广东省梅州市2022届高三二模数学试题解析版.pdf

试卷第 1 页，共 6 页 广东省梅州市 2022 届高三二模数学试题 本试卷满分 150 分考试用时 120 分钟 注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损 2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上 3非选择题必须用 0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效 4考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设全集1,2,3,4,5,6U，集合1,2,4A，3,4,5B，则下图中的阴影部分表示的集合为（）A4 B5 C 1,2 D 3,5 2复数z满足13i2iz，i为虚数单位，则复数z的虚部为（）A33 B33 C32 D32 3设函数 21log6,1,2,1.xxxf xx，则 22log 6ff（）A2 B6 C8 D10 4下面四个条件中，使ab成立的充分不必要的条件是（）A2ab B11ab C22ab D22ab 5已知函数 1 cos(0)f xx 的最小正周期为，若将其图象沿x轴向左平移试卷第 2 页，共 6 页(0)m m 个单位长度，所得图象关于直线3x 对称，则实数m的最小值为（）A6 B4 C3 D23 6已知直线:l ykx与圆22:650C xyx交于A、B两点，若ABC为等边三角形，则k的值为（）A33 B22 C33 D22 7 两不共线的向量a，b，满足3ab，且tR，atbab，则cos,a b（）A12 B32 C13 D33 8已知 f x是定义在R上的奇函数，fx是 f x的导函数，当0 x 时，ln 20f xfxxx，且102f，则不等式 20 xf x的解集是（）A,00,2 B0,2 C2,D,02,二、多选题 9已知双曲线C：2213xy，则（）A双曲线C的焦距为2 2 B双曲线C的两条渐近线方程为：33yx C双曲线C的离心率为4 33 D双曲线C有且仅有两条过点1,0Q的切线 10 如图是国家统计局于 2021 年 3 月 10 日发布的 2020 年 2 月到 2021 年 2 月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图，其中同比是指本期与同期作对比，如 2020 年 10 月与2019 年 10 月相比；环比是指本期与上期作对比，如 2020 年 12 月与 2020 年 11 月相比.下列关于“居民消费价格涨跌幅”图表的理解，正确的选项是（）注：本月价格水平去年同月价格水平同比增长率去年同月价格水平，本月价格水平上月价格水平环比增长率上月价格水平 试卷第 3 页，共 6 页 A2020 年 10 月，全国居民消费价格同比下降 B2020 年 11 月，全国居民消费价格环比下降 C2020 年 2 月至 2021 年 2 月，全国居民消费价格环比在 2021 年 1 月涨幅最高 D2020 年 4 月的全国居民消费价格高于 2019 年 5 月的全国居民消费价格 11一球筐中装有n个小球，甲、乙两个同学轮流且不放回的抓球，每次最少抓1个球，最多抓2个球，规定：由甲先抓，且谁抓到最后一个球谁赢，则以下推断中正确的有（）A若4n，则甲有必赢的策略 B若5n，则甲有必赢的策略 C若6n，则乙有必赢的策略 D若7n，则乙有必赢的策略 12在长方体1111ABCDABC D中，1ABAD，12AA，动点P在体对角线1BD上（含端点），则下列结论正确的有（）试卷第 4 页，共 6 页 A当P为1BD中点时，APC为锐角 B存在点P，使得1BD 平面APC CAPPC的最小值2 5 D顶点B到平面APC的最大距离为22 三、填空题 13已知1sin23，0,，则tan_.14已知某班数学建模兴趣小组有 4 名男生和 3 名女生，从中任选 3 人参加该校的数学建模比赛，则恰有 1 名女生被选到的概率是_.15已知正四棱台的上、下底面的顶点都在一个半径为2的球面上，上、下底面正方形的外接圆半径分别为1和2，则此正四棱台的体积为_.16分形几何学的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路.图 1 是长度为 1 的线段，将图 1 中的线段三等分，以中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到图 2，称为“一次分形”；用同样的方法把图 2 中的每条线段重复上述操作，得到图 3，称为“二次分形”，依次进行“n次分形”（nN）.规定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度，要得到一个长度不小于 30 的分形图，则n的最小整数值是_.（取1g30.4771，lg20.3010）四、解答题 17在ABC中，点D在AB上，CD平分ACB，已知2DB，3DC，60BDC 试卷第 5 页，共 6 页(1)求BC的长；(2)求sin A的值.18已知nS是数列 na的前n项和，11a，_.n N，14nnaan；数列nSn为等差数列，且nSn的前3项和为6.从以上两个条件中任选一个补充在横线处，并求解：(1)求na；(2)设121nnnnnaabaa，求数列 nb的前n项和nT.19已知 e2xf xx.(1)求 f x的单调区间；(2)证明：方程 cosf xx在,02上无实数解 20如图，在直角梯形ABCD中，ABAD，ABDC，2AB，4ADCD，EF分别是AD，BC的中点，将四边形ABFE沿EF折起，如图，连结AD，BC，AC.(1)求证：EFAD；(2)当翻折至2 6AC 时，设Q是EF的中点，P是线段AC上的动点，求线段PQ长的最小值.21已知动点P到点0,1F和直线l：1y 的距离相等.(1)求动点P的轨迹方程；(2)设点P的轨迹为曲线C，点Q在直线l上，过Q的两条直线QA，QB与曲线C相切，切点分别为 A，B，以AB为直径作圆M，判断直线l和圆M的位置关系，并证明你的结论.222022 年，我国部分地区零星出现新冠疫情，为了有效快速做好爆发地区的全员核酸检测，我国专家突破难关，使得“10 合 1 混采检测”情况下依然有效，即：每 10 人的咽拭子合进一个采样管一起检测.如果该采样管中检测出来的结果是阴性，就表示这 10个人都是安全的.否则，立即对该混采的 10 个受检者暂时单独隔离，并重新采集单管拭试卷第 6 页，共 6 页 子进行复核，以确定这 10 个人当中的阳性者.采用“10 合 1 混采检测”模式，是为了确保在发生新冠肺炎疫情时，能够短时间内完成大规模全员核酸检测工作，降低新冠肺炎疫情在本地扩散风险.(1)设感染率为p，10 个人的咽拭子混合在一起检测时，求随机的 10 个一起检测的人所需检测的平均次数.(2)某地区共 10 万人，发现有输入性病例，需要进行全员核酸检测，预估新冠病毒感染率为万分之一，即为410，先进行“10 合 1 混采检测”，试估计这 10 万人所需检测的平均次数.并估计对这个地区，这样的混检比一人一检大约能少使用多少份检测试剂？（注：感染率，即为每个人受感染的概率；1041 100.999）答案第 1 页，共 17 页 参考答案：1D【解析】【分析】图中阴影部分表示UAB，再根据交集和补集的定义即可得出答案.【详解】解：图中阴影部分表示UAB，因为1,2,3,4,5,6U，集合1,2,4A，3,4,5B，所以3,5,6UA，所以 3,5UAB.故选：D.2D【解析】【分析】根据题意得到213iz，计算求解即可.【详解】因为13i2iz，所以13i2z，所以213iz，即2 13i213i2213i13i 13iz，所以复数z的虚部为：32.故选：D.3B【解析】【分析】根据分段函数的解析式，分别求出函数值即可得解.【详解】解：因为 21log6,1,2,1.xxxf xx，答案第 2 页，共 17 页 所以2log 6 1222log 83,log 623ff，所以22log 66ff.故选：B.4A【解析】【分析】A 选项，由2abab，且ab2ab，得到 A 正确；B 可以举出反例；C 选项，推导出22ab是ab成立的必要不充分条件；D 选项，可以利用指数函数单调性解不等式，推导出22ab是ab成立的充要条件.【详解】2abab，且ab2ab，故ab成立的充分不必要的条件是2ab，A 正确；当2,1ab 时，此时满足11ab，而不满足ab，故11ab不是ab成立的充分不必要的条件，B 错误；22ab，解得：0ab或0ab，故22ab是ab成立的必要不充分条件，故不合题意，C 错误；22ab，解得：ab，故22ab是ab成立的充要条件，不合题意，D 错误.故选：A 5A【解析】【分析】先求出2，利用平移后的解析式关于3x 对称，求出 23km，kZ，结合0m，求出实数m的最小值.【详解】由题意得：2，所以2，沿x轴向左平移(0)m m 个单位长度，所得解析式为 1 cos2g xxm，答案第 3 页，共 17 页 又 g x关于直线3x 对称，所以223mk，kZ，解得：23km，kZ，又0m，解得：23k，kZ，故当1k 时，m取得最小值，此时 263m.故选：A 6D【解析】【分析】分析可知C到直线l的距离为2sin33d，再利用点到直线的距离公式可得出关于k的等式，即可解得实数k的值.【详解】圆C的标准方程为2234xy，圆心为3,0C，半径为2，由题意可知，圆心C到直线l的距离为2sin33d，由点到直线的距离公式可得2331kdk，解得22k .故选：D.7C【解析】【分析】由atbab两边平方后整理得一元二次不等式，根据一元二次函数的性质可判断0，整理后可知只能为 0，即可解得答案.【详解】解：由题意得：tR，atbab tR，2222222at bta baba b 即222226cos,6cos,0t bt ba bbba b 0b 答案第 4 页，共 17 页 tR，26 cos,1 6cos,0tta ba b 221 36cos,4 6cos,136 cos,03a ba ba b 1cos,03a b，即1cos,3a b 故选：C 8B【解析】【分析】令 ln 2g xf xx，根据题意可得函数 g x在0,上递增，从而可得出函数 g x在0,上的符号分布，从而可得函数 f x在0,上的符号分布，再结合 f x是定义在R上的奇函数，即可得出函数在R上的符号分布，从而可得出答案.【详解】令 ln 2g xf xx，则 ln 20fxgxfxxx，所以函数 g x在0,上递增，又因102g，所以当10,2x时，0g x，当1,2x时，0g x，又因当10,2x时，ln 20 x，当1,2x时，ln 20 x，所以当10,2x时，0f x，当1,2x时，0f x，又因为102f，所以当0 x 时，0f x，因为 f x是定义在R上的奇函数，所以 00f，当0 x 时，0f x，由不等式 20 xf x，答案第 5 页，共 17 页 得 200 xf x或 200 xf x，解得02x，所以不等式 20 xf x的解集是0,2.故选：B.9BD【解析】【分析】根据双曲线方程，求出,a b c，即可判断 ABC，对于 D，可设过点1,0Q的切线方程为1yk x，联立方程，消y，注意二次项系数不等于零，再根据0，求出k，即可判断 D.【详解】解：由双曲线C：2213xy，得2223,1,4abc，故3,1,2abc，所以双曲线C的焦距为4，故 A 错误；双曲线C的两条渐近线方程为：33yx，故 B 正确；双曲线C的离心率为2 33，故 C 错误；对于 D，由题意，过点1,0Q的切线斜率存在，设过点1,0Q的切线方程为1yk x，联立22113yk xxy，消y整理得22221 36330kxk xk，所以21 30k，即33k ，且422364 1 3330kkk，解得22k ，所以双曲线C有且仅有两条过点1,0Q的切线，故 D 正确.故选：BD.答案第 6 页，共 17 页 10BCD【解析】【分析】A选项，由于0.50，故可判断2020年10月，全国居民消费价格同比上升；B选项，0.60，故 2020 年 11 月全国居民消费价格环比下降；C 选项，2020 年 2 月至 2021 年 2 月，全国居民消费价格环比在 2021 年 1 月涨幅为 1.0，最高，C 正确；设 2019 年 4 月的全国居民消费价格为a，表达出 2020 年 4 月的全国居民消费价格为1 3.3%a，及 2019 年 5 月的全国居民消费价格，比较大小，从而作出判断.【详解】从图中可以看出 2020 年 10 月，全国居民消费价格同比为0.50，故全国居民消费价格同比上升，A 错误；2020 年 11 月，全国居民消费价格环比为0.60，故全国居民消费价格环比下降，B 正确；2020 年 2 月至 2021 年 2 月，全国居民消费价格环比在 2021 年 1 月涨幅为 1.0，最高，C 正确；设2019年4月的全国居民消费价格为a，则2020年4月的全国居民消费价格为1 3.3%a，则 2020 年 5 月的全国居民消费价格为1 0.8%1 3.3%a，故 2019 年 5 月的全国居民消费价格为 1 0.8%1 3.3%1.000712.4%aa，而1 3.3%1.0007aa，故 2020 年 4 月的全国居民消费价格高于 2019 年 5 月的全国居民消费价格，D 正确.故选：BCD 11ABC【解析】【分析】对甲第一抓球的个数进行分析，结合题意进行推理，可判断各选项的正误.【详解】对于 A 选项，若4n，只要甲第一次抓1个球，乙抓1个或2个球，剩余的球甲可以抓完，即甲有必赢的策略，A 对；对于 B 选项，若5n，只要甲第一次抓2个球，乙抓1个或2个球，剩余的球甲可以抓完，即甲有必赢的策略，B 对；答案第 7 页，共 17 页 对于 C 选项，若6n，若甲第一次抓1个球，则问题转化为剩余5个球，由乙先抓，结合 B选项可知，乙有必赢的策略，若甲第一次抓2个球，则问题转化为剩余4个球，由乙先抓，结合 A 选项可知，乙有必赢的策略，综上，若6n，则乙有必赢的策略，C 对；对于 D 选项，若7n，若甲第一次抓1个球，则问题转化为剩余6个球，由乙先抓，结合 C选项可知，甲有必赢的策略，若甲第一次抓2个球，则问题转化为剩余5个球，由乙先抓，结合 B 选项可知，乙有必赢的策略，D 错.故选：ABC.12ABD【解析】【分析】如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，设101BPBD，当P为1BD中点时，根据cosPA PCAPCPAPC判断cosAPC得符号即可判断 A；当1BD 平面APC，则11,BDAP BDCP，则有1100BDAPBD CP，求出，即可判断 B；当11,BDAP BDCP时，APPC取得最小值，结合 B 即可判断 C；利用向量法求出点B到平面APC的距离，分析即可判断 D.【详解】解：如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，设101BPBD，则11,0,0,1,1,0,0,1,0,0,0,2ABCD，则11,1,2BD ，故1,2BPBD，则 0,1,0,2,1,2APABBP ，1,0,0,21,2CPCBBP，答案第 8 页，共 17 页 对于 A，当P为1BD中点时，则1 1,12 2AP，11,122CP，则11,122PA，1 1,12 2PC，所以1cos03PA PCAPCPAPC，所以APC为锐角，故 A 正确；当1BD 平面APC，因为,AP CP 平面APC，所以11,BDAP BDCP，则11140140BDAPBD CP ，解得16，故存在点P，使得1BD 平面APC，故 B 正确；对于 C，当11,BDAP BDCP时，APPC取得最小值，由 B 得，此时16，则1 5 1,6 6 3AP，51 1,66 3CP，所以306APCP，即APPC的最小值为303，故 C 错误；对于 D，0,1,0,1,1,0ABAC，设平面APC的法向量,nx y z，则有0120n ACxyn APxz ，可取2,2,21n，则点B到平面APC的距离为22cos,1241AB nABAB nn，当0时，点B到平面APC的距离为 0，当01时，答案第 9 页，共 17 页 2222112211241113 12244，当且仅当12时，取等号，所以点B到平面APC的最大距离为22，故 D 正确.故选：ABD.132 2【解析】【分析】根据题意求出sin的值即可.【详解】因为1sin23，所以1cos3，因为0,，所以22 2sin1cos3，所以sintan2 2cos.故答案为：2 2.141835【解析】【分析】设出事件为 A，利用组合知识求解出事件 A包含的情况数，利用古典概型求概率公式求出答 答案第 10 页，共 17 页 案.【详解】设从中任选 3 人参加该校的数学建模比赛，则恰有 1 名女生被选到为事件 A，则 1234371835C Cp AC 故答案为：1835 1514 33【解析】【分析】分析可知，正四棱台1111ABCDABC D的外接球球心在等腰梯形11ACC A所在平面内，作出梯形11ACC A及其外接圆，求出梯形11ACC A的高以及正四棱台的上、下底面面积，利用台体的体积公式可求得结果.【详解】在正四棱台1111ABCDABC D中，由正四棱台的几何性质可知，该四棱台的外接球球心在等腰梯形11ACC A所在平面内，由题设，设2AC，114AC，设球心为O，如下图所示：连接OA、OC，因为114AC，则11AC为等腰梯形11ACC A的外接圆的一条直径，且点O为11AC的中点，由题意可得2OAOCAC，所以，OAC为等边三角形，所以，正四棱台1111ABCDABC D的高为2sin33h，正方形ABCD的边长为2，其面积为2，答案第 11 页，共 17 页 正方形1111DCBA的边长为2 2，其面积为8，因此，正四棱台282 8314 333V.故答案为：14 33.1612【解析】【分析】根据题意得到每次分形后所得线段之和为首项为43，公比是43的等比数列，求出n次分形后线段之和为43n，列出不等式，结合nN，求出12n.【详解】由题意得：“n 次分形”后线段之和是“（n-1）次分形”后所得线段之和的43，且 一次分形后线段之和为14433，故每次分形后所得线段之和可看出首项为43，公比是43的等比数列，故n次分形后线段之和为1444333nn，故4303n，两边取对数得：2lg2lg31 lg3n，又 nN，解得：12n，故n的最小整数值为 12.故答案为：12 17(1)7(2)2114【解析】【分析】（1）利用余弦定理求出BC；（2）先用正弦定理求出21sin7DCB，利用同角三角函数平方关系求出2 7cos7DCB，再用正弦的差角公式求出答案.(1)依题意，由余弦定理得：2222cosBCDBDCDB DCBDC 149 1272，答案第 12 页，共 17 页 解得：7BC (2)依题意，由正弦定理得：sinsinBCDBBDCDCB，所以32sin212sin77DBBDCDCBBC.因为DBDC，所以DCB为锐角，所以232 7cos1 sin177DCBDCB.因为BDCADCA ，所以ABDCDCABDCDCB，所以sinsin 60sin60 coscos60 sinADCBDCBDCB 32 712121272714.18(1)条件选择见解析，21nan(2)22121nn nTn【解析】【分析】（1）选，分析可知数列21ka、2Nkak均为公差为4的等差数列，求出2a的值，可求得21ka、2Nkak的表达式，可得出数列 na的通项公式；选，求得22S的值，可得出数列nSn的公差，即可求得nS，再由11,1,2nnnS naSSn可求得数列 na的通项公式；（2）求得2211122121nbnn，利用裂项相消法可求得nT.(1)解：选条件：n N，14nnaan，得1241nnaan，答案第 13 页，共 17 页 所以，24144nnaann，即数列21ka、2Nkak均为公差为4的等差数列，于是21141432 211kaakkk，又124aa，23a，224141221kaakkk ，所以21nan；选条件：因为数列nSn为等差数列，且nSn的前3项和为6，得3122361232SSSS，所以222S，所以nSn的公差为212 1121SSd ，得到11nSnnn，则2nSn，当2n，221121nnnaSSnnn.又11a 满足21nan，所以，对任意的Nn，21nan.(2)解：因为 12222214111221212121nnnnnaanbaannnn，所以1222222211111112 13352121nnTbbbnn 222111122121n nnn.19(1)单调递减区间为,ln2，单调递增区间为ln2,(2)证明见解析【解析】【分析】（1）求定义域，求导，解不等式，求出单调区间；（2）构造 e2cosxg xxx，,02x，求导，研究其单调性，求出最小值，从而证明出不等式.(1)f x的定义域为R，答案第 14 页，共 17 页 e2xfx，令 0fx，即e2x，解得：ln2x，令 0fx，即e2x.解得：ln2x.综上所述，f x的单调递减区间为,ln2，单调递增区间为ln2,.(2)令 e2cosxg xxx，,02x，esin2xg xx，因为当,02x 时，e1sin10 xgxx，所以 g x在,02单调递减.所以 00g xg，所以函数 g x在,02上无零点.即方程 cosf xx在,02上无实根.20(1)证明见解析(2)5 36【解析】【分析】（1）证明EF 平面AED，再根据线面垂直得性质即可得证；（2）证明CD平面AED，可得CDAD，利用勾股定理求出AD，再利用勾股定理证明AEDE，以E为原点，建立如图的空间直角坐标系，设,P x y z，APAC，0,1，求出P点得坐标，从而可得出答案.(1)证明：因为四边形ABCD是直角梯形，E，F分别是的AD，BC中点，所以ABEFCD，EFAE，EFDE，又AEDEE，所以EF 平面AED，又因AD 平面AED，所以EFAD；(2)解：由（1）可知CD平面AED，答案第 15 页，共 17 页 因为AD 平面AED，所以CDAD，在Rt ADC中，2224 162 2ADACCD，又2AEED，所以222AEEDAD，即AEDE，所以EFED，EFEA，EAED，以E为原点，建立如图的空间直角坐标系，则0,3,0F，0,0,2A，2,4,0C，30,02Q 设,P x y z，APAC，0,1，所以,22,4,2x y z，得：2x，4y，22z，2222324222PQ 22524204 2525241212，则当512时，有PQ最小值5 36，所以线段PQ长的最小值为5 36.21(1)24xy(2)相切，证明见解析 答案第 16 页，共 17 页【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义即可求得动点P的轨迹方程；（2）依题可设0,1Q x，211,4xA x，222,4xB x，由24xy，即：214yx，求导，根据导数得几何意义求得QA，QB的方程，再将点0,1Q x 的坐标分别代入，再证明QAQB，即可得出结论.(1)解：由抛物线定义可知点P的轨迹是以0,1F为焦点，直线l：1y 为准线的抛物线，所以动点P的轨迹方程为24xy；(2)解：依题可设0,1Q x，211,4xA x，222,4xB x，由24xy，即：214yx，求导得：2xy，所以切线QA，QB的斜率分别是112xk，222xk，所以QA的方程是211142xxyxx，点0,1Q x 的坐标代入，得：21101142xxxx，即2101240 xx x，同理可得2202240 xx x，于是12,x x是方程20240 xx x的两根，所以1202xxx，124x x ，由1202xxx，得1202xxx，即：MQl，由124x x ，1212122xxk k ，所以QAQB，即：点Q在圆M上，答案第 17 页，共 17 页 所以直线l和圆M相切.22(1)1011 10 1p(2)89900【解析】【分析】（1）设随机变量X表示这 10 个人一共所需的检验次数.求出X所有取值，求解即可；（2）根据题意得10410000011 10 1 101100001000000.9991010010即可求解.(1)设感染率为p，10 个人的咽拭子混合在一起检测时，设随机变量X表示这 10 个人一共所需的检验次数.若第一次混检都是阴性，所需检测次数为 1，1X；若是阳性，每人还得再单独检测一次，此时11X，且 1011P Xp，101111P Xp 于是平均检测次数是 10101011111111 101E Xppp.这 10 个人一共所需平均检测次数是1011 10 1p.(2)病毒感染率为万分之一，即410p，于是采取“10 合 1 混采检测”方案，10 万人可能需要进行检测的平均次数大约为：10410000011 10 1 101100001000000.9991010010.即进行“10 合 1 混采检测”方案，10 万人估计需要的检测次数为 10100，比“一人一检”方案少使用约1000001010089900份检测试剂.