2010高三数学高考《导数及其应用》专题学案：变化率与导数、导数的计算.pdf
导数及其应用考纲导读考纲导读1 1了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念.2.2.熟记八个基本导数公式(c,xm(m 为有理数)，sin x,cosx,ex,ax,lnx,logax的导数)；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数.3 3理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值知识网络知识网络导数的概念导数导数的求法和、差、积、商、复合函数的导数函数的单调性导数的应用函数的极值函数的最值高考导航高考导航导数的应用价值极高，主要涉及函数单调性、极大（小）值，以及最大（小）值等，遇到有关问题要能自觉地运用导数.第 1 课时变化率与导数、导数的计算基础过关基础过关1 1导数的概念：函数 yf(x)的导数f(x)，就是当 x0 时，函数的增量 y 与自变量的增量 x的比y的，即f(x)x2 2导函数：函数 yf(x)在区间(a,b)内的导数都存在，就说f(x)在区间(a,b)内，其导数也是(a,b)内的函数，叫做f(x)的，记作f(x)或yx，函数f(x)的导函数f(x)在x x0时的函数值，就是f(x)在x0处的导数.3 3导数的几何意义：设函数 yf(x)在点x0处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点M(x0,y0)处的 .4 4求导数的方法(1)八个基本求导公式(C)；(xn)；(nQ)(sinx)，(cosx)(ex)，(ax)(lnx)，(logax)(2)导数的四则运算(u v)Cf(x)(v 0)(uv)，(uv(3)复合函数的导数设u(x)在点 x 处可导，y f(u)在点u(x)处可导，则复合函数f(x)在点 x 处可导，且 uf(x)，即yx yux.典型例题典型例题例例 1 1求函数 y=x21在 x0到 x0+x 之间的平均变化率.解解y=(x0 x)1 22x01 2(x0 x)21 x01(x0 x)1 2x0 x(x0 x)1 222x012x0 x (x)2(x0 x)1 22x0,1yx2x0.1变式训练变式训练 1.1.求 y=x在 x=x0处的导数.解解limx0 x x0(x0 x x0)(x0 x x0)y lim limx0 xx0 x0 xx(x0 x x0)lim1x0 x x0 x012 x0.例例 2.2.求下列各函数的导数：（1）y x x5sinxx2;（2）y (x 1)(x 2)(x 3);11x11x.xx（3）y sin12cos2;（4）y 241x2解解(1)y x5sinxx2 x32 x3sinxx2,y(x352)(x3)(x2sinx)3x223x22x3sinx x2cosx.32（2）方法一方法一y=（x+3x+2）（x+3）=x+6x+11x+6，y=3x+12x+11.方法二方法二y=(x1)(x 2)(x3)(x1)(x 2)(x3)22=（x+2）x1）(x2)(x1)(x2)（x+3）+（x+1）xx 1（3）y=sincos sinx,2221 11y sin x(sin x)cosx.222=（x+2+x+1）（x+3）+（x+1）（x+2）=（2x+3）（x+3）+（x+1）（x+2）=3x+12x+11.2（4）y 11x11x1x 1x(1x)(1x)2，1 x22 2(1 x).y 221 x(1 x)(1 x)变式训练变式训练 2 2：求 y=tanx 的导数.1 sin x(sinx)cosx sin x(cosx)cos2x sin2x.解解y 22cos xcos xcos2xcosx例例 3.3.已知曲线 y=x3.1343（1）求曲线在 x=2 处的切线方程；（2）求曲线过点（2，4）的切线方程.2解解（1）y=x,在点 P（2，4）处的切线的斜率 k=y|x=2=4.曲线在点 P（2，4）处的切线方程为 y-4=4(x-2),即 4x-y-4=0.（2）设曲线 y=x3则切线的斜率 k=y|134134与过点 P（2，4）的切线相切于点A，x0,x0333xx0=x.20241342切线方程为y x0(x x0),即y x xx.x02333030323x0,点 P（2，4）在切线上，4=2x023433232223x04 0,x0 x04x04 0,x0(x01)4(x01)(x01)0,即x0(x0+1)(x0-2)=0,解得 x0=-1 或 x0=2,2故所求的切线方程为 4x-y-4=0 或 x-y+2=0.32变式训练变式训练 3 3：若直线 y=kx 与曲线 y=x-3x+2x 相切，则 k=.答案答案2 或14例例 4.4.设函数f(x)ax 1(a,bZ Z)，曲线y f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为 y=3.x b（1）求f(x)的解析式；（2）证明：曲线y f(x)上任一点的切线与直线 x=1 和直线 y=x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值.（1）解解f(x)a 1，(xb)219a,2a 2b 3,a 1,4于是解得或1b 1,a b 8.0,(2b)23因为 a,bZ Z，故f(x)x1.x1（2）证明证明在曲线上任取一点x,x 001x01由f(x)101知，过此点的切线方程为(x01)2yx02 x0111(x x0)2x01(x 1)0令 x=1，得y x01x01，切线与直线 x=1 1 交点为1,x 1x01000令 y=x，得y 2x 1，切线与直线 y=x 的交点为(2x 1,2x 1)0直线 x=1 1 与直线 y=x 的交点为(1,1)从而所围三角形的面积为1 x01121 2x011 2x02 22 x012 x01所以，所围三角形的面积为定值2.4变式训练变式训练 4 4：偶函数 f（x）=ax+bx+cx+dx+e 的图象过点 P（0，1），且在x=1 处的切线方程为 y=x-2，求 y=f（x）的解析式.32解解f（x）的图象过点 P（0，1），e=1.又f（x）为偶函数，f（-x）=f（x）.故 ax+bx+cx+dx+e=ax-bx+cx-dx+e.b=0，d=0.f（x）=ax+cx+1.42432432函数 f（x）在 x=1 处的切线方程为 y=x-2，可得切点为（1，-1）.a+c+1=-1.3f(1)=(4ax+2cx)|x=1=4a+2c，4a+2c=1.由得 a=，c=.5292函数 y=f（x）的解析式为f(x)x4x21.5292小结归纳1理解平均变化率的实际意义和数学意义。2要熟记求导公式，对于复合函数的导数要层层求导.3搞清导数的几何意义，为解决实际问题，如切线、加速度等问题打下理论基础.
