2023届甘肃省武威市河西成功学校高考全国统考预测密卷数学试卷含解析.pdf

2023 年高考数学模拟试卷 注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角条形码粘贴处。2作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1某个命题与自然数n有关，且已证得“假设*nk kN时该命题成立，则1nk时该命题也成立”现已知当7n 时，该命题不成立，那么（）A当8n 时，该命题不成立 B当8n 时，该命题成立 C当6n 时，该命题不成立 D当6n 时，该命题成立 2如图所示，三国时代数学家在周脾算经中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为30，若向弦图内随机抛掷 200 颗米粒（大小忽略不计，取31.732），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（）A20 B27 C54 D64 3赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元 222 年，赵爽为周髀算经一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由 4 个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由 3 个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设22DFAF，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（）A413 B2 1313 C926 D3 1326 4设抛物线2:2(0)C ypx p的焦点为 F,抛物线 C 与圆22:(3)3Cxy交于 M,N 两点,若|6MN,则MNF的面积为()A28 B38 C3 28 D3 24 5已知双曲线22221xyab的一条渐近线方程为43yx，则双曲线的离心率为（）A43 B53 C54 D32 6某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥外接球的表面积为（）A27 B28 C29 D30 7用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（）A B C D 8若 1,6a，则函数2xayx在区间2,内单调递增的概率是（）A45 B35 C25 D15 9三棱锥SABC的各个顶点都在求O的表面上，且ABC是等边三角形，SA底面ABC，4SA，6AB，若点D在线段SA上，且2ADSD，则过点D的平面截球O所得截面的最小面积为（）A3 B4 C8 D13 10已知集合10,1,0,12xAxBx，则AB等于（）A11xx B1,0,1 C1,0 D 0,1 11历史上有不少数学家都对圆周率作过研究，第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，他用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，开创了圆周率计算的几何方法，而中国数学家刘徽只用圆内接正多边形就求得的近似值，他的方法被后人称为割圆术近代无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种值的表达式纷纷出现，使得值的计算精度也迅速增加华理斯在 1655 年求出一个公式：22446621 3 3 5 57 ，根据该公式绘制出了估计圆周率的近似值的程序框图，如下图所示，执行该程序框图，已知输出的2.8T，若判断框内填入的条件为?km，则正整数m的最小值是 A2 B3 C4 D5 12已知三棱锥DABC的体积为 2，ABC是边长为 2 的等边三角形，且三棱锥DABC的外接球的球心O恰好是CD中点，则球O的表面积为（）A523 B403 C253 D24 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13若函数()sin23cos2f xxx的图像向左平移8个单位得到函数()g x的图像.则()g x在区间3,88上的最小值为_.14平面向量(1,2)a，(4,2)b，cmab（mR），且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m .15春节期间新型冠状病毒肺炎疫情在湖北爆发，为了打赢疫情防控阻击战，我省某医院选派 2 名医生，6 名护士到湖北A、B两地参加疫情防控工作，每地一名医生，3 名护士，其中甲乙两名护士不到同一地，共有_种选派方法.16若直线20kxyk与直线230 xkyk交于点P，则OP长度的最大值为_ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12 分）已知函数 13f xxx.（）解不等式 6f x；（）设 22,g xxax 其中a为常数.若方程 f xg x在(0,)上恰有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围.18（12 分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左焦点坐标为(3,0)，A，B分别是椭圆的左，右顶点，P是椭圆上异于A，B的一点，且PA，PB所在直线斜率之积为14.（1）求椭圆C的方程；（2）过点(0,1)Q作两条直线，分别交椭圆C于M，N两点（异于Q点）.当直线QM，QN的斜率之和为定值(0)t t 时，直线MN是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理.19（12 分）已知在等比数列 na中，12341120,4,naaaaa.（1）求数列 na的通项公式；（2）若2211loglognnnbaa，求数列 nb前n项的和.20（12 分）某商场为改进服务质量，在进场购物的顾客中随机抽取了200人进行问卷调查调查后，就顾客“购物体验”的满意度统计如下：满意 不满意 男 40 40 女 80 40 1是否有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关？2若在购物体验满意的问卷顾客中按照性别分层抽取了6人发放价值100元的购物券若在获得了100元购物券的6人中随机抽取2人赠其纪念品，求获得纪念品的2人中仅有1人是女顾客的概率 附表及公式：22n adbcKabcdacbd 20P Kk 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 21（12 分）选修 4-5：不等式选讲 设函数 22,f xxaxxR aR.（1）当1a 时，求不等式 0f x 的解集；（2）若 1f x 在xR上恒成立，求实数a的取值范围.22（10 分）已知,a b都是大于零的实数（1）证明22ababba；（2）若ab，证明2314()aaba ab 参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1C【解析】写出命题“假设*nk kN时该命题成立，则1nk时该命题也成立”的逆否命题，结合原命题与逆否命题的真假性一致进行判断.【详解】由逆否命题可知，命题“假设*nk kN时该命题成立，则1nk时该命题也成立”的逆否命题为“假设当1nkkN时该命题不成立，则当nk时该命题也不成立”，由于当7n 时，该命题不成立，则当6n 时，该命题也不成立，故选：C.【点睛】本题考查逆否命题与原命题等价性的应用，解题时要写出原命题的逆否命题，结合逆否命题的等价性进行判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.2B【解析】设大正方体的边长为x，从而求得小正方体的边长为3122xx，设落在小正方形内的米粒数大约为N，利用概率模拟列方程即可求解。【详解】设大正方体的边长为x，则小正方体的边长为3122xx，设落在小正方形内的米粒数大约为N，则223122200 xxNx，解得：27N 故选：B【点睛】本题主要考查了概率模拟的应用，考查计算能力，属于基础题。3A【解析】根据几何概率计算公式，求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可【详解】在ABD中，3AD，1BD，120ADB，由余弦定理，得222cos12013ABADBDAD BD，所以213DFAB.所以所求概率为224=1313DEFABCSS.故选 A.【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题 4B【解析】由圆C过原点，知,M N中有一点M与原点重合，作出图形，由3C MC N，6MN，得C MC N，从而直线MN倾斜角为4，写出N点坐标，代入抛物线方程求出参数p，可得F点坐标，从而得三角形面积【详解】由题意圆C过原点，所以原点是圆与抛物线的一个交点，不妨设为M，如图，由于3C MC N，6MN，C MC N，4C MN，4NOx，点N坐标为(3,3)，代入抛物线方程得2(3)23p，32p，3(,0)4F，113332248FMNNSMFy 故选：B.【点睛】本题考查抛物线与圆相交问题，解题关键是发现原点O是其中一个交点，从而MNC是等腰直角三角形，于是可得N点坐标，问题可解，如果仅从方程组角度研究两曲线交点，恐怕难度会大大增加，甚至没法求解 5B【解析】由题意得出22ba的值，进而利用离心率公式21bea可求得该双曲线的离心率.【详解】双曲线22221xyab的渐近线方程为byxa，由题意可得22241639ba，因此，该双曲线的离心率为22222513cabbeaaa.故选：B.【点睛】本题考查利用双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率，利用公式21bea计算较为方便，考查计算能力，属于基础题.6C【解析】作出三棱锥的实物图PACD，然后补成直四棱锥PABCD，且底面为矩形，可得知三棱锥PACD的外接球和直四棱锥PABCD的外接球为同一个球，然后计算出矩形ABCD的外接圆直径AC，利用公式222RPBAC可计算出外接球的直径2R，再利用球体的表面积公式即可得出该三棱锥的外接球的表面积.【详解】三棱锥PACD的实物图如下图所示：将其补成直四棱锥PABCD，PB 底面ABCD，可知四边形ABCD为矩形，且3AB，4BC.矩形ABCD的外接圆直径225AC=AB+BC=，且2PB.所以，三棱锥PACD外接球的直径为22229RPBAC，因此，该三棱锥的外接球的表面积为224229RR.故选：C.【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积，解题时要结合三视图作出三棱锥的实物图，并分析三棱锥的结构，选择合适的模型进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.7C【解析】首先分析题目求用数学归纳法证明 1+1+3+n1=时，当 n=k+1 时左端应在 n=k 的基础上加上的式子，可以分别使得 n=k，和 n=k+1 代入等式，然后把 n=k+1 时等式的左端减去 n=k 时等式的左端，即可得到答案【详解】当 n=k 时，等式左端=1+1+k1，当 n=k+1 时，等式左端=1+1+k1+k1+1+k1+1+（k+1）1，增加了项（k1+1）+（k1+1）+（k1+3）+（k+1）1 故选：C【点睛】本题主要考查数学归纳法，属于中档题./8B【解析】函数2xayx在区间2,内单调递增，22210axayxx，在2,恒成立，2ax在2,恒成立，4a，1,6,1,4,aa 函数2xayx在区间2,内单调递增的概率是4 136 15，故选 B.9A【解析】由题意画出图形，求出三棱锥 S-ABC 的外接球的半径，再求出外接球球心到 D 的距离，利用勾股定理求得过点 D 的平面截球 O 所得截面圆的最小半径，则答案可求.【详解】如图，设三角形 ABC 外接圆的圆心为 G，则外接圆半径 AG=23 32 33,设三棱锥 S-ABC 的外接球的球心为 O，则外接球的半径 R=222 324 取 SA 中点 E，由 SA=4，AD=3SD，得 DE=1,所以 OD=222 3113.则过点 D 的平面截球 O 所得截面圆的最小半径为224133 所以过点 D 的平面截球 O 所得截面的最小面积为 233 故选：A【点睛】本题考查三棱锥的外接球问题，还考查了求截面的最小面积，属于较难题.10C【解析】先化简集合 A，再与集合 B 求交集.【详解】因为10212xAxxxx，1,0,1B ，所以1,0AB.故选：C【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及分式不等式的解法，属于基础题.11B【解析】初始：1k，2T，第一次循环：22822.8133T，2k，继续循环；第二次循环：8441282.833545T，3k，此时2.8T，满足条件，结束循环，所以判断框内填入的条件可以是3?k，所以正整数m的最小值是 3，故选 B 12A【解析】根据O是CD中点这一条件，将棱锥的高转化为球心到平面的距离，即可用勾股定理求解.【详解】解：设D点到平面ABC的距离为h，因为O是CD中点，所以O到平面ABC的距离为2h，三棱锥DABC的体积11 122sin60233 2ABCVShh，解得23h，作OO平面ABC，垂足O为ABC的外心，所以2 33CO，且32hOO，所以在Rt CO O中，22133OCCOOO，此为球的半径，213524433SR.故选：A.【点睛】本题考查球的表面积，考查点到平面的距离，属于中档题 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。133【解析】注意平移是针对自变量 x，所以()()8g xf x 2sin(2)12x，再利用整体换元法求值域（最值）即可.【详解】由已知，()sin23cos22sin(2)3f xxxx，()()8g xf x 2sin2()2sin(2)8312xx，又3,88x，故22,1233x，2sin(2)3,212x，所以()g x的最小值为3.故答案为：3.【点睛】本题考查正弦型函数在给定区间上的最值问题，涉及到图象的平移变换、辅助角公式的应用，是一道基础题.142【解析】试题分析：1,24,24,22cmabmmm，c与a的夹角等于c与b的夹角，所以 444416442520a cb cmmmmma cb c 考点：向量的坐标运算与向量夹角 1524【解析】先求出每地一名医生，3 名护士的选派方法的种数，再减去甲乙两名护士到同一地的种数即可.【详解】解：每地一名医生，3 名护士的选派方法的种数有132640C C，若甲乙两名护士到同一地的种数有11124216C C C，则甲乙两名护士不到同一地的种数有40 1624.故答案为：24.【点睛】本题考查利用间接法求排列组合问题，正难则反，是基础题.162 21【解析】根据题意可知,直线20kxyk与直线230 xkyk分别过定点,A B,且这两条直线互相垂直,由此可知,其交点P在以AB为直径的圆上,结合图形求出线段OP的最大值即可.【详解】由题可知,直线20kxyk可化为120k xy,所以其过定点1,2A,直线230 xkyk可化为320 xk y,所以其过定点3,2B,且满足 110kk ,所以直线20kxyk与直线230 xkyk互相垂直,其交点P在以AB为直径的圆上,作图如下:结合图形可知,线段OP的最大值为1OC,因为C为线段AB的中点,所以由中点坐标公式可得2,2C,所以线段OP的最大值为2 21.故答案为:2 21【点睛】本题考查过交点的直线系方程、动点的轨迹问题及点与圆的位置关系;考查数形结合思想和运算求解能力;根据圆的定义得到交点P在以AB为直径的圆上是求解本题的关键;属于中档题.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（）(,42,)；（）(21,).【解析】（I）零点分段法，分1x，31x，3x讨论即可；（II）22,14,01xxf xx，分211xx，1201xx，1201xx 三种情况讨论.【详解】I原不等式即136xx.当1x 时，化简得226x.解得2x；当31x 时，化简得46.此时无解；当3x时，化简得226x.解得4x.综上，原不等式的解集为(,42,)II由题意 22,14,01xxf xx，设方程 f xg x两根为1212,x xxx.当211xx时，方程2222xaxx等价于方程222axx.易知当521,2a，方程222axx在(1,)上有两个不相等的实数根.此时方程224xax在0,1上无解.521,2a满足条件.当1201xx时，方程224xax等价于方程42axx，此时方程42axx在0,1上显然没有两个不相等的实数根.当1201xx 时，易知当5,2a，方程42axx在0,1上有且只有一个实数根.此时方程2222xaxx在1,)上也有一个实数根.5,2a满足条件.综上，实数a的取值范围为(21,).【点睛】本题考查解绝对值不等式以及方程根的个数求参数范围，考查学生的运算能力，是一道中档题.18（1）2214xy（2）直线MN过定点2,1t【解析】（1）14PAPBkk 2214ba，再由223ab，解方程组即可；（2）设11,M x y，22,N xy，由QMQNkkt，得1 2121 22(1)kx xmxxtx x，由直线 MN 的方程与椭圆方程联立得到根与系数的关系，代入计算即可.【详解】（1）由题意知：3c，又2214PAPBbkka ，且222abc 解得2a，1b，椭圆方程为2214xy，（2）当直线MN的斜率存在时，设其方程为ykxm，设11,M x y，22,N xy，由2244ykxmxy，得222148440kxkmxm.则122814kmxxk，21224414mx xk（*）由QMQNkkt，得121211kxmkxmtxx，整理可得1 2121 22(1)kx xmxxtx x（*）代入得22222448442(1)141414mkmmkmtkkk，整理可得(1)(2)0mktmt，又1m 21kmt，21kykxt，即21yk xt，直线过点2,1t 当直线MN的斜率不存在时，设直线MN的方程为0 xx，01,A x y，02,B x y，其中21yy，120yy，由QMQNkkt，得121200001122yyyytxxxx，所以02xt 当直线MN的斜率不存在时，直线MN也过定点2,1t 综上所述，直线MN过定点2,1t.【点睛】本题考查求椭圆的标准方程以及直线与椭圆位置关系中的定点问题，在处理直线与椭圆的位置关系的大题时，一般要利用根与系数的关系来求解，本题是一道中档题.19（1）12nna（2）24nn【解析】（1）由基本量法，求出公比q后可得通项公式；（2）求出nb，用裂项相消法求和【详解】解：（1）设等比数列 na的公比为0q q 又因为11241124,aaaa，所以23112444qqq 解得1q （舍）或2q 所以11422nnna，即12nna（2）据（1）求解知，12nna，所以2211loglognnnbaa 112nn 1112nn 所以231.nnTbbbb 11111111.23344512nn 1122n 24nn【点睛】本题考查求等比数列的通项公式，考查裂项相消法求和解题方法是基本量法基本量法是解决等差数列和等比数列的基本方法，务必掌握 20 1有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关；2815.【解析】1由题得2505.5565.0249K，根据数据判断出顾客购物体验的满意度与性别有关；2获得了100元购物券的6人中男顾客有2人，记为1A，2A；女顾客有4人，记为1B，2B，3B，4B从中随机抽取2人，所有基本事件有15个，其中仅有 1 人是女顾客的基本事件有8个，进而求出获得纪念品的2人中仅有1人是女顾客的概率.【详解】解析：1由题得22200 40 4080 40505.5565.024120 80 80 1209K 所以，有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关 2获得了100元购物券的6人中男顾客有2人，记为1A，2A；女顾客有4人，记为1B，2B，3B，4B 从中随机抽取2人，所有基本事件有：12,A A，11,A B，12,A B，13,A B，14,A B，21,A B，22,A B，23,A B，24,A B，12,B B，13,B B，14,B B，23,B B，24,B B，34,B B，共15个 其中仅有 1 人是女顾客的基本事件有：11,A B，12,A B，13,A B，14,A B，21,A B，22,A B，23,A B，24,A B，共8个 所以获得纪念品的2人中仅有1人是女顾客的概率815P【点睛】本小题主要考查统计案例、卡方分布、概率等基本知识，考查概率统计基本思想以及抽象概括等能力和应用意识，属于中档题 21（1）,11,；（2）6,2【解析】（1）当1a 时，将原不等式化简后两边平方，由此解出不等式的解集.（2）对a分成4,4,4aaa 三种情况，利用零点分段法去绝对值，将 f x表示为分段函数的形式，根据单调性求得a的取值范围.【详解】（1）1a 时，0f x 可得212xx，即22212xx，化简得：3310 xx，所以不等式 0f x 的解集为,11,.（2）当4a 时，2,232,2,22,2xaxaf xxaxaxax 由函数单调性可得 min2122aafxf，解得；64a 当4a 时，min2,01f xxf x，所以4a 符合题意；当4a 时，2,232,2,22,2axaxaf xxaxxax 由函数单调性可得，min2122aafxf ，解得42a 综上，实数a的取值范围为6,2【点睛】本小题主要考查含有绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立问题的求解，属于中档题.22（1）答案见解析（2）答案见解析【解析】（1）利用基本不等式可得222,2abbaabba，两式相加即可求解.（2）由（1）知222()bb abab ababaa，代入不等式，利用基本不等式即可求解.【详解】（1）222,2abbaabba 两式相加得22baabab（2）由（1）知222()bb abab ababaa 于是，22331()1()()ab abaaabba ababa ab 23()1()ab ababbaa ab 22abba4【点睛】本题考查了基本不等式的应用，属于基础题.