九年级数学锐角三角函数(学生讲义).pdf

.锐角三角函数与解直角三角形锐角三角函数与解直角三角形【考纲要求】【考纲要求】1.理解锐角三角函数的定义、性质及应用，特殊角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现；2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题.【知识网络】【知识网络】【考点梳理】【考点梳理】考点一、锐角三角函数的概念考点一、锐角三角函数的概念如下图，在 RtABC 中，C90，A 所对的边 BC 记为 a，叫做A 的对边，也叫做B的邻边，B 所对的边 AC 记为 b，叫做B 的对边，也是A 的邻边，直角C 所对的边 AB 记为 c，叫做斜边BcaACb锐角 A 的对边与斜边的比叫做A 的正弦，记作 sinA，即sinA A的对边a；斜边cA的邻边b；斜边cA的对边a.A的邻边b锐角 A 的邻边与斜边的比叫做A 的余弦，记作 cosA，即cosA 锐角 A 的对边与邻边的比叫做A 的正切，记作 tanA，即tanA 同理sinB B的对边bB的对边bB的邻边a；cosB；tanB B的邻边a斜边c斜边c要点诠释：要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化(2)sinA，cosA，tanA 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，-优选.，不能理解成sin 与A，cos 与A，tan 与A 的乘积书写时习惯上省略A 的角的记号“，但对三个大写字母表示成的角(如AEF)，其正切应写成“tanAEF，不能写成“tanAEF；另外，、常写成、(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在 0A90之间变化时，tanA0考点二考点二、特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出0、30、45、60、90角的各三角函数值，归纳如下：要点诠释：要点诠释：(1)通过该表可以方便地知道0、30、45、60、90角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：假设，那么锐角(2)仔细研究表中数值的规律会发现：sin0、sin90的值依次为 0、1，而cos0、的值依次、cos90的值的顺序正好相反，、增大，其变化规律可以总结为：当角度在 0A90之间变化时，正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)考点三考点三、锐角三角函数之间的关系锐角三角函数之间的关系如下图，在 RtABC 中，C=90-优选.(1)互余关系：(2)平方关系：(3)倒数关系：(4)商数关系：；或，；要点诠释：要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便考点四考点四、解直角三角形解直角三角形在直角三角形中，由元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5 个元素，即三条边和两个锐角.设在 RtABC 中，C=90，A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，那么有：三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).锐角之间的关系：A+B=90.边角之间的关系：，.，h 为斜边上的高.要点诠释：要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为 90)，是的值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.考点五、解直角三角形的常见类型及解法考点五、解直角三角形的常见类型及解法条件由两直角边(a，b)RtABC两边斜边，一直角边(如 c，a)一一直角边边和一锐角锐角、邻边(如A，b)由解法步骤求A，B=90A，求A，B=90A，B=90A，-优选.一角，B=90A，锐角、对边(如A，a)，B=90A，斜边、锐角(如 c，A)，要点诠释：要点诠释：1在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进展计算.2假设题中无特殊说明，“解直角三角形即要求出所有的未知元素，条件中至少有一个条件为边.考点六、解直角三角形的应用考点六、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h 和水平距离 的比叫做坡度，用字母 表示，那么如图，坡度通常写成=的形式.，(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.-优选.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图中，目标方向 PA，PB，PC 的方位角分别为是 40，135，245.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90的水平角，叫做方向角，如图中的目标方向线 OA，OB，OC，OD 的方向角分别表示北偏东 30，南偏东 45，南偏西 80，北偏西 60.特别如：东南方向指的是南偏东 45，东北方向指的是北偏东 45，西南方向指的是南偏西 45，西北方向指的是北偏西45.要点诠释：要点诠释：1解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.例如：3解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择适宜的方法求解.【典型例题】【典型例题】类型一、类型一、锐角三角函数的概念与性质锐角三角函数的概念与性质-优选.1(1)如下图，在ABC 中，假设C90，B50，AB10，那么 BC 的长为()A10tan50B10cos50C10sin50D(2)如下图，在ABC 中，C90，sinA10sin503，求 cosA+tanB 的值5(3)如下图的半圆中，AD 是直径，且 AD3，AC2，那么 sinB 的值等于_【思路点拨】(1)在直角三角形中，根据锐角三角函数的定义，可以用某个锐角的三角函数值和一条边表示其他边(2)直角三角形中，某个角的三角函数值即为该三角形中两边之比 知道某个锐角的三角函数值就知道了该角的大小，可以用比例系数k 表示各边(3)要求 sinB 的值，可以将B 转化到一个直角三角形中【总结升华】一个角的某个三角函数值，求同角或余角的其他三角函数值时，常用的方法是：利用定义，根据三角函数值，用比例系数表示三角形的边长；(2)题求 cosA 时，还可以直接利用同角三角函数之间的关系式sin2A+cos2A1，读者可自己尝试完成举一反三：举一反三：【变式变式】RtABC 中，C=90，a、b、c 分别是A、B、C 的对边，那么 c 等于()(A)acosA bsin B(B)asin A bsin B(C)abab(D)sinAsinBcosAsinB类型二、特殊角的三角函数值类型二、特殊角的三角函数值2解答以下各题：(1)化简求值：tan60 tan45 sin45sin30；sin60 cos30 cos45(2)在ABC 中，C90，化简12sin Acos A-优选.【总结升华】由第(2)题可得到今后常用的一个关系式：12sincos=(sincos)2例如，假设设 sin+cost，那么sincos举一反三：举一反三：【变式变式】假设sin23(1)如下图，在ABC 中，ACB105，A30，AC8，求 AB 和 BC 的长；(2)在ABC 中，ABC135，A30，AC8，如何求 AB 和 BC 的长(3)在ABC 中，AC17，AB26，锐角 A 满足sin A 假设 AC3，其他条件不变呢12(t 1)232，cossin，(2，为锐角)，求tan()的值.2312，如何求 BC 的长及ABC 的面积？13【思路点拨】第(1)题的条件是“两角一夹边由条件和三角形角和定理，可知B45；过点 C 作 CDAB于 D，那么 RtACD 是可解三角形，可求出 CD 的长，从而 RtCDB 可解，由此得解；第(2)题的条件是“两角一对边；第(3)题的条件是“两边一夹角，均可用类似的方法解决类型三、解直角三角形及应用类型三、解直角三角形及应用-优选.4如下图，D 是 AB 上一点，且 CDAC 于 C，SACD:SCDB2:3，cosDCB 4，AC+CD18，求 tanA 的值和 AB 的长专题总结及应用专题总结及应用一、知识性专题一、知识性专题专题专题 1 1：锐角三角函数的定义：锐角三角函数的定义【专题解读】锐角三角函数定义的考察多以选择题、填空题为主例 1如图 28123 所示，在RtABC中，ACB90，BC1，AB2，那么以下结论正确的选项是()AsinA32BtanA12CcosB32DtanB3例 2在ABC中，C90，cosA35,那么 tanA等于()A34345B5C4D3专题专题 2 2特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值【专题解读】要熟记特殊角的三角函数值例 4计算|3|2cos 45(31)0例 5计算129(1)2007cos 60-选5优.例 6计算|2|(cos 60tan 30)081 1 例 7计算(3.14)0|1tan 60|.23 23专题专题 3 3锐角三角函数与相关知识的综合运用锐角三角函数与相关知识的综合运用【专题解读】锐角三角函数常与其他知识综合起来运用，考察综合运用知识解决问题的能力.例 8如图 28124 所示，在ABC中，AD是BC边上的高，E为AC边的中点，BC14，AD12，sinB45(1)求线段DC的长；(2)求 tanEDC的值.例 9如图 28125 所示，在ABC中，AD是BC边上的高，tanBcosDAC.(1)求证ACBD；(2)假设 sinC-优选12，BC12，求AD的长13.例 10如图 28126 所示，在ABC中，B45，C30，BC30303，求AB的长专题专题 4 4用锐角三角函数解决实际问题用锐角三角函数解决实际问题【专题解读】加强数学与实际生活的联系，提高数学的应用意识，培养应用数学的能力是当今数学改革的方向，围绕本章容，纵观近几年各地的中考试题，与解直角三角形有关的应用问题逐步成为命题的热点，其主要类型有轮船定位问题、堤坝工程问题、建筑测量问题、高度测量问题等，解决各类应用问题时要注意把握各类图形的特征及解法例 13如图 28131 所示，我市某中学数学课外活动小组的同学利用所学知识去测量沱江流经我市某段的河宽 小凡同学在点A处观测到对岸C点，测得CAD45，又在距A处 60 米远的B处测得CBA30，请你根据这些数据算出河宽是多少(结果保存小数点后两位)例 14如图 28132 所示，某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的A点处发现海中的B点有人求救，便立即派三名救生员前去营救 1 号救生员从A点直接跳入海中；2 号救生员沿岸边(岸边可以看成是直线)向前跑到C点再跳入海中；3 号救生员沿岸边向前跑 300 米到离B点最近的D点，再跳入海中，救生员在岸上跑的速度都是 6 米秒，在水中游泳的速度都是2 米/秒假设BAD45，BCD60，三名救生员同时从A点出发，请说明谁先到达营救地点B(参考数据21.4，3-优选.1.7)例 15如图 28133 所示，某货船以 24 海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正向的M处，在点A处测得某岛C在它的北偏东 60方向上，该货船航行30分钟后到达B处，此时再测得该岛在它的北偏东30方向上；在C岛周围 9 海里的区域有暗礁，假设货船继续向正向航行，该货船有无触礁危险试说明理由例 16如图 28134 所示，某幢大楼顶部有一块广告牌CD，甲、乙两人分别在相距 8 米的A，B两处测得D点和C点的仰角分别为 45和 60，且A，B，F三点在一条直线上，假设BE15 米，求这块广告牌的高度(31.73，结果保存整数)例 17如图 28135 所示，某水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽AD2.5m，坝高4 m，背水坡的坡度是 1：1，迎水坡的坡度是 1：1.5，求坝底宽BC.-优选.例 18如图 28136 所示，山顶建有一座铁塔，塔高CD30m，某人在点A处测得塔底C的仰角为 20，塔顶D的仰角为 23，求此人距CD的水平距离AB(参考数据：sin 200.342，cos 200.940，tan 200.364，sin 230.391，cos 230.921，tan 230.424)二、规律方法专题二、规律方法专题专题专题 5 5公式法公式法【专题解读】本章的公式很多，熟练掌握公式是解决问题的关键1sin2例 19当 090时，求的值cos三、思想方法专题三、思想方法专题专题专题 6 6类比思想类比思想【专题解读】求方程中未知数的过程叫做解方程，求直角三角形中未知元素的过程叫做解直角三角形，因此对解直角三角形的概念的理解可类比解方程的概念 我们可以像解方程(组)一样求直角三角形中的未知元素例 20在 RtABC中，C90，A，B，C的对边分别为a，b，c，a解这个直角三角形-优选515，b，22.专题专题 7 7数形结合思想数形结合思想【专题解读】由“数思“形，由“形想“数，两者巧妙结合，起到互通、互译的作用，是解决几何问题常用的方法之一例21如图28137所示，的终边OPAB，直线AB的方程为y那么 cos等于()AC21B2233D2333x，33专题专题 8 8分类讨论思想分类讨论思想【专题解读】当结果不能确定，且有多种情况时，对每一种可能的情况都要进展讨论例 22一条东西走向的高速公路上有两个加油站A，B，在A的北偏东 45方向上还有一个加油站C，C到高速公路的最短距离是30 km，B，C间的距离是 60 km要经过C修一条笔直的公路与高速公路相交，使两路穿插口P到B，C的距离相等，求穿插口P与加油站A的距离(结果可保存根号)专题专题 9 9转化思想转化思想例 24如图 28140 所示，A，B两城市相距 100 km现方案在这两座城市中间修筑一条高速公路(即线段AB)，经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东 30和B城市的北偏西 45的方向上森林保护区的围在以P点为圆心，50 km 为半径的圆形区域请问方案修筑的这条高速公路会不会穿越保护区 为什么(参考数据：31.732，21.414)-优选.例 25小鹃学完解直角三角形知识后，给同桌小艳出了一道题：“如图 28141 所示，把一长方形卡片ABCD放在每格宽度为 12 mm 的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上36，求长方形卡片的周长 请你帮小艳解答这道题(结果保存整数；参考数据：sin 360 6，cos 360 8，tan 360.7)例 26如图 28142 所示，某居民楼I 高 20 米，窗户朝南该楼一楼住户的窗台离地面距离CM为 2 米，窗户CD高 18 米现方案在 I 楼的正南方距 1 楼 30 米处新建一居民楼当正午时刻太线与地面成30角时，要使楼的影子不影响 I 楼所有住户的采光，新建楼最高只能盖多少米-优选