原式 2007 8.5 1.58.5 1.510160 0.3 2007 108.5 1.510160 0.32007 71600.312.50.3 12.2【巩巩固固】计计算：算：53574743【解析】【解析】本题可以直接将两个乘积计算出来再求它们的差，但灵活采用平方差公式能收到更好的效果原式55 255 245 245 255 2 45 22222 552 45255 4555 451000【巩巩固固】计计算：算：1119121813171416【解析】【解析】本题可以直接计算出各项乘积再求和，也可以采用平方差公式原式 15 422152321522215212152412 2232 42900308702222其中1 2 3 4可以直接计算，但如果项数较多，应采用公式12 221 n2nn12n1进行计算6【巩巩固固】计计算：算：199 298397 4951【解析】【解析】观察发现式子中每相乘的两个数的和都是相等的，可以采用平方差公式原式50 4950 4950 4850 485015015024925024825024912 2250212 4925024912 22 49215024949509962 50 49492533 492510033 49256782075332333233.32【巩巩固固】看看规律规律1 1，1 2 3，1 2 3 6，试求，试求6 7 原式 1 2 1432233.14313 23.531 2 3141 2 3 4 5105215210515105159012010800【例【例 16 16】计计算：算：(1【解析】【解析】令11111111111)()(1)()2424624624111111 a，b，则：2462461616原式(a)ba(b)11 abbaba66111(a b)166611111111111111【巩巩固固】(1)()(1)()23423452345234111111【解析】【解析】设a，则原式化简为：(1+a)(a+)-a(1 a+)=23455511 1111 11111 111 11【巩巩固固】112131412131415111213141512131411111111【解析】【解析】设 a，b，11213141213141原式 ab 1 1 a b5151 ab11a abb51511(a b)5111151 115611111111111111111【巩巩固固】（）()（)()57911791113579111379111111111【解析】【解析】设 A，B，579117911原式 AB 1 1 A B1313 AB 11A AB B13131A B1311113565111111111111111111【巩巩固固】计计算算11234523456234562345【解析】【解析】设111111111 A，B2345234511111111 A B()AB A AB B A B A B66666666原式AB 9 1239 1129 239 123【巩巩固固】110234102231034102341t11123912122【解析】【解析】设t，则有t t(1t)t t t t t 2222223410221239123911239239【巩巩固固】()2()(1)()234102341022341034101239111t11【解析】【解析】设t，则有t2t(1t)(t)t2t(t2t)23410222222【巩巩固固】计计算算2341111120091134.原式=1111112009【解析】【解析】设N 341112009121N+11111N=11NN 1+=1.2N 1N2N 12N 11NN 1【巩固】【巩固】(7.886.775.66)(9.3110.9810)(7.886.775.6610)(9.3110.98)【解析】【解析】换元的思想即“打包”，令a 7.886.775.66，b 9.3110.98，则原式 a(b10)(a 10)b(ab10a)(ab10b)ab10a ab10b 10(a b)10(7.886.775.669.3110.98)100.02 0.2【巩巩固固】计计算算(10.450.56)(0.450.560.67)(10.450.560.67)(0.450.56)【解析】【解析】该题相对简单，尽量凑相同的部分，即能简化运算.设a 0.450.56，b 0.450.560.67，【解析】【解析】有原式(1 a)b(1b)a b aba ab ba 0.67三、循环小数与分数互化【例【例 17 17】计计算：算：0.1+0.125+0.3+0.16，结果保留三位小数，结果保留三位小数【解析】方法一：0.1+0.125+0.3+0.16 0.1111+0.1250+0.3333+0.1666=0.7359=0.736方法二：0.1+0.125+0.3+0.161131511153 0.73619899018872【巩巩固固】0.540.36；1.21.2427 19【解析】法一：原式54536494899909990119900.5444440.3636360.908080法二：将算式变为竖式：可判断出结果应该是0.908，化为分数即是 9089899990990 原式1129241911 12319209927999279【巩巩固固】计计算：算：0.010.120.230.340.780.89【解析】方法一：0.010.120.230.340.780.89112123234378789890909090909011121317181216=90909090909090方法二：0.010.120.230.340.780.89=0+0.1+0.2+0.3+0.7+0.8+0.010.020.030.040.080.09=2.1+0.01(1+2+3+4+8+9)1 2.12790 2.10.3 2.4【巩巩固固】计计算算（1 1）0.2910.1920.3750.526（2 2）0.3300.186【解析】（1）原式（2）原式2911921375526529137552119166633019999909999909999909999903301861330185599999099999081【例【例 18 18】某某学生将学生将1.23乘以一个数乘以一个数a时，把时，把1.23误看成，使乘积比正确结果减少误看成，使乘积比正确结果减少.则正确结果该是多少则正确结果该是多少【解析】由题意得：1.23a 1.23a 0.3，即：0.003a 0.3，所以有：所以1.23a 1.2390 33a 解得a 90，9001011190 11190【巩巩固固】将将循环小数循环小数0.027与与0.179672相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近似值的最后一位小数是多少相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近似值的最后一位小数是多少【解析】0.0270.1796722717967211796724856 0.00485699999999937999999999999循环节有 6 位，1006=164，因此第 100 位小数是循环节中的第 4 位 8，第 10l 位是 5这样四舍五入后第100 位为 92524 13【例【例 19 19】有有 8 8 个数，个数，0.51，,0.51,是其中是其中 6 6 个，如果按从小到大的顺序排列时，第个，如果按从小到大的顺序排列时，第4 4 个数是个数是0.51，那么，那么3947 25按从大到小排列时，第按从大到小排列时，第 4 4 个数是哪一个数个数是哪一个数252413【解析】=0.6,=0.5,0.5106,=0.52394725显然有0.51060.510.510.520.50.6即2413528个数从小到大排列第4个是0.51，0510.51，472593所以有口口241352，表示未知的那 2 个数).所以，这 8 个数从大到小排列第0.510.51(“”4725934 个数是0.51【例【例 20 20】真真分数分数a化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是 19921992，那么，那么a是多少是多少7123456【解析】=0.142857，=0.285714，=0.428571，=0.571428，=0.714285，=0.857142因此，777777真分数a化为小数后，从小数点第一位开始每连续六个数字之和都是 1+4+2+8+5+7=27，又因为 199227=737.a=0.857142，即a 6721,27-21=6，而 6=2+4，所以【巩巩固固】真真分数分数a化成循环小数之后，从小数点后第化成循环小数之后，从小数点后第 1 1 位起若干位数字之和是位起若干位数字之和是9039，则，则a是多少是多少7a的真分数转化成循环小数后，循环节都是由 1、2、4、5、7、8 这 6 个数字组成，只是各个数字7【解析】我们知道形如的位置不同而已，那么9039就应该由若干个完整的1 4 2857和一个不完整1 4 2857组成。9039 1 2 45 7 8 33421，而21 276，所以最后一个循环节中所缺的数字之和为 6，经检验只有最后两位为 4，2 时才符合要求，显然，这种情况下完整的循环节为“857142”，因此这个分数应该为6，所以a 6。7a化成循环小数之后，小数点后第化成循环小数之后，小数点后第 20092009 位数字为位数字为 7 7，则，则a是多少是多少7a的真分数转化成循环小数后，循环节都是由 6 位数字组成，20096 3347【巩巩固固】真真分数分数【解析】我们知道形如5，因此只需判断当a为几时满足循环节第 5 位数是 7，经逐一检验得a 3。20021【例【例 21 21】和和化成循环小数后第化成循环小数后第 100100 位上的数字之和是位上的数字之和是_._.2009287【解析】如果将发现20021和转化成循环小数后再去计算第 100 位上的数字和比较麻烦，通过观察计算我们200928720021，而11 0.9，则第 100 位上的数字和为 9.2009287【巩巩固固】纯纯循环小数循环小数0.abc写成最简分数时写成最简分数时,分子和分母的和是分子和分母的和是58,则三位数则三位数abc _【解析】如果直接把0.abc转化为分数,应该是3abc,因此,化成最简分数后的分母应该是 999 的约数,我们将999分解质999因数得:999 3 37,这个最简分数的分母应小于58,而且大于29,否则该分数就变成了假分数了,符合这个要 求 的999的 约 数 就 只 有37了,因 此,分 母 应 当 为37,分 子 就 是5837 21,也 就 是 说0.abc abcabc21,因此abc 2127 567.999372737【例【例 22 22】在在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立（1 1）11111111111；102020 （2 2）11110 【解析】单位分数的拆分，主要方法是从分母N的约数中任意找出两个数m和n，有：1m nmn11，NN(m n)N(m n)N(m n)AB从分母n的约数中任意找出两个m和n(m n)，有：1mnmn11NN(mn)N(mn)N(mn)AB（1）本题10的约数有：1，10，2，5例如：选 1 和 2，有：11 21211；1010(1 2)10(1 2)10(1 2)3015从上面变化的过程可以看出，如果取出的两组不同的m和n，它们的数值虽然不同，但是如果m和n的比值相同，那么最后得到的A和B也是相同的本题中，从10 的约数中任取两个数，共有C4 4 10种，但是其中比值不同的只有 5 组：(1，1)；(1，2)；(1，5)；(1，10)；(2，5)，所以本题共可拆分成 5 组具体的解如下：21111111111110202011110126014351530（2）10 的约数有 1、2、5、10，我们可选 2 和 5：15252111010(52)10(52)10(52)615另外的解让学生去尝试练习【巩巩固固】在在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立111111110 【解析】先选 10 的三个约数，比如 5、2 和 1，表示成连减式521和连加式5 21则：1111111104 10 20 80 40 16如果选 10、5、2，那么有：1111111103615173485另外，对于这类题还有个方法，就是先将单位分数拆分，拆成两个单位分数的和或差，再将其中的一个单位分数拆成两个单位分数的和或差，这样就将原来的单位分数拆成了3 个单位分数的和或差了比如，要得到1111111，根据前面的拆分随意选取一组，比如，再选择其中的一个分数进行拆分，10 101260比如1111111，所以121315610136015611111111111【例【例 23 23】45 11111111111【解析】4572 120 18 30 405 135 81 9 15 451111111【巩巩固固】=-=10 1111111【解析】104 10 20 80 40 16注：这里要先选 10 的三个约数，比如 5、2 和 1，表示成连减式 5-2-1 和连加式 5+2+1.【例【例 24 24】所所有分母小于有分母小于 3030 并且分母是质数的真分数相加，和是并且分母是质数的真分数相加，和是_。【解析】小于 30 的质数有 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29 共十个，分母为 17 的真分数相加，和等于116215314()()()1717171717178917 1。()817172类似地，可以求出其它分母为质数的分数的和。因此，所求的和是13151711111311711912312912222222222111 2356891114 5922【巩巩固固】分分母为母为 19961996 的所有最简分数之和是的所有最简分数之和是_。【解析】因为 1996=22499。所以分母为 1996 的最简分数，分子不能是偶数，也不能是 499 的倍数，499 与 3499。因此，分母为 1996 的所有最简真分数之和是11995319935011495997999()()()()11 1 4981996199619961996199619961996199611=1 23568911=5922【例【例 25 25】若若111，其中，其中 a a、b b 都是四位数，且都是四位数，且 abab，那么满足上述条件的所有数对（，那么满足上述条件的所有数对（a,ba,b）是）是2004ab【解析】2004 的约数有：1,2004,2,1002,3,668,4,501，满足题意的分拆有：1121120042004(1 2)2004(12)601230061131120042004(13)2004(13)801626721231120042004(23)2004(23)501033401341120042004(3 4)2004(3 4)46763507111【巩巩固固】如如果果，B均为正整数，则均为正整数，则B最大是多少最大是多少，A2009AB【解析】从前面的例题我们知道，要将111按照如下规则写成的形式：ABN1mnmn11，其中m和n都是N的约数。如果要让B尽可能地大，实NN(mn)N(mn)N(mn)AB际上就是让上面的式子中的n尽可能地小而m尽可能地大，因此应当m取最大的约数，而n应取最小的约数，因此m 2009，n 1，所以B 20092008.课后练习：1234561212312341234512345612345671314151617 1【解析】原式121231234123451234561234567练习练习1.1.1111112121231231234111121212345671150405039504012389练习练习2.2.(1)(2)(3)(8)(9)234910nn(n1)nn2【解析】通项为：an n，n1n1n11223242原式2345练习练习3.3.计算：计算：1 3 5 333112345678292 346789 36288910993_n233【解析】【解析】与公式1 2 n31 2n2n 142相比，1 3 5 333993缺少偶数项，所以可以先补上偶数项原式 1 2 3 333100323 4310031100210122313