2020年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题-.pdf
试卷第 1 页，共 4 页 2020 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 一、单选题 1已知集合2|2,230Ax xBx xx，则AB().A 23xx B12xx C21xx 或2x D2 x x或3x 2已知函数2211,0()log(1),0 xxf xxxx，则(3)ff 的值为（）A4 313 B2 C2log 5 D32 3已知角 的终边经过点 P(m，2sin215-1)，若 cos=2 77，则 m 的值为（）A1 B12 C1 D12 4已知公比不为 1 的等比数列 na满足2343,a aa成等差数列,其前n项和为nS,下列判断正确的是（）A120a S B240a S C112()0a aS D323()0a aS 5设函数 11xafxba（0a，1a），则函数 f x的单调性（）A与a有关，且与b有关 B与a无关，且与b有关 C与a有关，且与b无关 D与a无关，且与b无关 6已知函数()cos()cos(2)f xxx为奇函数，则 的值可能为（）A0 B6 C4 D3 7在ABC中，角,A B C所对的边分别为,a b c，若sincos2cos0ABC，2,2AB b，则ABC的面积为（）A2 33 B2 3 C11 1516 D11 152 8已知单位向量1e，2e的夹角为 60，向量12axeye，且12x，12y，设向量a与1e的夹角为，则cos的最大值为（）A64 B63 C5 714 D2 77 试卷第 2 页，共 4 页 9已知实数 a，b满足：对于任意的实数 x，不等式2210 xaxbxa恒成立，则xaxb的取值范围为（）A1，+)B78，+)C58，+)D38，+)10若集合 A=(m，n)|(m+1)+(m2)+(m+n)=2020，mZ，nN*，则集合 A 中的元素个数为（）A8 B10 C12 D16 二、双空题 11设实数 a 满足23a，则4a_，用 a 表示4log 6的结果为_ 12不等式组20204xyxyx所表示的平面区域的面积为_，若 P(x，y)是该区域上的一点，则 x-|y|的取值范围为_ 13已知函数()2sin(2)3f xx的图象向左平移12个单位后得到函数 g(x)的图象，则g(0)=_，若实数 x1，x2满足12()()4f xg x，则|12xx的最小值为_ 14如图,在ABC中,D为边BC的中点,120,2BACCADB BD ,则sinB=_,AD=_ 三、填空题 15已知关于 x 的方程21210axxax(a0)有正实数解，则 a=_ 16已知点,C D是以AB为直径的圆上的两动点，2AB，则AD BC的取值范围为_ 试卷第 3 页，共 4 页 17已知数列 na满足12a，1121.nnaaaa，数列1na的前n项和为nS，则使不等式nS 22019 20212020成立的最小正整数n的值为_ 四、解答题 18已知函数()sin 23cos23f xaxx(aR)满足5()6f xfx（1）求()f x在区间0，2上的值域；（2）若22410f，5,48求 sin的值 19已知 a，bR，函数()2f xxa，2()21g xxxb （1）当 a=1，b=0 时，求方程()()f xg x的根；（2）设函数()()()F xf xg x在-2，2上的最大值为 G(a，b)，当 G(a，b)取得最小值时，求 2a-b 的值 20若平面上的点111222333()(),(),2)1(,A x yA xyA xyC满足1235CACACA（1）求12CACA的最大值；（2）设向量(,)ma b,(,)nc d,定义运算mnacbd若21230A A A A,求122331OAOAOAOAOAOA的取值范围(其中 为坐标原点)21已知数列na的前 n 项和为nS，且满足322nnnSa（1）求数列na的通项公式；（2）设数列nna的前 n项和为nT，证明：3116nT 22已知 10，所以 m0，故 m=1 故选：A.4B【详解】记32aa q,422aa q,则21242222323aaaa qaa q,223qq,故1q 或-1 A：212121111()(2)20a Saa aa aa 221a，则取|x|221a，所以 b=221a，取 x=0，(221a)2a0，则 a0，2217212148xa xbabaaa 又 a0，所以最小值为 1 故选：A.10A【详解】(21)2mnn=2020，即(2m+n+1)n=4040，4040=235101而 2m+n+1 与 n 奇偶性不同，考虑奇数，只能有数 5 或 101，所以 222=8 种 分别为(248，8)，(-241，505)，(30，40)，(-31，101)，(-402，808)，(401，5)，(-2020，4040)，(2019，1)，共 8 组 故选：A.11 19 12a【详解】2a=3，123a，21429aa；444log 6log 2log 341 11log 92 22a 故答案为：19，12a.12 16 -2，4【详解】作图易得 S=1248=16 答案第 4 页，共 9 页 由题意有min,2xyxy xy，r4 且 y0，xy4 分别在(1，3)，(4，0)取等(不唯一).综上，xy-2，4 故答案为：16，2,4.13 2 512【详解】易得()2sin 22sin2cos212312g xxxx，g(0)=2 题述所求即()f x最值到 g(x)最值距离，()f x本身最值横坐标差=2，平移12个单位后为212，512f与 g(0)为一组取等 故答案为：2，512.14 64 51【详解】由条件120CDA,且CDACAB,2ACCD BCAC 2 2,所以sin32ACBCD则sinB 64 故sinC 3068,sin32ACBCDAD 51 故答案为：64，51.151 答案第 5 页，共 9 页【详解】原式2221122xaxxxax ，而2xaax，所以两边都取等才可能相等 而右侧 x=1 取等，左侧 a=x 取等 所以 a=1 故答案为：1.16142，【详解】先考虑最小值，长度和夹角尽量大，所以令 D 与 B重合，C与 A 重合，此时min4AD BC 求最大值，则当 ABCD 成等腰梯形，即min12AD BC 所以题述所求为142，故答案为：142，.176【详解】题述等式即1121.nnaaaa，所以111111nnnaaa，则212112019202111202012020nnnSaa 计算可得：262020a，272020a，所以17n，则6n 故答案为：6.18（1）3,12；（2）3 1010【详解】（1）因为5()6f xfx，所以5(0)6ff 所以33322a，解得 a=1.答案第 6 页，共 9 页 检验：13()sin 23cos2sin2cos2sin 23223f xxxxxx 512x为()f x的对称轴，符合5()6f xfx 因为 x0，2所以22,333x，所以 3,12fx （2）因为22410f所以2sin 2410 因为5,48，所以2,44.又因为210sin 24102所以0246或5264 综上可知5264，所以7 2cos 2410 4cos2cos2cos 2cossin 2sin4444445 所以24cos212sin5 ，因为5,48，所以3 10sin10 19（1）1，12，32；（2）8716【详解】（1）当 a=1，b=0 时()2f xxa，2()21g xxx 当()()f xg x时，即22121211xxxxx 所以10 x或212x，解得 x=1，12，32 故方程()()f xg x的根为 x=1，12，32（2）由题意有()()()F xf xg x22max 2221,22(21)xaxxbxaxxb 22max 22,2321xxabxxab 记2()221h xxxab，2()2321xxxab，x-2，2，则1(2)481(,)216hhG a b，3(2)4121(,)216G a b，答案第 7 页，共 9 页 所以 G(a，b)min=12116，此时等号在3(2)04时取到，代入得87216ab 20（1）2 5；（2）24,6【详解】（1）因为12122 5CACACACA,等号当且仅当向量1CA与2CA反向共线时成立,所以12CACA的最大值为2 5（2）由于1235CACACA,所以点123,A A A在以C为圆心,5为半径的圆上 又因为21230A A A A,所以13A A为圆的直径,则点 C 为 A1A3的中点 所以122331OAOAOAOAOAOA121223233131x xy yx xy yx xy y 因为点C为13A A的中点,所以132xx,134yy,代入式可得原式=2213132211112424(2)(4)xyx xy yxyxxyy 222211112424xyxxyy 因为125CACA,所以22112222125125xyxy,可得221111244xxyy,再代入式可化简为：22211242(2)xyxx,且21182(2)2xx 设215cosx,225siny ,则222462 5cos4 5sinxy 416,故122331OAOAOAOAOAOA22211242(2)xyxx624,21（1）312nna；（2）证明见解析【详解】（1）当 n=1 时，11a 当 n2 时，11331222nnnnnaSSaa，整理化简得131nnaa.所以111322nnaa 答案第 8 页，共 9 页 又112312nnaa，11322a，所以12na是以32为首项，以 3 为公比的等比数列 由上可得113322nna，所以312nna.（2）当 n2 时，2222222318 3318 34 3nnnnnnnnnnna，所以01222341.4 34 34 34 3nnnT,设01222344 34 34 34 3nnA，则1221123134 34 34 34 3nnnnA,两式相减得:2122111113321111111115.1324 3334 3244 328813nnnnnnA.所以 A1516，则153111616nT 当 n=1 时，T1=a1=13116也成立，从而得证 22（1）证明见解析；（2）证明见解析【详解】（1）当 1a2 时，f(0)=1-a0，故函数 y=f(x)在(0，+)上存在零点 设120 xx，2112121212121111()()1111xxf xf xxxxxxxxx 211212211111xxxxxxxx 121221111111xxxxxx 又因为120 xx，所以122111111xxxx，答案第 9 页，共 9 页 所以12211101111xxxx，则12()0(f xf x，即12()()f xf x，所以函数()yf x在(0，+)上单调递增 故函数()yf x在(0，+)上有唯一零点（2）先证右边：要证明022xa，由（1）知只需0()(22)f xfa，只需11(22)22202121faaaaaa即可 而11121211(1)212121aaaaaaa 121 12122(1)(1)21 12121 121aaaaaaaaa 2(1)1021 121aaa(12a)，所以右边不等式成立 再证左边：要证明02 6523ax也只需2 65203af，即只需2 65231032 6513aaa，设2 6513at(t1)，则22 6531at，22962138tta，代入上式只需4229621331803tttt，即4231015108ttt，整理得5332310158(1)3980tttttt，当 t1 时，不等式显然成立.
