三角形三边关系归纳.pdf

三角形三边关系归纳三角形三边关系归纳三角形三边关系的考点问题三角形三边关系的考点问题三角形的三条边之间主要有这样的关系：三角形的三条边之间主要有这样的关系：三三角形的两边的和大于第三边，角形的两边的和大于第三边，三角形的两边的差三角形的两边的差小于第三边小于第三边.利用这两个关系可以解决许多典型利用这两个关系可以解决许多典型的几何题目的几何题目.现举例说明现举例说明.一、一、确确定三角形某一边的取值范围问题定三角形某一边的取值范围问题根据三角形三边之间关系定理和推论可得根据三角形三边之间关系定理和推论可得结论：已知三角形的两边为结论：已知三角形的两边为 a a、b b，则第三，则第三边边 c c 满足满足|a ab b|c ca ab b.例例 1 1用三条绳子打结成三角形用三条绳子打结成三角形(不考虑结不考虑结头长头长)，已知其中两条长分别是已知其中两条长分别是 3m3m 和和7m7m，问第三条绳子的长有什么限制，问第三条绳子的长有什么限制.简析简析设第三条绳子的长为设第三条绳子的长为 x xmm，则则 7 73 3x x7 73 3，即即 4 4x x10.10.故第三条绳子故第三条绳子的长应大于的长应大于 4m4m 且小于且小于 10m10m。二、二、判判定三条线段能否组成三角形问题定三条线段能否组成三角形问题根据三角形的三边关系，根据三角形的三边关系，只需判断最小的两边只需判断最小的两边之和是否大于第三边即可之和是否大于第三边即可.例例 2 2（1 1）下列长度的三根木棒首尾相接，）下列长度的三根木棒首尾相接，不能做成三角形框架的是（不能做成三角形框架的是（）A A，5cm5cm、7cm7cm、10cm10cmB B，7cm7cm、10cm10cm、13cm13cmC C，5cm5cm、7cm7cm、13cm13cmD D，5cm5cm、10cm10cm、13cm13cm（2 2）（20042004 年哈尔滨市中考试题）以下列年哈尔滨市中考试题）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（各组线段为边，能组成三角形的是（）A A，1cm,2cm,4cm1cm,2cm,4cmB B，8cm,6cm,4cm8cm,6cm,4cmC C，12cm,5cm,6cm12cm,5cm,6cmD D，2cm,3cm2cm,3cm,6cm6cm简析简析由三角形的三边关系可知：由三角形的三边关系可知：(1)5+7(1)5+71313，故应选，故应选 C C；(2)6+4(2)6+48 8，故应选，故应选 B B.例例 3 3有下列长度的三条线段能否组成三角有下列长度的三条线段能否组成三角形？形？（1 1）a a3 3，a a，3(3(其中其中 a a3)3)；（2 2）a a，a a4 4，a a6(6(其中其中 a a0)0)；（3 3）a a1 1，a a1 1，2 2a a(其中其中 a a0).0).简析简析（1 1）因为）因为(a a3)3)3=3=a a，所以以线段，所以以线段a a3 3，a a，3 3 为边的三条线段不能为边的三条线段不能组成三角形组成三角形.（2 2）因为）因为(a a6)6)a a=6=6，而，而 6 6 与与 a a4 4 的大小关系不能确定，所以以的大小关系不能确定，所以以线段线段 a a，a a4 4，a a6 6 为边的三条为边的三条线段不一定能组成三角形线段不一定能组成三角形.（3 3）因为因为(a a1)1)(a a1)=21)=2a a2 22 2，(a a1)1)2 2a a=3=3a a1 1(a a1)1)，所以所以以线段以线段 a a1 1，a a1 1，2 2a a 为边的三为边的三条线段一定能组成三角形条线段一定能组成三角形.三、三、求求三角形某一边的长度问题三角形某一边的长度问题此类问题往往有陷阱，此类问题往往有陷阱，即在根据题设条即在根据题设条件求得结论时，件求得结论时，其中可能有一个答案是错误其中可能有一个答案是错误的，的，需要我们去鉴别，需要我们去鉴别，而鉴别的依据就是这而鉴别的依据就是这里的定理及推论里的定理及推论.例例4 4已知等腰三角形一腰上的中线把这个已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成三角形的周长分成12cm12cm和和21cm21cm两部分，两部分，求这个三角形的腰长求这个三角形的腰长.简析简析如图如图 1 1，设腰设腰 ABAB=x xcmcm，底底 BCBC=y ycmcm，D D 为为 ACAC 边的中点边的中点.根据题意，得根据题意，得 x x+1x x211212，且，且 y y+1x x2121；或；或 x x+x x2121，且，且22y y+1x x12.12.解得解得 x x8 8，y y1717；或；或 x x1414，2y y5.5.显然当显然当 x x=8=8，y y=17=17 时，时，8 88 81717 不不符合定理，应舍去符合定理，应舍去.故此三角形的腰长是故此三角形的腰长是14cm.14cm.例例 5 5一个三角形的两边分别是一个三角形的两边分别是 2 2 厘米和厘米和 9 9厘米，第三边长是一个奇数，则第三边长为厘米，第三边长是一个奇数，则第三边长为_._.简简析析设设第第三三边边长长为为 x x 厘厘米米，因因为为9-29-2x x9+29+2，即，即77x x1111，而，而x x 是奇是奇数，所以数，所以 x x=9.=9.故应填上故应填上 9 9 厘米厘米.四、四、求三角形的周长问题求三角形的周长问题此类求三角形的周长问题和求三角形某此类求三角形的周长问题和求三角形某一边的长度问题一样，也会设计陷阱，所以一边的长度问题一样，也会设计陷阱，所以也应避免答案的错误也应避免答案的错误.例例6 6A AD DC CADPBCB B图图图图已知等腰三角形的一边等于已知等腰三角形的一边等于5,5,另一边等另一边等于于 6,6,则它的周长等于则它的周长等于_._.简析简析已知等腰三角形的一边等于已知等腰三角形的一边等于5,5,另一另一边等于边等于 6 6，并没有指明是腰还是底，并没有指明是腰还是底，故应由三角形的三边关系进行分类故应由三角形的三边关系进行分类讨论，当讨论，当 5 5 是腰时，则底是是腰时，则底是 6 6，即周，即周长等于长等于 1616；当；当 6 6 是腰时，则底是是腰时，则底是 5 5，即周长等于即周长等于 17.17.故这个等腰三角形的故这个等腰三角形的周长是周长是 1616 或或 17.17.五、五、判判断三角形的形状问题断三角形的形状问题判断三角形的形状主要是根据条件寻找边之判断三角形的形状主要是根据条件寻找边之间的关系间的关系.例例 7 7已知已知 a a、b b、c c 是三角形的三边，且满是三角形的三边，且满足足 a a2 2+b b2 2+c c2 2ababbcbccaca=0.=0.试判断三试判断三角形的形状角形的形状.简析简析因为因为 a a2 2+b b2 2+c c2 2ababbcbccaca=0=0，则有，则有2 2a a2 2+2+2b b2 2+2+2c c2 22 2abab2 2bcbc2 2caca=0.=0.于是于是有（有（a ab b）2 2+（）2 2+（a a）2 22 20.0.此时有非负数的性质知（此时有非负数的性质知（a ab b）=0=0；（）2 2=0=0；（a a）2 20 0，即即 a ab b=0=0；=0=0；a a=0.=0.故故a a=b b=c c.所以此三角形是等边三角形所以此三角形是等边三角形.六、六、化化简代数式问题简代数式问题这里主要是运用两边之和大于第三边，这里主要是运用两边之和大于第三边，两边之两边之差小于第三边，从而确定代数式的符号差小于第三边，从而确定代数式的符号.例例 8 8已知三角形三边长为已知三角形三边长为 a a、b b、c c，且，且|a ab bc|c|a ab bc|c|=10=10，求，求 b b 的值的值.简析简析因因 a ab bc c，故，故 a ab bc c00因因 a ab bc c，故，故a ab bc c0.0.所以所以|a ab bc|c|a a b b c c|=|=a a b b c c (a a b b c c)=2)=2b b=10.=10.故故 b b=5.=5.七、七、确确定组成三角形的个数问题定组成三角形的个数问题要确定三角形的个数只需根据题意，要确定三角形的个数只需根据题意，运用三角运用三角形三边关系逐一验证，做到不漏不重形三边关系逐一验证，做到不漏不重.例例 9 9现有长度分别为现有长度分别为 2cm2cm、3cm3cm、4cm4cm、5cm5cm 的木棒，从中任取三根，能组成三角的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为（形的个数为（）A.1A.1D.4D.4简析简析由三角形的三边关系知：由三角形的三边关系知：若以长度分若以长度分别为别为 2cm2cm、3cm3cm、4cm4cm，则可以组成，则可以组成三角形；三角形；若以长度分别为若以长度分别为 3cm3cm、4cm4cm、5cm5cm，则可以组成三角形；若以长度，则可以组成三角形；若以长度分别为分别为 2cm2cm、3cm3cm、5cm5cm，则不可以，则不可以组成三角形；若以长度分别为组成三角形；若以长度分别为 2cm2cm、4cm4cm、5cm5cm，则也可以组成三角形，则也可以组成三角形.即即分别为分别为 2cm2cm、3cm3cm、4cm4cm、5cm5cm 的木的木棒，棒，从中任取三根，从中任取三根，能组成三角形的能组成三角形的个数为个数为 3 3，故应选，故应选 C C.例例 1010求各边长互不相等且都是整数、周长求各边长互不相等且都是整数、周长为为 2424 的三角形共有多少个？的三角形共有多少个？简析简析设较大边长为设较大边长为 a a，另两边长为，另两边长为 b b、c c.B.2B.2C.3C.3因为因为 a ab bc c，故，故 2 2a aa ab bc c，a a1(a ab bc c).).又又 a aa ab bc c，即即 2 2a a2b bc c.所以所以 3 3a aa ab bc c，a a1(a a3b bc c).).所以，所以，1(a ab bc c)a a3111(a ab bc c).).2424a a 24.24.所以所以 8 8a a23212.12.即即 a a 应为应为 9 9，1010，11.11.由三角形三边关由三角形三边关系定理和推论讨论知：系定理和推论讨论知：a 11,b 7,c 6,a 9,b 8,c 7,a 10,b 8,c 6,a 10,b 9,c 5,a 11,a 11,a 11,b 8,b 9,b 10,c 5,c 4,c 3.由此知符合条件的三角形一共有由此知符合条件的三角形一共有 7 7 个个.八、八、说说明线段的不等问题明线段的不等问题在平面几何问题中，在平面几何问题中，线段之间的不等关线段之间的不等关系的说明，系的说明，很多情况下必须借助三角形三边很多情况下必须借助三角形三边之间的关系定理及推论之间的关系定理及推论.有时可直接加以运有时可直接加以运用，用，有时则需要添加辅助线，有时则需要添加辅助线，创造条件才能创造条件才能运用运用.例例 1111已知已知 P P 是是ABCABC 内任意一点，试说内任意一点，试说明明 ABABBCBCCACAPAPAPBPBPCPC12(ABABBCBCCACA)的理由的理由.简析简析如图如图 2 2，延长，延长 BPBP 交交 ACAC 于于 D D 点点.在在ABDABD 中，可证明中，可证明 ABABADADBPBPPDPD.在在PDCPDC中，中，可证明可证明 PDPDDCDCPCPC.两式相加，两式相加，可得可得 ABABACACBPBPPCPC，同理可得，同理可得 ABABBCBCPAPAPCPC，BCBCCACAPAPAPBPB.把三式相加把三式相加后除以后除以 2 2，得，得 ABABBCBCCACAPAPAPBPBPCPC.在在PABPAB 中，中，PAPAPBPBABAB；在；在PBCPBC 中，中，PBPBPCPCBCBC；在在PACPAC中，中，PAPAPCPCCACA.上面三上面三式相加后除以式相加后除以 2 2，得，得 PAPAPBPBPCPC1(ABABBCBCCACA)，综上所述：综上所述：ABAB2BCBCCACAPAPAPBPBPCPC1(ABAB2BCBCCACA).).课堂练习课堂练习1.1.若三角形的两边长分别为若三角形的两边长分别为 6 6、7 7，则第三，则第三边长边长 a a 的取值范围是的取值范围是_。2.2.设三角形三边之长分别为设三角形三边之长分别为 3 3，8 8，1 12a2a，则则 a a 的取值范围为（的取值范围为（）A.A.6a6a3 3B.B.5a5a2 2C.C.2a52a5D.aD.a2a23.3.ABCABC 的一边为的一边为 5 5，另外两边长恰是方，另外两边长恰是方程程 2x2x2 212x+m=012x+m=0 的两根，那么的两根，那么 mm 的取的取值范围是值范围是_。4.4.已知五条线段长分别为已知五条线段长分别为 3 3，5 5，7 7，9 9，1111，若每次以其中三条线段为边组成三角若每次以其中三条线段为边组成三角形，则最多可构成互不全等的三角形形，则最多可构成互不全等的三角形（）A.10A.10 个个B.7B.7 个个C.3C.3 个个D.2D.2个个5.5.以以 7 7 和和 3 3 为两边长，为两边长，另一边的长是整数，另一边的长是整数，这样的三角形一共有（这样的三角形一共有（）A.2A.2 个个B.3B.3 个个C.4C.4 个个D.5D.5 个个6.6.已知等腰三角形的周长是已知等腰三角形的周长是 8 8，边长为整数，边长为整数，则腰长是则腰长是_。7.7.已知等腰三角形的两边长分别为已知等腰三角形的两边长分别为 6cm6cm 和和3cm3cm，则该等腰三角形的周长是（，则该等腰三角形的周长是（）A.9cmA.9cmB.12cmB.12cmC.12cmC.12cm 或或 15cm15cmD.15cmD.15cm8.8.在在ABCABC 中，中，ABABACAC，ACAC 上的中线上的中线BDBD把三角形的周长分为把三角形的周长分为21cm21cm和和12cm12cm两两部分，求三角形各边长。部分，求三角形各边长。9.9.若若 a a，b b，c c 为为ABCABC 的三边长，试证的三边长，试证a4b4 c4 2a2b2 2a2c2 2b2c2。10.10.已知：如图已知：如图 2 2，在，在ABCABC 中，中，B B2 2C C，求证：，求证：ACAC2AB2AB。11.11.已知：如图已知：如图 3 3，MM、N N 是四边形是四边形 ABCDABCD的一组对边的一组对边ADAD、BCBC 的中点，求证：的中点，求证：MN 1AB CD2，并试问，当四边形，并试问，当四边形ABCDABCD满足什么条件时取等号。满足什么条件时取等号。三角形中的有关角的考点归纳三角形中的有关角的考点归纳三角形中关于角的考点，主要在于三角形三角形中关于角的考点，主要在于三角形三内角和为三内角和为 180180求角的度数，三角形类求角的度数，三角形类型型的判断，的判断，内角和外角关系以及关于角度大小的证内角和外角关系以及关于角度大小的证明。明。一根据三角形三内角和一根据三角形三内角和 180180解题解题1.1.ABCABC 中，中，A=55A=55，B=25B=25，则，则C=C=.解析：解析：此题考查三角形内角和定理此题考查三角形内角和定理.由三角由三角形三个角的和为形三个角的和为 180180，易得易得C=180C=180-A-A-B=180B=180-55-55-25-25=100=100.A:B 2:1，C 60，2.2.在在ABC中，中，则则A_解析：设解析：设B=B=x x,A:B 2:1,A=A=2x2x,根根 据据 三三 角角 形形 内内 角角 和和 定定 理理 得得x+2x+60=180,x+2x+60=180,解解 得得 x=60,x=60,A=A=2x2x=80=80.3.3.若等腰三角形的一个外角为若等腰三角形的一个外角为70，则它的底，则它的底角为角为度度解析解析:等腰三角形的一个外角为等腰三角形的一个外角为70，则和这则和这个角相邻的内角为个角相邻的内角为 110110 度，它必为为顶度，它必为为顶180 110 35.角；所以底角角；所以底角=120004.4.图图 1 1，ABCD，ABCD，ACBC，BAC=65，ACBC，BAC=65，则BCD=则BCD=度度.解析解析:本题考查了平行线性质和三本题考查了平行线性质和三图图 1 1角形内角和性质的掌握角形内角和性质的掌握.由三角形内由三角形内角和可以知道ABC=角和可以知道ABC=2 25，再根据平行线性质，5，再根据平行线性质，我们可以知道BCD=ABC我们可以知道BCD=ABC=2=255.二利用三角形三内角比判断三角形类型二利用三角形三内角比判断三角形类型5.5.一个三角形三个内角的度数之比为一个三角形三个内角的度数之比为2:3:7，这个三角形一定是（这个三角形一定是（）A A直角三角形直角三角形B B等腰三角形等腰三角形C C锐角三角形锐角三角形D D钝角三角形钝角三角形解析：此题根据三角形内角性质，可以看解析：此题根据三角形内角性质，可以看着把着把 180180分成分成 1212 分，其中有一个占去分，其中有一个占去7 7 分，则可知次为钝角三角形，是否等分，则可知次为钝角三角形，是否等腰只看腰只看 2:32:3 就可知不等要。就可知不等要。6.6.已知已知ABCABC 中，中，A AB BC=1C=13 35 5，这个三角形是，这个三角形是三角型，三角型，A=A=B=B=，C=C=。解析：同上题可把解析：同上题可把 180180分成分成 9 9 分，有角分，有角占占 5 5 分则可知为钝角三角形，计算角度分则可知为钝角三角形，计算角度时可先算出每份为时可先算出每份为 2020，则，则A=20A=20，B=60B=60，C=100C=100.三三.内角和外角的运用内角和外角的运用 7.7.ABCABC 中，中，若若C-C-B=B=A A，则则ABCABC 的外的外角中最小的角是角中最小的角是_（填（填“锐角”“锐角”、“直“直角”或“钝角”角”或“钝角”）解析：由解析：由C-C-B=B=A A 可以得到可以得到C=C=B+B+A A，可知此为直角三角形，则其他，可知此为直角三角形，则其他2 2 内角都为锐角，其外角则最小为直角。内角都为锐角，其外角则最小为直角。8.8.如图，如图，ABCABC 中，中，点点 D D 在在 BCBC 的延长线上，的延长线上，点点 F F 是是 ABAB 边上一点，延长边上一点，延长 CACA 到到 E E，连，连EFEF，则，则 1 1，2 2，3 3 的大小关系是的大小关系是_可知可知1 12 23 3四四.利用三角形内角和外角进行证明利用三角形内角和外角进行证明9.9.一个零件的形状如图一个零件的形状如图 7-2-2-67-2-2-6 所示，按规所示，按规定定A A 应等于应等于 9090，B B、D D 应分别是应分别是3030和和 2020，李叔叔量得，李叔叔量得BCD=142BCD=142，就断定这个零件不合格，你能说出道理就断定这个零件不合格，你能说出道理吗？吗？解析：解析：2=2=3+3+E E，1=1=2+2+B B，则，则解析：解法解析：解法 1 1：如答图：如答图 1 1，延长，延长 BCBC 交交 ADAD 于于点点 E E，则则DEB=DEB=A+A+B=90B=90+30+30=120=120，从而从而DCB=DCB=DEB+DEB+D=120D=120+20+20=140=140若零件合格，若零件合格，DCBDCB 应等于应等于 140140李叔叔量得李叔叔量得BCD=142BCD=142，因此可以断定该零件不合格因此可以断定该零件不合格 (1)(1)(2)(2)(3)(3)点拨：点拨：也可以延长也可以延长 DCDC 与与 ABAB 交于一点，交于一点，方法方法与此相同与此相同解法解法 2 2：如答图：如答图 2 2，连接，连接 ACAC 并延长至并延长至 E E，则，则3=3=1+1+D D，4=4=2+2+B B，因此因此DCB=DCB=1+1+D+D+2+2+B=140B=140以以下同方法下同方法 1 1解法解法 3 3：如答图：如答图 3 3，过点，过点 C C 作作 EFEFABAB，交，交 ADAD于于 E E，则则DEC=90DEC=90，FCB=FCB=B=30B=30，所以，所以DCF=DCF=D+D+DEC=110DEC=110，从而从而DCB=DCB=DCF+DCF+FCB=140FCB=140以下同以下同方法方法 1 1说明：也可以过点说明：也可以过点 C C 作作 ADAD 的平行线的平行线点拨：点拨：上述三种解法应用了三角形外角的性上述三种解法应用了三角形外角的性质：质：三角形的一个外角等于它不相邻的三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和两个内角的和10.10.如图，在绿茵场上，足球队员带球进攻，如图，在绿茵场上，足球队员带球进攻，总是向球门总是向球门 ABAB 冲近，说明这是为什冲近，说明这是为什么？么？解析：如图，设球员接球时位于点解析：如图，设球员接球时位于点 C C，他尽力，他尽力向球门冲近到向球门冲近到 D D，此时不仅距离球门近，射门更有力，而且对球此时不仅距离球门近，射门更有力，而且对球门门 ABAB 的张角也扩大，球就更容易射中的张角也扩大，球就更容易射中理由说明如下：理由说明如下：3.3.如图，将如图，将ABC沿沿DE折叠，使点折叠，使点A与与BC边的中边的中点点F重合，下列结论中：重合，下列结论中：EF AB且且EF 1AB2；BAF CAF；S四边形ADFE1AF DE2BDF FEC 2BAC，正确的个数是（，正确的个数是（）A A1 1B B2 2C C3 3D D4 4A AD DB BE EF FC C第第 1 14 4.已知等腰三角形的一个内角为已知等腰三角形的一个内角为50，则这个等，则这个等腰三角形的顶角为（腰三角形的顶角为（）A A50B B80C C50或或80D D40或或655.5.如图，如图，已知已知ABCABC 为直角三角形，为直角三角形，C C=90=90，若沿图中虚线剪去若沿图中虚线剪去C C，则，则1 12 2 等于等于A A315315B B270270C C180180D D1351356.6.如图，在如图，在ABCABC 中，中，ACAC=DCDC=DBDB，ACDACD=100=100，则，则B B 等于等于()。C第第 3 3AD第4题图BA A5050B B4040C C2525D D20207.7.某机器零件的横截面如图所示，某机器零件的横截面如图所示，按要求线段按要求线段AB和和DC的延长线相交成直角才算合格，的延长线相交成直角才算合格，一工人测得一工人测得A 23，D 31，AED 143，请你帮，请你帮他判断该零件是否合格他判断该零件是否合格（填（填“合格”或“不合格”“合格”或“不合格”）A AB BE EC C（1212D D