2023学年黑龙江省大庆市让胡路区铁人高三下学期联考数学试题含解析.pdf

2023 年高考数学模拟试卷 注意事项 1考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回 2答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 05 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置 3请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符 4作答选择题，必须用 2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案作答非选择题，必须用 05 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效 5如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知1111143579，如图是求的近似值的一个程序框图，则图中空白框中应填入 A121in B12ii C(1)21nin D(1)2nii 2某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（）A23 B43 C2 D4 3两圆224xay和221xyb相外切，且0ab，则2222a bab的最大值为（）A94 B9 C13 D1 4已知12log 13a 131412,13b，13log 14c，则,a b c的大小关系为（）Aabc Bcab Cbca Dacb 5一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A48 12 2 B60 12 2 C72 12 2 D84 6已知点P是双曲线222222:1(0,0,)xyCabcabab上一点，若点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为214c，则双曲线C的离心率为（）A2 B52 C3 D2 7已知复数12izi（i为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（）A31,55 B31,55 C3 1,5 5 D3 1,5 5 8公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟先他10米，当阿基里斯跑完下-个10米时，乌龟先他1米.所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为0.1米时，乌龟爬行的总距离为（）A5101900米 B510990米 C4109900米 D410190米 9设12,F F分别是双线2221(0)xyaa的左、右焦点，O为坐标原点，以12FF为直径的圆与该双曲线的两条渐近线分别交于,A B两点（,A B位于y轴右侧），且四边形2OAF B为菱形，则该双曲线的渐近线方程为（）A0 xy B30 xy C30 xy D30 xy 10函数的图象可能是下列哪一个？（）A B C D 11在直三棱柱111ABCABC中，己知ABBC，2ABBC，12 2CC，则异面直线1AC与11AB所成的角为（）A30 B45 C60 D90 12521mxx的展开式中5x的系数是-10，则实数m()A2 B1 C-1 D-2 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13若5(3)nxx的展开式中各项系数之和为 32，则展开式中 x 的系数为_ 14若随机变量的分布列如表所示，则E（）_，21D_ -1 0 1 P a 14 2a 15已知过点O的直线与函数3xy 的图象交于A、B两点，点A在线段OB上，过A作y轴的平行线交函数9xy 的图象于C点，当BCx轴，点A的横坐标是 16小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从 4 道题中随机抽取 2 道作答，小李会其中的三道题，则抽到的 2 道题小李都会的概率为_.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12 分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 C：22ypx（0p）的焦点 F 在直线10 xy 上，平行于 x 轴的两条直线1l，2l分别交抛物线 C 于 A，B 两点，交该抛物线的准线于 D，E 两点.（1）求抛物线 C 的方程；（2）若 F 在线段AB上，P 是DE的中点，证明：APEF.18（12 分）某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的 100 人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），规定 80 分及以上者晋级成功，否则晋级失败 晋级成功 晋级失败 合计 男 16 女 50 合计 （1）求图中a的值；（2）根据已知条件完成下面22列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？（3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取 4 人进行约谈，记这 4 人中晋级失败的人数为X，求X的分布列与数学期望()E X（参考公式：22()()()()()n adbckab cdac bd，其中nabcd ）20P Kk 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0k 0.780 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 19（12 分）设函数 22lnf xxax，（Ra）.（1）若曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程为2yxm，求实数 a、m 的值；（2）若 2122fxf x对任意2,x恒成立，求实数 a 的取值范围；（3）关于 x 的方程 2cos5f xx能否有三个不同的实根？证明你的结论.20（12 分）在直角坐标系 x0y 中，把曲线1:C2cos(2sinxy 为参数)上每个点的横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变，得到曲线2.C以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线3C的极坐标方程sin()4 2.4（1）写出2C的普通方程和3C的直角坐标方程；（2）设点M 在2C上，点N 在3C上，求|MN|的最小值以及此时 M 的直角坐标.21（12 分）已知 ABC 三内角 A、B、C 所对边的长分别为 a，b，c，且 3sin2A+3sin2B4sinAsinB+3sin2C（1）求 cosC 的值；（2）若 a3，c6，求 ABC 的面积 22（10 分）为了检测某种零件的一条生产线的生产过程，从生产线上随机抽取一批零件，根据其尺寸的数据得到如图所示的频率分布直方图，若尺寸落在区间(2,2)xs xs之外，则认为该零件属“不合格”的零件，其中x,s 分别为样本平均数和样本标准差，计算可得15s（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.（1）求样本平均数的大小；（2）若一个零件的尺寸是 100 cm，试判断该零件是否属于“不合格”的零件.参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1C【解析】由于111113579中正项与负项交替出现，根据SSi可排除选项 A、B；执行第一次循环：0 1 1S ，若图中空白框中填入(1)21nin，则13i ，若图中空白框中填入(1)2nii，则13i ，此时20n 不成立，2n；执行第二次循环：由均可得113S ，若图中空白框中填入(1)21nin，则15i，若图中空白框中填入(1)2nii，则35i，此时20n 不成立，3n；执行第三次循环：由可得11135S ，符合题意，由可得13135S ，不符合题意，所以图中空白框中应填入(1)21nin，故选 C 2B【解析】由三视图知该四棱锥是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面，由此求出四棱锥的体积【详解】由三视图知该四棱锥是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面，画出四棱锥的直观图，如图所示：则该四棱锥的体积为211421333ABCDVSPA 正方形.故选：B.【点睛】本题考查了利用三视图求几何体体积的问题，是基础题 3A【解析】由两圆相外切，得出229ab，结合二次函数的性质，即可得出答案.【详解】因为两圆224xay和221xyb相外切 所以223ab，即229ab 2222222298192499aaaa bab 当292a 时，2222a bab取最大值8119494 故选：A【点睛】本题主要考查了由圆与圆的位置关系求参数，属于中档题.4D【解析】由指数函数的图像与性质易得b最小，利用作差法，结合对数换底公式及基本不等式的性质即可比较a和c的大小关系，进而得解.【详解】根据指数函数的图像与性质可知1314120131b，由对数函数的图像与性质可知12log 13 1a，13log 14 1c，所以b最小；而由对数换底公式化简可得1132log 13 log 14a c lg13 lg14lg12 lg13 2lg 13 lg12lg14lg12lg13 由基本不等式可知21lg12lg14lg12 lg142，代入上式可得 2221lg 13lg12 lg14lg 13 lg12lg142lg12lg13lg12lg13 221lg 13lg1682lg12lg13 11lg13lg168lg13lg16822lg12lg13 lg13 lg 168lg13 lg 1680lg12lg13 所以ac，综上可知acb，故选：D.【点睛】本题考查了指数式与对数式的化简变形，对数换底公式及基本不等式的简单应用，作差法比较大小，属于中档题.5B【解析】画出几何体的直观图，计算表面积得到答案.【详解】该几何体的直观图如图所示：故2422 62 624 66 2 264 12 22S .故选：B.【点睛】本题考查了根据三视图求表面积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.6A【解析】设点P的坐标为(,)m n，代入椭圆方程可得222222b ma na b，然后分别求出点P到两条渐近线的距离，由距离之积为214c，并结合222222b ma na b，可得到,a b c的齐次方程，进而可求出离心率的值.【详解】设点P的坐标为(,)m n，有22221mnab，得222222b ma na b.双曲线的两条渐近线方程为0bxay和0bxay，则点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为2222222222222b ma nbmanbmana babcabab，所以222214a bcc，则22244()acac，即22220ca，故2220ca，即2222cea，所以2e.故选：A.【点睛】本题考查双曲线的离心率，构造,a b c的齐次方程是解决本题的关键，属于中档题.7A【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求得z的坐标得出答案.【详解】解：1(1)(2)312(2)(2)55iiiziiii，z在复平面内对应的点的坐标是31,55.故选：A.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题 8D【解析】根据题意，是一个等比数列模型，设11100,0.110naqa，由110.110010nna，解得4n，再求和.【详解】根据题意，这是一个等比数列模型，设11100,0.110naqa，所以110.110010nna，解得4n，所以 44441110011011111001190aqSq.故选：D【点睛】本题主要考查等比数列的实际应用，还考查了建模解模的能力，属于中档题.9B【解析】由于四边形2OAF B为菱形，且2OFOA，所以2AOF为等边三角形，从而可得渐近线的倾斜角，求出其斜率.【详解】如图，因为四边形2OAF B为菱形，2OFOAOB，所以2AOF为等边三角形，260AOF，两渐近线的斜率分别为3和3.故选：B 【点睛】此题考查的是求双曲线的渐近线方程，利用了数形结合的思想，属于基础题.10A【解析】由排除选项;排除选项；由函数有无数个零点，排除选项,从而可得结果.【详解】由，可排除选项，可排除选项；由可得，即函数有无数个零点，可排除选项,故选 A.【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.11C【解析】由条件可看出11ABAB，则1BAC为异面直线1AC与11AB所成的角，可证得三角形1BAC中，1ABBC，解得1tanBAC，从而得出异面直线1AC与11AB所成的角【详解】连接1AC，1BC，如图：又11ABAB，则1BAC为异面直线1AC与11AB所成的角.因为ABBC，且三棱柱为直三棱柱，1ABCC，AB 面11BCC B，1ABBC，又2ABBC，12 2CC，2212 222 3BC，1tan3BAC，解得160BAC.故选 C【点睛】考查直三棱柱的定义，线面垂直的性质，考查了异面直线所成角的概念及求法，考查了逻辑推理能力，属于基础题 12C【解析】利用通项公式找到5x的系数，令其等于-10 即可.【详解】二项式展开式的通项为15552222155()()rrrrrrrTCxmxm C x，令55522r，得3r，则33554510Tm C xx，所以33510m C ，解得1m .故选：C【点睛】本题考查求二项展开式中特定项的系数，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。132025【解析】利用赋值法，结合展开式中各项系数之和列方程，由此求得n的值.再利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中x的系数.【详解】依题意，令1x，解得232n，所以5n，则二项式553 xx的展开式的通项为：5135522155535(3)rrrrrrrrTCxCxx 令3512r，得4r，所以x的系数为5 44455(3)2025C.故答案为：2025【点睛】本小题主要考查二项式展开式各项系数之和，考查二项式展开式指定项系数的求法，属于基础题.1414 114 【解析】首先求得a 的值，然后利用均值的性质计算均值，最后求得 D的值，由方差的性质计算21D的值即可.【详解】由题意可知2114aa，解得32a （舍去）或12a.则 11111012444E ，则 2221111111110142444416D ，由方差的计算性质得 112144DD.【点睛】本题主要考查分布列的性质，均值的计算公式，方差的计算公式，方差的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.153log 2【解析】通过设出 A 点坐标，可得 C 点坐标，通过BCx轴，可得 B 点坐标，于是再利用OAOBkk可得答案.【详解】根据题意，可设点,3aA a，则,9aC a,由于BCx轴，故9aCByy，代入3xy，可得2Bxa，即2,9aBa，由于A在线段OB上，故OAOBkk，即392aaaa，解得 3log 2a.1612【解析】从四道题中随机抽取两道共 6 种情况，抽到的两道全都会的情况有 3 种，即可得到概率.【详解】由题：从从 4 道题中随机抽取 2 道作答，共有246C 种，小李会其中的三道题，则抽到的 2 道题小李都会的情况共有233C 种，所以其概率为23241=2CC.故答案为：12【点睛】此题考查根据古典概型求概率，关键在于根据题意准确求出基本事件的总数和某一事件包含的基本事件个数.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）24yx；（2）见解析【解析】（1）根据抛物线的焦点在直线10 xy 上，可求得p的值，从而求得抛物线的方程；（2）法一：设直线1l，2l的方程分别为ya和yb且0a，0b，ab，可得A，B，D，E的坐标，进而可得直线AB的方程，根据F在直线AB上，可得4ab ，再分别求得APk，EFk，即可得证；法二：设11,A x y，22,B x y，则121,2yyP，根据直线AB的斜率不为 0，设出直线AB的方程为1xmy，联立直线AB和抛物线C的方程，结合韦达定理，分别求出APk，EFk，化简APEFkk，即可得证.【详解】（1）抛物线 C 的焦点F坐标为,02p，且该点在直线10 xy 上，所以102p，解得2p，故所求抛物线 C 的方程为24yx（2）法一：由点 F 在线段AB上，可设直线1l，2l的方程分别为ya和yb且0a，0b，ab，则2,4aAa，2,4bBb，1,Da，1,Eb.直线AB的方程为222444baayaxba，即40 xab yab.又点1,0F在线段AB上，4ab .P 是DE的中点，1,2abP 224224142APabaaakaaa，4222EFAPbakka.由于AP，EF不重合，所以/AP EF 法二：设11,A x y，22,B x y，则121,2yyP 当直线AB的斜率为 0 时，不符合题意，故可设直线AB的方程为1xmy 联立直线AB和抛物线C的方程214xmyyx，得2440ymy 又1y，2y为该方程两根，所以124yym，124y y ，112121112121APyyyyykxx，22EFyk.211121122112111114144021111APEFyyyyyyyyxyy xkkxxxx，EFAPkk 由于AP，EF不重合，所以/AP EF【点睛】本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题 18(1)0.005a；(2)列联表见解析，有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关；(3)分布列见解析，()E X=3【解析】（1）由频率和为 1，列出方程求a的值；（2）由频率分布直方图求出晋级成功的频率，计算晋级成功的人数，填写22列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（3）由频率分布直方图知晋级失败的频率，将频率视为概率，知随机变量X服从二项分布，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望.【详解】解：（1）由频率分布直方图各小长方形面积总和为 1，可知(20.0200.0300.040)101a，解得0.005a；（2）由频率分布直方图知，晋级成功的频率为0.200.050.25，所以晋级成功的人数为1000.2525（人），填表如下：晋级成功 晋级失败 合计 男 16 34 50 女 9 41 50 合计 25 75 100 假设“晋级成功”与性别无关，根据上表数据代入公式可得22100(1641 34 9)2.6132.07225 75 50 50K，所以有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关；（3）由频率分布直方图知晋级失败的频率为1 0.250.75，将频率视为概率，则从本次考试的所有人员中，随机抽取 1 人进行约谈，这人晋级失败的概率为 0.75，所以X可视为服从二项分布，即34,4XB，4431()44kkkP XkC (0,1,2,3,4)k，故0404311(0)44256P XC ，13143112(1)44256P XC ，22243154(2)44256P XC ，313431108(3)44256P XC ，40443181(4)44256P XC .所以X的分布列为：X 0 1 2 3 4()P Xk 1256 12256 54256 108256 81256 数学期望为3()434E X.或（1125410881()012343256256256256256E X ）【点睛】本题考查了频率分布直方图和离散型随机变量的分布列、数学期望的应用问题，属于中档题若离散型随机变量,XB n p，则 ,1E Xnp D xnpp.19（1）2a ，0m；（2）4,2ln2ln3；（3）不能，证明见解析【解析】（1）求出 fx，结合导数的几何意义即可求解；（2）构造 2122h xfxf x，则原题等价于 0h x 对任意2,x恒成立，即2,x时，min0h x，利用导数求 h x最值即可，值得注意的是，可以通过代特殊值，由 20h求出a的范围，再研究该范围下 h x单调性；（3）构造 2cos5g xf xx并进行求导，研究 g x单调性，结合函数零点存在性定理证明即可.【详解】（1）22lnf xxax，4afxxx，曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程为2yxm，142122 1fafm，解得20am.（2）记 2122h xfxf x，整理得 2241ln21xh xxax，22214 22281212xxxah xxaxxxx 由题知，2122fxf x对任意2,x恒成立，0h x 对任意2,x恒成立，即2,x时，min0h x，20h，解得42ln2ln3a，当42ln2ln3a 时，对任意2,x，10 x，2211226,48xxx，66244ln434 24 602ln2ln32ln2ln3exxa，0h x，即 h x在2,单调递增，此时 min20h xh，实数a的取值范围为4,2ln2ln3.（3）关于x的方程 2cos5f xx不可能有三个不同的实根，以下给出证明：记 22cos52ln2cos5g xf xxxaxx，0,+x，则关于x的方程 2cos5f xx有三个不同的实根，等价于函数 g x有三个零点，42sinagxxxx，当0a 时，0ax，记 42sinu xxx，则 42cos0uxx，u x在0,+单调递增，00u xu，即42sin0 xx，42sin0agxxxx，g x在0,+单调递增，至多有一个零点；当0a 时，记 42sinaxxxx，则 242cos42cos0axxxx，x在0,+单调递增，即 g x在0,+单调递增，g x至多有一个零点，则 g x至多有两个单调区间，g x至多有两个零点.因此，g x不可能有三个零点.关于x的方程 2cos5f xx不可能有三个不同的实根.【点睛】本题考查了导数几何意义的应用、利用导数研究函数单调性以及函数的零点存在性定理，考查了转化与化归的数学思想，属于难题.20（1）2C的普通方程为221124xy，3C的直角坐标方程为80 xy.（2）最小值为2 2，此时(3,1)M 【解析】（1）由2C的参数方程消去求得2C的普通方程，利用极坐标和直角坐标转化公式，求得3C的直角坐标方程.（2）设出M点的坐标，利用点到直线的距离公式求得MN最小值的表达式，结合三角函数的指数求得MN的最小值以及此时M点的坐标.【详解】（1）由题意知2C的参数方程为2 3cos2sinxy（为参数）所以2C的普通方程为221124xy.由sin()4 2.4得cossin80，所以3C的直角坐标方程为80 xy.（2）由题意，可设点M的直角坐标为(2 3cos,2sin)，因为3C是直线，所以|MN的最小值即为M到3C的距离()d，因为|2 3cos2sin8|()2 2|cos()2|62d 当且仅当52()6kkZ时，()d取得最小值为2 2，此时M的直角坐标为552 3cos,2sin(66)即(3,1)【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查利用曲线参数方程求解点到直线距离的最小值问题，属于中档题.21（1）23；（2）52或3 52【解析】（1）利用正弦定理对已知代数式化简，根据余弦定理求解余弦值；（2）根据余弦定理求出 b1 或 b3，结合面积公式求解.【详解】（1）已知等式 3sin2A+3sin2B4sinAsinB+3sin2C，利用正弦定理化简得：3a2+3b23c24ab，即 a2+b2c243ab，cosC222223abcab；（2）把 a3，c6，代入 3a2+3b23c24ab 得：b1 或 b3，cosC23，C 为三角形内角，sinC2513cos C，S ABC12absinC123b5532b，则 ABC 的面积为52或3 52【点睛】此题考查利用正余弦定理求解三角形，关键在于熟练掌握正弦定理进行边角互化，利用余弦定理求解边长，根据面积公式求解面积.22（1）66.5 （2）属于【解析】（1）利用频率分布直方图的平均数公式求解；（2）求出(2,2)xs xs，即可判断得解.【详解】（1）35 10 0.00545 10 0.01055 10 0.01565 10 0.030 x 75 10 0.02085 0.01595 10 0.00566.5（2）266.53096.5,266.53036.5,10096.5xsxs 所以该零件属于“不合格”的零件【点睛】本题主要考查频率分布图中平均数的计算和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.