习题与复习题详解----高等代数.pdf
第第 五五 章章习习 题题 与与 复复 习习 题题 详详 解解(矩矩 阵阵 特特征征 值值 和和 特特 征征 向向 量量)-高高 等等 代代 数数(共共3 3 4 4 页页)-本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可-内页可以根据需求调整合适字体及大小-习题习题1.(1)若 A2=E，证明 A 的特征值为 1 或1;(2)若 A2=A，证明 A 的特征值为 0 或 1.证明证明（1）A2 E所以A2的特征值为1，故A的特征值为1（2）A2 A所以两边同乘A的特征向量X,得A2X AX,即2X X()X 0,由于特征向量非零，故 022即 0或12.若正交矩阵有实特征值，证明它的实特征值为 1 或1.证明证明设A是正交阵，故有ATA E,AT A1AT与A有相同的特征值，1故设A的特征值是，有=，即 13求数量矩阵 A=aE 的特征值与特征向量.解解设A是数量阵，则a0A aE 000000a000aaE A a000a所以：特征值为 a(n 重),A 属于 a 的特征向量为 k1(1,0,0)T+k2(0,1,0)T+kn(0,0,1)T，(k1,k2,kn不全为 0)4求下列矩阵的特征值与特征向量.113（1）0120022324（2）20242322 112（3）2 221 212（4）533102a1aT(5)A 2b1b2ana1b1ab2bn,其中，2,(a1 0,b1 0)且T 0.abnn解（解（1 1）11AE 0100322 0,求得特征值为:121,3 2,分别代入AX=0,0,求得A 属于特征值 1 的全部特征向量为 k(1,0,0)T，(k0)A 属于特征值 2 的全部特征向量为 k(1，2，1)T，(k0)解（解（2 2）3AE 242492r1r322344902c1c3023149223按第一列展开(1)49(1)2(8)2求得特征值：12 1,38将其代入(AE)X 0 0，求得特征向量：3121 1时，X k11k20，k1,k2不全为零10 118时，X kk 0 21解（解（3 3）12AE 2122211112 r1r2r3212 (1)212212112121011(1)112 (1)(1)(3)021解得：11,2 1,3 3代入(AE)X 0 0，求得特征向量：A 属于特征值-1 的全部特征向量为 k(1,-1,0)T，(k0)；A 属于特征值 1 的全部特征向量为 k(1,-1,1)T，(k0)；A 属于特征值 3 的全部特征向量为 k(0,1,-1)T，(k0)解（解（4 4）251130223r35r20211302752直接展开：(1)221(1)3特征值为-1，-1，-1；A 属于特征值-1 的全部特征向量为 k(1,1,-1)T，(k0)4解（解（5 5）a1aA 2b1b2ana1b1a1b2a ba2b2bn2 1anb1anb2a1bna2bnanbn设为A的任一特征值，A的属于的特征向量为：，则A于是A2A2而A2TT(T)T(T)TT 0故2=0，因为特征向量 0，所以 0，即矩阵A的所有特征值为 0.a1b2a1b1a ba2b2AE 2 1anb2anb1bnb1b20000初等行变换000解得基础解系：b3b2bb11 0 1 1,20100a1b1a2bna ba1 0,b1 02 1anbnanb1a1bna1b2a2b2anb2a1bna2bnanbnbnb1 0 n-101特征值为 0（n 重）；A 属于 n 重特征值 0 的全部特征向量为：b3bn2bb1b1b1 0 0 1 k10+k21+kn10（k1，k2，kn1不全为零）00155.设12A2 212221(1)求A的特征值与特征向量；（2）求E A1特征值与特征向量.解(1）1223113AE 212r1r2r3212c3c222212212310430(1)4122132(1)(5)(1)121,3 5将1代入特征矩阵：222 A E222111000222000故属于1的特征向量为11 k11 k20(k1,k2不全为0）01将1代入特征矩阵：422 A5E242211 121224000属于3 5的特征向量：1 k1（k 0）1(2）E A1的特征值为:11 2,114556101121 7416.已知 12 是矩阵A 471的一个特征值，求 a 的值.4a4解解71241541112A12E 47121 451 0994a4124a80a4012是A的特征值，A12E 0a 41211 7.已知 X=k是矩阵 A=121的一个特征向量.求 k 及 X 所对应的特征值.1112 解解AX X211 11 121kk11211 2k 112k 1k解得：k1 2,k21,代回得1k 2 k1 2k21112 4习题习题1.判断习题第 4 题中各矩阵能否与对角矩阵相似.如果相似，求出相似变换矩阵与对角矩阵.1）特征值121只有一个线性无关的特征向量，不能对角化2）二重根12 1有两个线性无关的特征向量，可以对角化.7相似变换矩阵为112100 P 201对角阵为 0100120083）矩阵有三个互异的特征值，故可以对角化.110 100P 111对角阵为 0100110034）不能对角化.5）n1重根 0有n1个线性无关的特征向量，所以可以对角化.2判断下列矩阵是否与对角阵相似，若相似，求出可逆矩阵 P,使P1AP为对角阵.211112（1）A020（2）A010413001解解(1)2AE 04121103(2)2413(1)(2)21 1,23 2 2时，R(AE)1所以该矩阵可以对角化代入12 2,3 1解得对应的特征向量分别为：111 k14k20,k0041 111所以：可逆矩阵P 400041解解(2)81AE 00110201(1)31时，R(AE)1故该矩阵不能对角化3设 A 是一个 3 阶矩阵，已知 A 的特征值为 1，1，0，A 属于这 3 个特征值的特征向量分别为1 0 1 X12,X22,X31112 求 A.解解 A 有三个互异的特征值，所以可以对角化.1A001A P0010010110P 2211120000110P00求P:1011(P|E)22101120 5121P311412k001100010 51A 164200010051221210010311111010014122610111224计算212 (k为正整数）.221解解1AE 22225221220112 512(5)0121521009(5)(1)2222 1时，(AE)222111000222000解得特征向量：=k1 K1，k1,k2 0112001422 24210 5时，(AE)2424222240000100解得特征向量：1=k1k 01 121122kk333212-11 1 1 12 =1 12211010115333111333(1)k1(1)k15k-1213(1)k05k11120(1)k5k1112(1)k1(1)k15k(1)k15k15k3(1)k15k2(1)k5k(1)k15k(1)k15k(1)k15k2(1)k5k5设A 200 2a2,B 2233ab10110A 与 B 相似.（1）求 a,b 的值；（2）求可逆矩阵 P,使P1AP=B.解解1）A 与 B 相似，故 A 与 B 有相同的特征多项式，即：E A E B2E A 23200a2a2(2)3(a1)2(a4)2(a2)11110020(2)2(b)3(b1)2(b2)2b0bE B 00各项系数对应相等可得：2b 2a4,b2 (a4),b a2a 0,b 2（2）2001A 202,B 2311211100100100 0 212 212 012解得（A E)X 0 0的基础解系为kA E1231110000012 2400 100 1000 222 111 011解得（A2E)X 0 0的基础解系为kA2E213113110001 3 20001111011222 313 010解得（A2E)X 0 0的基础解系为kA2E30313000000111001最后解得可逆矩阵P210,使得P1APB111001x1y6.设 A=与对角阵相似，求 x，y 满足的条件.100解解AEx10101y(1)(1)(1)将1代入特征矩阵：101101AEx0yx0y101000由于A与对角矩阵相似，故R(AE)2于是xy即xy07设 A 与 B 相似，f（x）=a0 xn+a1xn1+an1x+an（a00），证明 f（A）与 f（B）相似证明证明因ABan 1AanE)Pan 1P1A PanP1EP所以存在可逆P,使得P1APBP1(a0Ana1An 1现证明P1AkPBk因Bk(P1AP)kP1AkP代回P1f(A)Pa0Bna1Bn 1an 1BanEf(B)a0P1AnPa1P1An 1P故 f（A）与 f（B）相似BA08若 A 与 B 相似，C 与 D 相似，证明与00C证明证明0相似.D12若A相似于B,C相似于D1则存在P1 B1AP1,有P存在P2,有P21CP2 DPP 111P1PP2P21BDP21CP21 APP11CP21得证1P11APP2习题习题1求正交矩阵 Q，使Q1AQ为对角阵.220 211(1)A 212（2）A 121112020解解（1）先求特征值和特征向量2AE 20将11代入：21202 直接展开(2)(1)4(2)4 33268 2(1)2(4)(1)(2)(4)(1)1011201211201A E202101021 012021021000000解得特征向量：231单位化得：3232P 112132 4220 220 102232 012 012AE024024000 2 3解得P2 22单位化：213133 2 420 210 2AE 23223202200110 113解得P23正交化：22323于是构成正交矩阵221333Q 2124333,Q1AQ 11223233解解（2）先求特征值和特征向量1410 111000001211002AE 11211 r1+r2+r3 1201 1300112112(3)2将 0代入：211A0E1211211121010111120000001 13解得：1 11单位化：1131 3将 3代入：111111A3E111000111000111解得：P111P200正交化：P21,P310121 21 单位化 1622,1 360261311 26于是构成正交矩阵Q 1131026,Q1AQ 3130261510332已知1=6，2=3=3 是实对称矩阵 A 的三个特征值，A 的属于2=3=31 1 的特征向量为 X2=0，X3=2，求 A 的属于1=6 的特征向量及矩阵11A x1解解 令A的属于16的特征向量为：X1x2x3X1TX2 X1TX3 0有：1-x x 013 解得：X11x 2x x 02311 111 6111 A 102310211131111 13111 6110232111316130131341111412114161 且 A 的属于16的特征向量为：X1 k1(k 0)1 T3.设3阶实对称矩阵A的秩为2，12 6是A的二重特征值，若1（，11，0）,T2（2，11，）,都是A属于特征值6的特征向量.（1）求A的另一特征值和对应的特征向量；（2）求A.解解（1）因为R(A)2,所以 A 016 x1A的另一特征值为 0，令其相应的特征向量为X x2，满足x3XT2 XT1 0有：1x x 012解得：X112x x x 01231121121 6 121(2)P 111,A11161110110110011 0111216422 1211116 24233301102241113 331习题五习题五(A)(A)一、填空题一、填空题1已知 3 阶矩阵 A 的特征值为 1，3，-2，则 AE 的特征值为 ,A的特征值为(A)2 E的特征值为 .解解 AE 的特征值为 A 的特征值减 1，故 AE 的特征值为 0，2，-3.A的特征值为A,A 13(2)6求得A*的特征值为：6，2，3(A*)2+E的特征值为：(6)2+1，(2)2+1，321.即37,5,10172n 阶矩阵 A 的特征值为 1，2，3，n，则A(n1)E .解解A-(n+1)E的特征值为：1-(n+1)=-n,2-(n+1)=1-n,3-(n+1)=2-n,n-(n+1)=-1所以 A-(n1)(n)(1n)(2 n)(1)(1)n!n3.已知 3 阶矩阵 A 的特征值为 1，3，5，则A E=.解解,即15，5，3A*+E的特征值为：16,6,4,A*+E 1664 384A 135 15 求得A*的特征值为：A4.设 A 为 3 阶方阵，且A2E AE A2E 0，则A=，A1 2E=，A2 E=.解解由题意知：11A的特征值为2，1，2，A 4,A1的特征值为：-,1,2235A1+2E的特征值为：,3,A2的特征值为：4,1,4;A2+E的特征值为5,2,522A1 2E 452,A E 504B1 E1 1 15若 3 阶方阵 A 与 B 相似，A 的特征值为,，则O2 3 4E=.1A解解B1 EO1E 11 B E AA1A相似于B,A与B有相同的特征值，A1,B1的特征值都为：2，3，4B-E的特征值为：1，2，3B1 EOE 11 B E A123234 1441A6已知 3 阶矩阵 A-1的特征值为 1，2，3，则A的特征值为 .18解解A1123 6,A 16A1 11 1 1A的特征值为1,A*的特征值为,2 36 3 21107.已知矩阵A2x0的特征值为 1,2,3,则 x=.421解解tr(A)特征值的和，tr(A)1 x11236,x 418.已知 3 阶矩阵 A 的特征值为 1，3，2，则(A2)1的特征值为 .3解解A 的特征值为：1,3,211(A2)-1的特征值为13A的特征值的平方311 3求得：(A2)-1的特征值3,33 49.设 A，B 均为 3 阶方阵，A 的特征值为 1，2，3，B=1，则AB B=.解解AB B (A E)B A E|B因A的特征值是1，2，3，故 A 123 6A*的特征值是 6,3,2A*+E的特征值是 7,4,3AB B (A E)B A E|B 743(1)8410.设1b1000A ba1,B 010111004有相同的特征值，则 a=，b=.解解19A,B有相同的特征值，即tr(A)tr(B),a11140a 3代入A由 A B 01b1A b31 (b1)2 0,b 111111.已知矩阵 A 的各行元素之和为 2,则 A 有一个特征值为 .解解a11a令：A 21an1a12a22an2a1na11a12aaa2n2122由题意：annan1an2a1n 2a2n 2ann 2a12a22a1na2nAE a11a21an1a12a22an2a1na2nannj1nna1ja2 jj1j1nanjan2annj1nna1ja2 ja12a22a1n2a2n22a12a22an2a1na2nannj1j1nanjan2ann201a12a1n(2)1a22a2n1an2ann显然 A 有一个特征值为 2112已知 0 是A 01020的一个特征值，则 a=.10a解解由于 0 是A 101020的一个特征值，则：10aE A 0，即A 0，即101A 020 2a2 0 a 110a二、单项选择题二、单项选择题1.若 4 阶方阵 A 与 B 相似，A 的特征值为1 1 1 12,3,4,5，则B1 E（）.(A)24 (B)-24 (C)-32 (D)32解解A相似于B,则A,B有相同的特征值B1-E的特征值:2-1,3-1,4-1,5-1,即1，2，3，4故 B1E 24选(A)2.设 A 为 n 阶矩阵,为 A 的一个特征值,则 A 的伴随矩阵A的一个特征值为().(A)AnA (B)(C)A (D)An解解AX X,两边同乘A*,得：A*AX A*XA EX A*X,A*X AX所以A*的特征值是A213.设 A 为 n 阶矩阵,X 为 A 属于的一个特征向量,则与 A 相似的矩阵 B=P-1AP的属于的一个特征向量为().(A)PX (B)P-1X (C)PTX (D)PnX解解A PBP1AX XPBP1X X所以选(B)BP1X P1X 1 2124.已知 X=1是矩阵 A=2ba的一个特征向量,则 a,b 的值分别为().1a32(A)5,2 (B)-1,3 (C)1,-3 (D)-3,1解解212 1 1 214 AX X,即2ba11得2b2a 1a3221a6 2 5,a 3,b 1选(D)5.下列结论正确的是().（A）X1,X2是方程组(E A)X=O 的一个基础解系,则 k1X1+k2X2是 A 的属于的全部特征向量,其中 k1,k2是全不为零的常数（B）A,B 有相同的特征值,则 A 与 B 相似（C）如果A=0,则 A 至少有一个特征值为零（D）若同是方阵 A 与 B 的特征值,则也是 A+B 的特征值解解（A)k1,k2应为不全为零的常数（B)不一定相似，因为不一定能找到可逆矩阵 P,使P AP B(C)正确（D）AX X1BY Y显然不是 A+B 的特征值6.设1，2是矩阵 A 的两个不相同的特征值，是 A 的分别属于1，2的特征向量，则（）.（A）对任意 k10，k20，k1+k2都是 A 的特征向量22（B）存在常数 k10，k20，使 k1+k2是 A 的特征向量（C）当 k10，k20 时，k1+k2不可能是 A 的特征向量（D）存在唯一的一组常数 k10，k20，使 k1+k2是 A 的特征向量解解（A）显然不成立；（B）不存在；（C）正确；（D）不存在.所以选（C）17.与矩阵1相似的矩阵是（）.2110101100100(A)010 (B)020 (C)011 (D)120002001002111解解1是二重根，将1分别代入AE,只有在(C)中，RAE1故选(C)8.下列矩阵中,不能相似对角化的是().110110101100(A)021 (B)010 (C)010 (D)011003002101002解解 答案(C)中，1是三重特征值，代回AE中，RAE 2显然(C)不能对角化.9.若 A 与 B 相似，则（）.（A）E A E B（B）E A E B（C）A=B（D）A*=B*解解因为存在可逆矩阵P,使P1AP B则E B E P1AP P1(E A)P P1(E A)P(E A)选(B)10.设向量=（a1，a2，an）T，=（b1，b2，bn）T都是非零向量，且满足条件T=0，记 n 阶矩阵 A=T,则().(A)A 是可逆矩阵 (B)A2不是零矩阵23(C)A 的特征值全为 0 (D)A 的特征值不全为 0解解A2(T)(T)TTA2 0T(T)T 0故A2的特征值全为零，而若设 A 的特征值为，则A2的特征值为 2，显然有2 0 0选(C)(B)(B)1设 3 阶矩阵 A 的特征值为 1，2，3，对应的特征向量分别为11111,22,33149又设向量1131A;(2)将用1,2,3线性表示；3）求An.解解（1）由题意111P 123A P121111P1123149314920100016116（2）24352343 1321 212（）求（令 x11 x22 x331111 即11x12x23x33149 化为线性方程组形式求解，得增广矩阵11111011 1001 A 123101020102_14930011001x1 2 解得:x22x31 21223（3）解解An An(2n1223)2A12An2 An3 2n112n2n233 212n1n233 22n13n22n23n122n33n22设 A 为 4 阶方阵，且A3E 0，A=9，（1）求A的一个特征值；（2）A2A1的一个特征值.解解（1）由已知：A的一个特征值1 3,A*的一个特征值A91 3（2）A1的一个特征值-13故 A2A1的一个特征值-81132511211 3已知向量 X=b是可逆矩阵 A=121的伴随矩阵A的一个特征向111a 量，求 a,b 与 X 所对应的特征值解解AX X两边同乘以A得A EX AX211A 121 3a211a12111 (3a2)b121*b111a1 解得：2a a 2a 23b 1 或b 2或b 11 4 04.A 是 n 阶正交矩阵，A 1，证明 1 是 A 的特征值.证明证明AX X两边同乘以AT,得ATAX ATXEX ATXATX 1X15.设 A 是正交矩阵，是A的特征值,证明也是A的特征值.证明证明AX XATAX ATX X ATXATX 1X26故1是AT的特征值，也是A的特征值.3216已知矩阵A aaa,0是A的3重特征值，求a及0.365解解321A aaa,3653212AE aaac1c30365220021aa6521(a)aaa(2)8(6)86(2)(a)(6)8a(2)(2(a6)2a)0是A的3重特征值，0 2且:2(a6)2a (2)2两边对应相等得:a 21107，已知 A220可相似对角化，求与它相似的对角阵和 An.4x1解解 先求 A 的特征值：12412x001(1)(1)(2)2(1)2(1)1解得1 0,2311是二重特征值，则有：27210 00R(A1E)R210 R02104x04x0 x 2110故A220421当1 0110 4211(A0E)22042122000000解得特征向量1112当231210210(A1E)210000420000解得特征向量：102 23001所以得相似变换矩阵：1100P 120 12011An=PnP1280121200110 000 210An1200101102010014211102204218设 A 是 3 阶方阵，A 有 3 个不同的特征值1，2，3，对应的特征向量依次为1,2,3,令123证明：,A,A2线性无关.解解A A(123)112233A A(123)12233k3(121222323)222122k1k2Ak3A2 k1(123)k2(112233)(k1k21k312)1(k1k22k322)2(k1k23k332)3 01,2,3线性无关，（它们是不同特征值所对应的特征向量）故有：k1k21k312 02k1k22k32 0即:2k kk 01233311121312k122k2 o32k3由于ijA 0（范德蒙行列式结论）所以方程只有零解.即,A,A2线性无关9若 A 与 B 相似且 A 可逆，证明：A*与 B*相似.证明证明AA*A EA*A A1B*B B129A B,有 A B且存在可逆矩阵P，使P1AP B*1B1 P1A1P111111*P A P P A A P A PA P A B B B B故 A*与 B*相似20010010设 A=001，B=010，试判断 A、B 是否相似，若相似，求出010062可逆矩阵 P，使得 B=P1AP 解解2AE 001BE 000101 (2)(1)(1)01(2)(1)(1)2016A、B 有相同的特征值且都可以对角化，所以要确定 A、B 是否相似，先求 A、B 的特征向量：1 2000 012010021 021 001AE0120000001 解得特征向量100 21100 100100 011 011 011A1E0110000000 解得特征向量211 303 1300100011 011A E011000 0 解得特征向量311100 P 011011200 A P010P10011 2100100030 010BE0600000 解得特征向量 p101 21000010020 001BE0610001 解得特征向量 p200 3 1100 2001BE000 0120630000 解得特征向量 p312 31010200 构成可逆矩阵Q 001，有B Q010Q1102001A PP1B QQ1 P1AP Q1BQA PQ1BQP1所以A B的相似变换矩阵为PQ1100 021021PQ1011100110011010112 12311设矩阵A 143有一个 2 重特征根，求 a 的值并讨论 A 可否相似对1a5角化.解解1AE 112320043 r1r2133(2)(28183a)a51a15由于当a 2,183a 12故2812 (2)(6)，2是A的二重特征值代入123123123 000A2E123000RA2En21此时 A 可以对角化2当a ,183a 1632816 (4)2，4是A的二重特征值32A4E 102 13332331030001 RA4E 232此时 A 不能对角化12A 是 3 阶矩阵，1，2，3是线性无关的 3 维列向量组，且满足A1123,A2 223,A3 2233（1）求矩阵 B,使A(1，2，3)(1，2，3)B；（2）求 A 的特征值.解解100(1)由A(a,a,a)(a,a,a)122，知123123113100B 122.113（2）因为1，2，3是线性无关的 3 维列向量组，所以P (1,2,3)可逆所以P1AP B即矩阵 A 与 B 相似，由此可得矩阵 A 与 B 有相同的特征值.由1002E B 122(1)(4)0113得矩阵 B 的特征值，也即矩阵 A 的特征值21,3 4.100113.设矩阵B 010，已知矩阵 A 与 B 相似，计算 R(A-2E)+R(A-E).100解：A相似于B则 A 与 B 有相同的特征值，先求 B 的特征值0BE 011010 1(1)(1)1是 A的二重特征值33101 101代入BE000000101000所以RBE1,故1时B可以对角化,A也可以对角化故RAE1 2 不是 A 的特征值，故 A2E 0,于是有RA2E 3则RA2E RA E 414A 是 3 阶实对称矩阵，A 的特征值为 1，0，-1，A 属于 1 与 0 的特征向量分别为（1,a,1）T和(a,a+1,1)T，求 A.解：A 是 3 阶实对称矩阵，A 的特征值互不相同，故这三个特征值所对应的特征向量正交.有：a 22a1 0,得:a 2a1(a1)01,a,11所以a 11 1 a 1 代入：a1,a101111 x11x1 x2 x3 0 设属于-1 的特征向量x2，得属于-1 的特征向量x1 x3 02x13 111得相似变换矩阵P 102111 162A P P1 P PT3162313231 6231615设 A 是 n 阶实对称矩阵，满足 A33A2+3A2E=O，求 A 的特征值.解：由于 A 是 n 阶实对称矩阵，所以 A 的特征值都是实数，34A33A23A2E 0两边同乘以特征向量(A33A23A2E)X 0A3X 3A2X 3AX 2EX 0由于X 03X 32X 3X 2X 0故(332)X 03233232 0(2)(21)0由于是实数，所以 216设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值11,2 2,3 2,11,1,1是A属于1的一个特征向量，B=A5-4A3+E.求 B 的特征值和特征向量.解 A 是 3 阶实对称矩阵，11,2 2,3 2,互不相同，所以对应于1,2,3的特征向量两两正交.令 x1X x2与1正交 x1 x2 x3 0 x311 解得：X21，X3001 TB=f(A)=A5-4A3+E.的特征值（f）所以 B的特征值为1 2,231,B属于1 2的全部特征向量为k1(k 0),11 B属于231的全部特征向量为k11k20，(k1,k2不全为0）.01 35
