吉林省长春市2022届高三线上质量监测(三)数学文科试题解析版.pdf

试卷第 1 页，共 5 页 吉林省长春市 2022 届高三线上质量监测（三）数学文科试题 本试卷满分 150 分考试用时 120 分钟 注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损 2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上 3非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效 4考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1集合12,|1|AxxBx x，则AB R（）A|11xx B|11xx C|12xx D|2x x 2在复平面内，复数5i2i对应的点坐标为（）A1,2 B1,2 C1,2 D1,2 3已知0,a，则“1a”是“12aa”的（）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4抛物线2:4C xay过点4,4，则C的准线方程为()A1y B1y C1x D1x 5已知平面向量a，b满足2a，1b，且a与b的夹角为23，则ab（）试卷第 2 页，共 5 页 A3 B5 C7 D3 6函数 tan 213fxx图象的一个对称中心为（）A,112 B7,112 C7,112 D,112 7某区创建全国文明城市，指挥部办公室对所辖街道当月文明城市创建工作进行考评工作人员在本区选取了甲、乙两个街道，并在这两个街道各随机抽取 10 个地点进行现场测评，下表是两个街道的测评分数（满分 100 分），则下列说法正确的是（）甲 75 79 82 84 86 87 90 91 93 98 乙 73 81 81 83 87 88 95 96 97 99 A甲、乙两个街道的测评分数的极差相等 B甲、乙两个街道的测评分数的平均数相等 C街道乙的测评分数的众数为 87 D甲、乙两个街道测评分数的中位数中，乙的中位数较大 8若点,x y满足线性条件200580 xyxyxy，则2zxy的最大值为 A2 B3 C4 D5 9已知等比数列 na的各项均为正数，其前 n 项和为nS，若22a，5646aaa，则5(a )A4 B10 C16 D32 10函数1()sin1xxef xxe的图象大致是（）A B 试卷第 3 页，共 5 页 C D 11已知边长为 2 的等边三角形ABC，D为BC的中点，以AD为折痕进行折叠，使折后的2BDC，则过A，B，C，D四点的球的表面积为（）A3 B4 C5 D6 12已知函数 f x满足 22f xf x，当0,2x时，f xx，那么 21f（）A102 B112 C202 D212 二、填空题 13若1sin3，则cos2_ 14已知 e1,02,0 xxfxf xx，则 3f的值为_ 15(,)(0,0)P x y xy是双曲线22:14xCy上的一点，(2,0),(2,0)AB，设,PABPBA，ABP的面积为 S，则tan()S的值为_.三、双空题 16已知数列 na是首项为 3，公比为q的等比数列，nS是其前n项的和，若3450a aa，则q _；3S _.四、解答题 17某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了 50 名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分 100 分，将数据分成 6 组：40,50，50,60，60,70，70,80，80,90，90,100，并整理得到频率分布直方图：(1)求a的值；试卷第 4 页，共 5 页(2)若全校学生参加同样的测试，试估计全校学生的平均成绩（每组成绩用中间值代替）；(3)在样本中，从其成绩在 80 分及以上的学生中按分层抽样随机抽取 6 人，再从这 6 人中随机取 3 人，求 3 人中成绩在90,100中至多 1 人的概率 18如图，D是ABC外一点，ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知coscos2BACBCAabc.(1)求BAC；(2)若32bc，2ADCD，且ABC的面积是ADC 面积的 2 倍，求 b 的值.19如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为 2 的菱形，3DAB，PAD是以AD为底边的等腰三角形，平面PAD 平面ABCD，点E，F分别为PD，BC的中点 (1)求证：AEDF；(2)若3AE，求三棱锥DCEF的体积 20已知椭圆C的离心率为32，长轴的两个端点分别为2,0A，2,0B(1)求椭圆C的方程；(2)过点1,0的直线与椭圆C交于M、N(不与 A、B重合)两点，直线AM与直线4x 交于点Q，求证：B、N、Q三点共线 21已知函数 xf xxeaxa，0a.(1)若1a，求 f x的单调区间；(2)若关于 x的不等式 lnf xax恒成立，求实数 a的取值范围.试卷第 5 页，共 5 页 22在直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C1：2cossinxy(为参数)，在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：cos 422，曲线 C3：2sin.(1)求曲线 C1与 C2的交点 M 的直角坐标；(2)设点 A，B 分别为曲线 C2，C3上的动点，求|AB|的最小值 23 已知函数 211f xxx （1）解不等式 2f x.（2）若不等式 1123mf xxx 有解，求实数m的取值范围.答案第 1 页，共 14 页 参考答案：1B【解析】【分析】根据集合的交集、补集运算即可.【详解】|12,1|AxxBx x|1RBx x，所以|11RABxx，故选：B 2A【解析】【分析】由复数的除法运算化简，即可求出复数对应的点的坐标.【详解】5i5i(2i)5(12i)12i2i(2i)(2i)5，在复平面内对应的点坐标为1,2 故选：A 3A【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义，利用基本不等式定理与举特例判断可得【详解】解：当13a 时，有11323aa；当1a 时，有1122aaaa成立，综上，“1a”是“12aa”的充分不必要条件，故选：A 答案第 2 页，共 14 页 4B【解析】【分析】将点4,4代入抛物线方程可得 a，根据抛物线标准方程即可求其准线方程.【详解】抛物线2:4C xay过点4,4，24441aa，2:4C xy，其准线方程为 y1.故选：B.5A【解析】【分析】根据向量数量积的定义及运算性质即得【详解】2a，1b，且a与b的夹角为23，22 1 cos13a b ，222222()222 1 13ababaa bb ，ab3 故选：A.6D【解析】【分析】由正切函数的对称性可得答案.【详解】由2,32kxkZ，可得,46kxkZ 当0k 时，6x，当1k 时，54612x 答案第 3 页，共 14 页 当1k 时，4612x ，所以,112为 f x的一个对称中心 故选：D 7D【解析】【分析】根据题意，逐项分析计算即可.【详解】对于 A，甲评分最高为 98，最低为 75，极差987523，乙评分最高为 99，最低 73，极差997326，故错误；对于 B，甲平均数=7579828486879091 939886.510，乙平均数=7381 81 8387889596979988.210，故错误；对于 C，由所给的数据可知乙的众数是 81，故错误；对于 D，甲的中位数868786.52 乙的中位数878887.52，87.586.5，故正确；故选：D.8D【解析】【详解】画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示 由2zxy可得2yxz 平移直线2yxz，结合图形可得，当直线2yxz 经过可行域内的点 A 时，直线在 y 轴上的截距最大，此时 z 也取得最大值 答案第 4 页，共 14 页 由20580 xyxy解得13xy故点 A 的坐标为（1,3）max2 135z 选 D 9C【解析】【分析】根据等比数列的通项公式，建立方程关系求出公比即可【详解】由6546aaa得260qq，解得2q，从而352216aa 故选 C【点睛】本题主要考查等比数列通项公式的应用，建立方程关系求出公比是解决本题的关键 10A【解析】【分析】根据奇偶性排除选项 CD；根据2x 时函数值的符号排除选项 B.【详解】易知函数1()sin1xxef xxe的定义域为R，且111()sinsinsin()111xxxxxxeeefxxxxf xeee，所以函数1()sin1xxef xxe为偶函数，排除选项 C,D；又221(2)sin201efe，所以排除选项 B.故选：A.11C【解析】【分析】首先对平面图形进行转换，进一步求出外接球的半径，最后带入表面积公式求解.答案第 5 页，共 14 页【详解】边长为 2 的等边三角形ABC，D为BC的中点，以AD为折痕进行折叠，使折后的2BDC，构成以 D 为顶点的三棱锥，且三条侧棱互相垂直，可构造以其为长宽高的长方体，其对角线即为球的直径，三条棱长分别为 1，1，3，所以21 135R ，球面积254()52S，故选:D.12A【解析】【分析】根据已知递推式求值【详解】因为 22f xf x，由题意21010(21)(192)2(19)2(17)2(1)2fffff 故选：A 1379【解析】【详解】2217cos212sin12().39 1411e【解析】【分析】将3x 代入对应解析式依次推导即可.【详解】13111efff 故答案为：11e.1585 答案第 6 页，共 14 页【解析】【分析】先求出1tantan4，再求出216tan()54yx，2,Sy即得解.【详解】由题得2222114tantan()22444xyyyxxxx .所以2tantan4416tan()(tantan)()155225414yyyxxx，由题得142,2Syy 所以222211623284=54545tan()xyxxS .故答案为：85.【点睛】关键点睛：解答本题的关键是想到计算出1tantan4，在解析几何中，记住一些结论对分析题意寻找解题思路有帮助.16 13 73#123【解析】【分析】根据等比数列的通项公式求出公比，再根据等比数列的求和公式可求出结果.【详解】解：设等比数列na的公比为q，因为3450a aa 则2341110a qa qa q，将13a 代入得310q ，得13q ，所以1133nna ，所以3123173 133Saaa.故答案为：13；73.17(1)0.014 答案第 7 页，共 14 页(2)72.6(3)45【解析】【分析】(1)由频率分布直方图中矩形面积为 1，可求解.(2)由频率分布直方图中平均数的公式可求解.(3)先求出80,90，90,100的人数，由分层抽样的方法，分别应抽取多少人，然后列举出从中抽取 3 人的方案数，从而可得答案.(1)由0.0060.0100.0180.0200.032101a，解得0.014a (2)由题意，平均成绩为：1045 0.00655 0.01465 0.01875 0.03285 0.02095 0.01072.6(3)成绩在80,90分的学生有：50 0.020 1010，90,100的学生有50 0.010 105 成绩在 80 分及以上的学生共有15 成绩在 80 分及以上的学生中按分层抽样随机抽取 6 人，其中80,90抽取 4 人，设为,A B C D;90,100抽取 2 人,设为,a b 从这 6 人中随机取 3 人的方案为：,ABC ABD ABa ABb,ACD ACa ACb ,ADa ADb，,BCD BCa BCb BDa BDb CDa CDb Aab Bab Cab Dab共 20 种；其中至多包含90,100中 1 人的有：,ABC ABD ABa ABb,ACD ACa ACb,ADa ADb，,BCD BCa BCb BDa BDb CDa CDb共有 16 种.所以 3 人中成绩在90,100中至多 1 人的概率：164205P 18(1)3(2)2 3【解析】答案第 8 页，共 14 页【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再利用两角和的正弦公式及诱导公式计算可得；（2）由三角形面积公式得到236ABCSb、221222ADCbSb，再根据2ABCADCSS得到方程，解得即可；(1)解：在ABC 中，由coscos2BACBCAabc及正弦定理，得coscossin2sinsinBACBCABACBBCA，整理得2sincoscossinsincosBBACBCABACBCABAC，即2sincossinsinBBACBACBCAB.因为在ABC 中，sin0B，所以1cos2BAC.又0BAC，所以3BAC.(2)解：由（1）知3BAC，因为32bc，23cb，所以21123sinsin22336ABCSbcBACbbb.又221222ADCbSb，2ABCADCSS，所以223464bbb，解得212b.因为0b，所以2 3b.19(1)证明见解析；(2)14【解析】【分析】（1）连结 BD.先证明出DF 平面PAD，利用线面垂直的性质即可证明AEDF；答案第 9 页，共 14 页（2）取 AD的中点 G，连结 PG.求出点E到面ABCD的距离为32.利用等体积法转化D CEFE CDFVV，即可求体积.(1)连结 BD.因为底面ABCD是边长为 2 的菱形，3DAB，所以三角形 BCD为正三角形，所以 DFBC,所以 DFAD.因为平面PAD 平面ABCD，所以DF 平面PAD.因为AE 面PAD,所以AEDF.(2)取 AD的中点 G，连结 PG.因为PAD是以AD为底边的等腰三角形，所以 PGAD.因为平面PAD 平面ABCD，所以PG 平面ABCD.在等腰PAD中，3AE，2AD,点E为PD的中点,由余弦定理可得：coscosAPEAPD即为22222222APEPAEAPDPADAPEPAPDP,代入可得：222222322222APAPAPAPAPAPAPAP,解得：2APDP.所以PAD为正三角形，所以2 sin603PG .因为点E为PD的中点，所以点E到面ABCD的距离为1322PG.因为三角形 BCD 为正三角形，且点F为BC的中点，所以131322CDFS.所以三棱锥DCEF的体积为131331323224D CEFE CDFCDFVVS.20(1)2214xy；答案第 10 页，共 14 页(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)依题意可得2a，再根据离心率求出c，最后根据222abc，求出b，即可求出椭圆方程；(2)设直线l的方程为1xmy，1(M x，1)y，2(N x，2)y，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，在表示出直线AM的方程，即可求出Q点坐标，再表示出NBk、BQk，作差判断NBBQkk，即N、B、Q三点共线(1)由长轴的两个端点分别为(2,0)A，(2,0)B，可得2a，由离心率为32，可得32ca，3c，又222abc，解得1b，椭圆C的标准方程为2214xy；(2)由题可知若 l斜率存在，且斜率不为零，故设l的方程为1xmy，设1(M x，1)y，2(N x，2)y，由22114xmyxy得，22(4)230mymy，则12224myym，12234y ym，所以121223()my yyy 112AMykx，直线AM的方程为11(2)2yyxx，116(4,)2yQx，2222022NByykxx，1111110466223222BQyyxxyxk，21211221122121213(2)3(2)(3)3(1)22(2)(2)(2)(2)NBBQyyyxy xy myy mykkxxxxxx 12122123()0(2)(2)my yyyxx，即NBBQkk，N、B、Q三点共线 答案第 11 页，共 14 页 21(1)单调递减区间为,0，单调递增区间为0,；(2)20,e.【解析】【分析】（1）把1a 代入函数解析式中得 1xf xxex，对函数进行求导即可得到 f x的单调区间.（2）lnf xax恒成立等价于ln00 xxeaxaaxx恒成立，令 ln0 xh xxeaxaax x，则 min0h x.当0a 时，符合题意，当0a 时，对函数 h x判断单调性，即可得到 minh x2ln0aaa，即可求出答案.(1)当1a 时，1xf xxex，则 11xfxxe.当,0 x 时，因为11x ，且01xe，所以11xxe，所以 110 xfxxe，f x单调递减.当0,x时，因为11x，且e1x，所以11xxe，所以 110 xfxxe，f x单调递增.所以当1a 时，f x的单调递减区间为,0，单调递增区间为0,.(2)lnf xax恒成立等价于ln00 xxeaxaaxx恒成立，令 ln0 xh xxeaxaax x，则 min0h x.答案第 12 页，共 14 页 当0a 时，xh xxe在区间0,上恒成立，符合题意；当0a 时，111xxxaahxxeaxexxxxeax，令()xg xxea，()(1)xg xxe，即()g x在0,上单调递增，(0)0,()(1)0aagag aaeaa e ，则存在0(0,)xa，使得000()00 xg xx ea，此时00 xx ea，即00lnlnxxa，则当00,xx时，0h x，h x单调递减；当0,xx时，0h x，h x单调递增.所以 00000minln2lnxh xx ea xahxaxaa.令 min0h x，得2ln0aaa.因为0a，所以20ae.综上，实数 a的取值范围为20,e.【点睛】本题考察了利用导数判断函数的单调性和隐零点问题，属于难题.22(1)M(1,0);(2)21.【解析】【详解】试题分析：（1）将两个曲线方程均化为直角坐标方程，联立得到交点坐标即可；（2）点点距转化为圆心到直线的距离加减半径.解析：(1)曲线 C1：消去参数，得 yx21，x1,1 曲线 C2：cosxy10，联立，消去 y 可得 x2x20 x1 或 x2(舍去)，所以 M(1,0)(2)曲线 C3：2sin 的直角坐标方程为 x2(y1)21，是以(0,1)为圆心，半径 r1 的圆 答案第 13 页，共 14 页 设圆心为 C，则点 C 到直线 xy10 的距离 d，所以|AB|的最小值为1.23（1）243xx；（2）,35,.【解析】【分析】（1）求出()f x的分段函数的形式，问题转化为关于x的不等式组，解出即可；（2）根据绝对值不等式的性质求出代数式的最小值，得到关于m的不等式，解出即可【详解】解：（1）由题可知 12,212113,122,1xxf xxxxxxx 12222xf xx 或11232xx或122xx，解得142x 或1223x或无解.综上，不等式 2f x 的解集是243xx.（2）1232111232123f xxxxxxxxx 21234xx，当且仅当1322x时等号成立.不等式 1123mf xxx 有解，min1123mfxxx，即14m，14m 或14m，解得3m 或5m，实数m的取值范围是,35,.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查绝对值三角不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.答案第 14 页，共 14 页