大一线性代数期末习题及答案1.pdf
座位号诚信应考诚信应考,考试作弊将带来严重后果！考试作弊将带来严重后果！线性代数期末考试试卷及答案线性代数期末考试试卷及答案注意事项：注意事项：1.1.考前请将密封线内填写清楚；考前请将密封线内填写清楚；2.2.所有答案请直接答在试卷上所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上或答题纸上)；3 3考试形式：开（闭）卷；考试形式：开（闭）卷；4.4.本试卷共本试卷共 五大题，满分五大题，满分 100100 分，分，考试时间考试时间 120120 分钟分钟。题题 号号一一二二三三四四五五总分总分得得 分分评卷人评卷人)一、单项选择题单项选择题（每小题 2 分，共 40 分）。题1设矩阵A为22矩阵,B为23矩阵,C为32矩阵，则下列矩阵运算无意义的是【答不内A.BAC B.ABC C.BCA D.CAB线2.设 n 阶方阵 A 满足 A2E=0，其中 E 是 n 阶单位矩阵，则必有封【】密(A.矩阵 A 不是实矩阵 B.A=-E C.A=E D.det(A)=13.设 A 为 n 阶方阵，且行列式 det(A)=1 ,则 det(-2A)=【】A.2 B.2n C.2n D.14.设 A 为 3 阶方阵，且行列式 det(A)=0，则在 A 的行向量组中【】A.必存在一个行向量为零向量B.必存在两个行向量，其对应分量成比例C.存在一个行向量，它是其它两个行向量的线性组合D.任意一个行向量都是其它两个行向量的线性组合5设向量组a1,a2,a3线性无关，则下列向量组中线性无关的是【】学院专业】姓名学号Aa1 a2,a2 a3,a3 a1 B.a1,a2,2a13a2 C.a2,2a3,2a2 a3 D.a1a3,a2,a16.向量组(I):a1,am(m 3)线性无关的充分必要条件是【】A.(I)中任意一个向量都不能由其余 m-1 个向量线性表出B.(I)中存在一个向量,它不能由其余 m-1 个向量线性表出C.(I)中任意两个向量线性无关D.存在不全为零的常数k1,km,使k1a1 kmam 07设a为m n矩阵，则n元齐次线性方程组Ax 0存在非零解的充分必要条件是【】AA的行向量组线性相关 B.A的列向量组线性相关C.A的行向量组线性无关 D.A的列向量组线性无关a1x1 a2x2 a3x3 08.设ai、bi均为非零常数（i=1，2，3），且齐次线性方程组b x b x b x 0331122的基础解系含 2 个解向量，则必有【】a1 a2a1 a2a1 a3a1a2a3 A.D.0 B.0 C.0b1b2b3b2 b3b1 b2b1 b22x1 x2 x319.方程组x12x2 x31有解的充分必要的条件是 3 x 3x 2x a1123【】A.a=-3 B.a=-2 C.a=3 D.a=110.设1，2，3是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，则下列向量组中也为该方程组的一个基础解系的是【】A.可由1，2，3线性表示的向量组 B.与1，2，3等秩的向量组C.12，23，31 D.1，1-3，1-2-311.已知非齐次线性方程组的系数行列式为 0，则【】A.方程组有无穷多解 B.方程组可能无解，也可能有无穷多解C.方程组有唯一解或无穷多解 D.方程组无解12.n 阶方阵 A 相似于对角矩阵的充分必要条件是 A 有 n 个【】A.互不相同的特征值 B.互不相同的特征向量C.线性无关的特征向量 D.两两正交的特征向量13.下列子集能作成向量空间 Rn的子空间的是【】A.(a1,a2,an)|a1a2 0 B.(a1,a2,an)|ai 0i10114.若 2 阶方阵A相似于矩阵B,E 为 2 阶单位矩阵,则方阵 EA 必相似于矩2-3nC.(a1,a2,an)|ai z,i 1,2,n D.(a1,a2,an)|ai1ni1阵【】000 01-1 0-1 B.C.D.4141-4-2-2-4100正定,则实数a的取值范围是【】02 a15.若矩阵A 80 aA.Aa 8 B.a4Ca-4 D-4 a4二、填空题（每小题 2 分，共 20 分）。16设矩阵A 17设矩阵A 18行列式1-1 32 0,B,记AT为A的转置，则ATB=。112001 2T则行列式 det()的值为 .AA2 1 3 4 8 5 9 1 7 2 6的值为 .19若向量组a1(1,2,3),a2(8,t,24),a3(0,0,1)线性相关，则常数t=.20.向量组（10，20），（30，40），（50，60）的秩为 .21.齐次线性方程组x1 x2 x3 0的基础解系所含解向量的个数为2x1 x23x3 0 22.已知x1(1,0,2)T、x2(3,4,5)T是 3 元非齐次线性方程组Ax b的两个解向量，则对应齐次线性方程Ax 0有一个非零解=.1 2 3的全部特征值为。0 2 323.矩阵A 0 0 3 24设是 3 阶实对称矩阵 A 的一个一重特征值，1(1,1,3)T、2(4,a,12)T是 A的属于特征值的特征向量，则实常数a=.25.二次型f(x1,x2,x3)x124x1x24x228x1x3 x32对应的实对称矩阵 A=.三、计算题三、计算题（，共 50 分）034525计算行列式-3410022-2的值。6-272111201126设A ,且AAB E,其中 E 是三阶单位矩阵,求矩阵 B。001x1 2x2 327a 取何值时，方程组4x1 7x2 x310有解？在有解时求出方程组的通解。x2 x3 a28设向量组a1,a2,a3线性无关。试证明：向量组1 a1 a2 a3,2 a1 a2,3 a3线性无关。29试证向量组a1(1,0,1),a2(1,1,0),a3(0,1,1)为R3的一组基，并求向量x (2,2,2)在该组基下的坐标。20072007 线性代数考试试题线性代数考试试题 B B -参考答案及评分标准参考答案及评分标准一、单项选择题（本大题共 20 小题，每小题 2 分，共 40 分）1.A 2.A 3.B 4.C 5.D 6.A 7.B 8.C9.D 10.D 11.B 12.C 13.B 14.C 15.D二、填空题（本大题共 10 空，每空 3 分，共 30 分）0 3 17.0 0 16.9 18.-360 19.16 20.2 0 4 21.1 22.(2,4,3)T(或它的非零倍数)23.1、2、3 1 -2 4-2 4 0 24.4 25.4 0 1 三、计算题（每小题 6 分，共 30 分）03453410022 20692345 322-24 分 96.8 分692 26.D 27.解:由于A2AB E,因此AB A2E,又A1 0,故 A 可逆,2 分所以111111B A A10110110220028 分001001000281203A 0 -11 -2,故当且仅当 a=2 时，有解。2 分00 a-20当a 2时，得x1 32x2x(x是任意），3 2 x2 3 所以x 0 2 k1(k是任意常数)8 分或 21 x1 12x3x(x 任意),即122 2 x33x 2 k1(k是任意常数).8 分01 29证一：设有一组数x1,x2,x3使x11 x22 x33 0,2 分即(x1 x2)a1(x1 x2)a2(x1 x3)a3 0由a1,a2,a3线性无关，有x1 x2 0 x1 x2 02 分x1 x3 0该方程组只有零解x1 x2 x3 0故1,2,3线性无关。6 分证二：因a1,a2,a3线性无关，1,2,3用a1,a2,a3线性表出的系数行列式111 1-10 111-1 2 0故线性无关。（若只证明0，不强调a1,a2,a3线001性无关这一条件,就得出1,2,3线性无关的结论，扣 2 分）。故命题得证。分30证明：令110110110 011，则 011 011 2 0，故向量组101101002a1(1,0,1),a2(1,1,0),a3(0,1,1)为R3的一组基，4 分又设x x x1 x2 211 x22 x33，得线性方程组x x23 2x1 x3 2解之得向量x (2,2,2)在该组基下的坐标为x (1,1,1)。8 分8
