上海市华东师范大学第二附属中学2021-2022学年高二下学期4月月考数学试题解析版.pdf

试卷第 1 页，共 4 页 上海市华东师范大学第二附属中学 2021-2022 学年高二下学期 4 月月考数学试题 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。一、填空题 1函数33yxx在2 2,上的最大值为_.2已知函数 f x的导函数为 fx，若 2f xfx，05f，则不等式 3e2xf x的解集为_.3已知函数 3f xxmx，若 1xf ef x对xR恒成立，则实数m的取值范围为_.4若函数 21ln2f xaxxxx存在单调递增区间，则a的取值范围是_.5已知在一次降雨过程中，某地降雨量y（单位：mm）与时间（单位：mm）的函数关系可近似表示为10yt，则在40mint 时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为_mm/min.6已知函数 f（x）=ex-2x+a 有零点，则 a 的取值范围是_ 7已知函数 5cosxf xexx，则曲线 yf x在点 0,0f处的切线方程是_ 8写出一个同时具有下列三个性质的函数()f x：_.在R上单调递增；3()(0)f xaxbx ab；曲线()yf x存在斜率为 4 的切线.9已知函数32()245f xaxxx，当23x 时，函数()f x有极值，则函数()f x在3,1上的最大值为_.10已知函数32()+f xaxbxcx，其导函数()yfx的图像经过点1,0、2,0.如图，则下列说法正确的是_ 试卷第 2 页，共 4 页 当32x 时，函数()f x取得最小值；()f x有两个极值点;当2x 时函数取得极小值；当1x 时函数取得极大值；11若32223 328e4eexxxxxaxaa对xR恒成立，则a的取值范围是_;12设函数3221()321(0)3f xxmxm xmm，若存在()f x的极大值点0 x满足2220(0)10 xfm，则实数m的取值范围是_;二、单选题 13函数()lnf xxx，正确的命题是 A值域为R B在 1+，是增函数 C f x有两个不同的零点 D过1,0点的切线有两条 14已知函数2()1,()lnf xxg xx，那么下列说法正确的是（）A(),()f xg x在点1,0处有相同的切线 B函数()()f xg x有两个极值点 C对任意0,()()xf xg x恒成立 D(),()f xg x的图象有且只有两个交点 15关于函数 2lnf xxx，下列判断正确的是（）2x 是 f x极大值点；函数 yf xx有且仅有1个零点；存在正实数k，使得 f xkx成立；对任意两个正实数1x、2x且12xx，若 12f xf x，则124xx.A B C D 试卷第 3 页，共 4 页 16已知函数234567()1(1)234567xxxxxxf xxx ，若()(3)h xf x的零点都在区间(,)(,)a b ab a bZ内，当ba取最小值时，则ab等于（）A3 B4 C5 D6 三、解答题 17已知函数 2221ln2,2xxfxxg xexax (1)求曲线 f x在 1,1f处的切线方程；(2)若不等式 0g xf x在，恒成立，求a的范围.18已知()1f xaxxlnx 的图象在 1,1Af处的切线与直线0 xy平行（1）求函数()f x的极值；（2）若1x，2(0,)x，121212()()()f xf xm xxxx，求实数m的取值范围 19已知函数()ln2f xxx.(1)求曲线()yf x在1x 处的切线方程；(2)函数()f x在区间,1k k kN上有零点，求 k的值；(3)记函数21()2()2g xxbxf x，设1212,()x xxx是函数()g x的两个极值点，若32b，且12()()g xg xk恒成立，求实数 k的取值范围.20某地有三家工厂，分别位于矩形 ABCD 的顶点 A，B，及 CD 的中点 P 处，已知20AB km,10kmBC,为了处理三家工厂的污水，现要在矩形 ABCD 的区域上（含边界），且 A，B 与等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道 AO，BO，OP，设排污管道的总长为 ykm（I）按下列要求写出函数关系式：设(rad)BAO，将y表示成的函数关系式；设(km)OPx，将y表示成x的函数关系式（）请你选用（I）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排水管道总长度最短 试卷第 4 页，共 4 页 21已知函数32211()2332f xxaxa x（aR），()fx为函数()f x的导函数.(1)若1x 为函数()f x的极值点，求实数a的值;(2)当有且只有两个整数满足不等式()0fx时，求实数a的取值范围;(3)对任意102a时，任意实数12,1,2x x ，都有12()()38f xfxMa恒成立，求实数M的最大值.答案第 1 页，共 18 页 参考答案：12【解析】【分析】先对函数求导，研究其在给定区间的单调性，求出极值，从而可得出最值.【详解】因为33yxx，所以233yx，由233 0yx 得1x 或1x ；由2330yx 得11x；又2,2x 即函数33yxx在2,1上单调递增，在1,1上单调递减，在1,2上单调递增，所以，当1x 时，函数33yxx有极大值2y；当1x 时，函数33yxx有极小值2y ；又当2x 时，326 2y；当2x 时，3262y，因此函数33yxx在2 2,上的最大值为2.故答案为：2.【点睛】本题主要考查由导数的方法求函数的最值，属于基础题型.20 x x#0,【解析】【分析】构造函数 e2exxg xf x，利用导数分析函数 g x的单调性，将所求不等式变形为 0g xg，结合函数 g x的单调性可得解.【详解】构造函数 e2exxg xf x，则该函数的定义域为R，且 0023gf，所以，e20 xgxf xfx，则函数 g x在R上为增函数，答案第 2 页，共 18 页 由 3e2xf x可得 e2e3xxf x，即 0g xg，解得0 x.因此，不等式 3e2xf x的解集为0 x x.故答案为：0 x x.31,【解析】【分析】先证12xex，当0m 时，f x在R上单调递增，可得 1xf ef x恒成立；当0m时，可得22m，即可求解结果【详解】由题意可知，令 1xh xex，1xh xe 当0 x 时，10 xh xe；当0 x 时，10 xh xe；所以 h x在,0上单调递减，在0,上单调递增，则 02h xh恒成立；由 23fxxm，则当0m 时，0fx，即 f x在R上单调递增，则 1xf ef x对xR恒成立，满足题意；当0m时，由 30f xxmx得0 x 或xm 又因为12xex且函数 f x为奇函数，所以可得22m，解得1m ，则10m，综上，实数m的取值范围为1,故答案为：1,41,e【解析】【分析】答案第 3 页，共 18 页 将题意转化为：0 x，使得 0fx，利用参变量分离得到ln xax，转化为 minln xax，结合导数求解即可【详解】21ln2fxaxxxx，其中0 x，则 lnfxaxx 由于函数 yf x存在单调递增区间，则0 x，使得 0fx，即0 x，ln xax，构造函数 ln xgxx，则 minag x 2ln1xgxx，令 0gx，得xe 当0 xe时，0gx；当xe时，0g x 所以，函数 yg x在xe处取得极小值，亦即最小值，则 min1g xg ee，所以，1ae，故答案为1,e【点睛】本题考查函数的单调性与导数，一般来讲，函数的单调性可以有如下的转化：（1）函数 yf x在区间D上单调递增xD，0fx；（2）函数 yf x在区间D上单调递减xD，0fx；（3）函数 yf x在区间D上存在单调递增区间xD，0fx；（4）函数 yf x在区间D上存在单调递减区间xD，0fx；（5）函数 yf x在区间D上不单调函数 yf x在区间D内存在极值点 514#0.25【解析】【分析】将函数10yt关于t求导，再将40t 代入上式的导函数，即可求解【详解】解：因为 10yf tt 答案第 4 页，共 18 页 1210()102f ttt，101(40)42 40f 故在40mint 时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为14mm/min.故答案为：14 6,2ln22【解析】【分析】根据零点定义，分离出a，构造函数()2xg xex，通过研究()2xg xex的值域来确定a 的取值范围【详解】根据零点定义，则2+0 xex a 所以2xaex 令()2xg xex 则()2xg xe，令()20 xg xe 解得ln2x 当ln2x 时，)(0g x，函数()2xg xex单调递减 当ln2x 时，()0g x，函数()2xg xex单调递增 所以当ln2x 时取得最小值，最小值为22ln 2 所以由零点的条件为22ln2a 所以2ln 22a，即a的取值范围为,2ln 22【点睛】本题考查了函数零点的意义，通过导数求函数的值域，分离参数法的应用，属于中档题 71yx【解析】【分析】求导，x=0 代入求 k，点斜式求切线方程即可 答案第 5 页，共 18 页【详解】45,xfxecosxsinxx则 01f，又 01f 故切线方程为 y=x+1 故答案为 y=x+1【点睛】本题考查切线方程，求导法则及运算，考查直线方程，考查计算能力，是基础题 83()f xxx（答案不唯一）【解析】【分析】由()f x在R上单调递增，知,0a b，曲线()yf x存在斜率为 4 的切线，则()4fx有解，知04,0ab，故()f x满足3()(04,0)f xaxbxab即可.【详解】函数()f x满足在R上单调递增，则2()30(0)fxabxab恒成立，即,0a b 曲线()yf x存在斜率为 4 的切线，则()4fx有解，即234(0)abxab 即满足403,0aba b，解得04,0ab.故答案为：3()f xxx 913【解析】由题可得 f x在23x 的导数值等于 0，可求得1a，再根据导数讨论函数的单调性，即可求出最值.【详解】2344fxaxx，当23x 时，函数()f x有极值，2440333fa，解得1a，2344322fxxxxx，当3,2x 时，0fx，f x单调递增，答案第 6 页，共 18 页 当22,3x 时，0fx，f x单调递减，当2,13x时，0fx，f x单调递增，f x在2x 处取得极大值 213f，且38f，14f，()f x在3,1上的最大值为 13.故答案为：13.【点睛】方法点睛：利用导数求函数在闭区间上最值的方法：（1）先求出函数的导数；（2）根据导数的正负判断函数的单调性；（3）求出极值，端点值，即可判断出最值.10【解析】【分析】由导函数的图像判断出函数 f(x)的单调性，从而得到极值的情况，即可得到正确答案.【详解】由图象可知,当(,1)x 时,0fx;当1,2x时,0fx;当(2,)x时,0fx.所以函数 f(x)在(,1)上单增，在(1,2)上单减，在(2,)上单增，无最大最小值，所以错；f(x)有两个极值点 1 和 2，且当 x=2 时函数取得极小值，当 x=1 时,函数取得极大值，所以正确.故答案为：.112(e,)【解析】【分析】设23()f xxxx，利用导数研究其单调性，将问题转化为2exxa，即e2xxa，设2()exxg x，再利用导数求其最大值，最后求出a的取值范围【详解】答案第 7 页，共 18 页 解：设23()f xxxx，则2212()1233()033fxxxx，()f x在R上单调递增，由32223 328e4eexxxxxaxaa对xR恒成立，得23223 3248eeexxxxxxaaa，即(2)()exfxf a，则2exxa，即e2xxa 设2()exxg x，则22()exxg x，当1x 时，()0g x，当1x 时，()0g x，故1e2()()maxg xg a的取值范围是2(e,)故答案为：2(e,)121,13【解析】【分析】求出函数的导数，即可得到函数的单调区间，从而求出0 x以及(0)f的值，得到关于m的不等式，解出即可【详解】解：因为3221()321(0)3f xxmxm xmm 所以22()23(3)()fxxmxmxm xm，令()0fx，解得xm或3xm，令()0fx，解得3mxm，故()f x在(,3)m 单调递增，在(3,)m m单调递减，在(,)m 单调递增，故3xm是()f x的极大值点，即03xm，而(0)21fm，故2220(0)10 xfm，即2229(21)10mmm，即23410mm，解得：113m，答案第 8 页，共 18 页 故答案为：1,13 13B【解析】【分析】利用导数研究函数值域、单调性、零点与切线.【详解】因为()lnf xxx，所以1()ln10fxxxe，因此当1xe时()0,()fxf x在1(,)e上是增函数，即在(1,)上是增函数；当10 xe时()0,()fxf x在1(,)e上是减函数，因此11()()f xfee；值域不为 R;当10 xe时()0f x,当1xe时(1)0f()f x只有一个零点，即 f x只有一个零点；设切点为000(,ln)xxx，则00000lnln111xxxxx，所以过1,0点的切线只有一条；综上选 B.【点睛】本题考查利用导数研究函数值域、单调性、零点与切线，考查基本分析求解能力，属中档题.14D【解析】【分析】结合切线的斜率、极值点、不等式恒成立、函数图象的交点对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】A 选项，2,12fxx f，1,11gxgx，11fg，所以 A 选项错误.B 选项，令 21 ln0h xf xg xxx x，221211212xxxh xxxxx，所以 h x在区间 20,0,2hxh x递减；在区间 2,0,2hxh x递增.答案第 9 页，共 18 页 所以 h x有极小值也即是有最小值，无极大值，无最大值，函数()()f xg x有1个极值点，22221111 lnln2ln2 10222222h，22()()22fg，2221111 10,ee20eeehh ，所以 h x有2个零点，也即(),()f xg x的图象有且只有两个交点，所以 BC 选项错误，D 选项正确.故选：D 15D【解析】【分析】利用极值与导数的关系可判断的正误；利用导数分析函数 yf xx的极值与单调性，结合零点存在定理可判断的正误；利用参变量分离法结合导数可判断的正误；利用对数平均不等式121212lnlnxxx xxx结合基本不等式可判断的正误.【详解】对于，函数 2lnf xxx的定义域为0,，22122xfxxxx，当02x时，0fx，此时函数 f x单调递减，当2x 时，0fx，此时函数 f x单调递增，所以，2x 是 f x极小值点，错；对于，令 2lng xf xxxxx，该函数的定义域为0,，22222122210 xxxxgxxxxx ，则函数 g x在0,上单调递减，因为 110g，2ln2 10g，所以，函数 yf xx有且仅有1个零点，对；对于，若存在正实数k，使得 f xkx成立，则2ln2xxkx，令 2ln2xxp xx，其中0 x，则 34lnxxxp xx，令 4lnh xxxx，其中0 x，则 lnh xx，答案第 10 页，共 18 页 当01x时，0h x，此时函数 h x单调递增，当1x 时，0h x，此时函数 h x单调递减，则 130h xh ，所以，当0 x 时，0p x，故函数 p x在0,上单调递减，则 p x无最小值，故不存在正实数k，使得 f xkx成立，错；对于，先证明121212lnlnxxx xxx，其中120 xx，即证1121222112lnxxxxxxxxx x，令121xtx，即证12lnttt，令 12lnm tttt，其中1t，则 222212110ttm tttt ，所以，函数 m t在1,上为减函数，当1t 时，10m tm，所以，当120 xx时，121212lnlnxxx xxx，由 12f xf x，得121222lnlnxxxx可得12122112222lnlnxxxxxxx x，所以，12121212lnln2xxx xx xxx，所以，122x x，因此，121224xxx x，对.故选：D.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由 0f x 分离变量得出 ag x，将问题等价转化为直线ya与函数 yg x的图象的交点问题.16C【解析】【分析】答案第 11 页，共 18 页 先求得函数 f x是单调递增函数，并用零点存在性定理求得函数零点所在的区间，f x零点向右移3个单位后得到3f x的零点，即可求解.【详解】依题意 234561fxxxxxxx，当1x 时，根据等比数列求和公式，有 7711011xxfxxx，故函数 f x在R上为增函数 111111010,10234567ff ，故函数 f x零点在区间1,0内，所以3f x零点在2,3内，故当ba取最小值时2,3ab，所以5ab.故选：C 17(1)43yx (2)2a 【解析】【分析】（1）求导221 1 lnln()44xxf xxxxx，进而得到(1)f，(1)f，写出切线方程；（2）将不等式()()g xf x在(0,)恒成立，转化为21 lnxxeax恒成立，令21 ln()xxh xex，(0,)x，求得其最小值即可.(1)解:21 ln()2xf xxx，221 1 lnln()44xxf xxxxx，21 1 ln(1)44xfxx，(1)1f，切线方程为43yx.(2)答案第 12 页，共 18 页 不等式()()g xf x在(0,)恒成立，即21 lnxxeax恒成立，令21 ln()xxh xex，(0,)x，2 2222ln2ln()2xxxx exh xexx，令2 221()2ln,()4(1)0,(0,)xxxx exxxx exx，()x在区间(0,)为增函数，且122242()20,(1)20eeeee，20(,1)xe，满足022000()2ln0 xxx ex，则0(0,),()0,()xxh xh x为减函数，0(,),()0,()xxh xh x为增函数，所以，020min001ln()()xxh xh xex，又因为022000()2ln0 xxx ex，02000ln20 xxx ex，001ln20000ln12lnxxxx eexx 又因为xyxe在(0,)为增函数 所以，0012lnxx，0201xex，min0()()2h xh x，2a 18（1）极大值为1e，无极小值；（2）(，212e【解析】【分析】(1)可利用导数的几何意义求出 a 的值,然后利用函数导数得到函数的单调性,求得函数的极值;(2)所给不等式含有两个变量,通过变形使两个变量12xx，分别在不等式两侧,然后构造新函数答案第 13 页，共 18 页 g(x),转化为函数的单调性即可求解 m 的范围.【详解】（1）()1f xaxxlnx 的导数为()1fxalnx，可得()f x的图象在(1A，f（1）)处的切线斜率为1a，由切线与直线0 xy平行，可得1 1a，即2a，()21f xxxlnx，()1fxlnx，由()0fx，可得0 xe，由()0fx，可得xe，则()f x在(0,)e递增，在(,)e 递减，可得()f x在xe处取得极大值为1e，无极小值；（2）可设12xx，若1x，2(0,)x，121212()()()f xf xm xxxx，可得221212()()f xf xmxmx，即有221122()()f xmxf xmx，设2()()g xf xmx在(0,)为增函数，即有()120g xlnxmx 对0 x 恒成立，可得12lnxmx在0 x 恒成立，由1()lnxh xx的导数为22()lnxh xx得：当()0h x，可得2xe，()h x在2(0,)e递减，在2(e，)递增，即有()h x在2xe处取得极小值，且为最小值21e，可得212me，解得212me，则实数m的取值范围是(，212e【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求解参数的值和范围,属于中等难度题型,第一问解题中关键是导数几何意义的应用;第二问中关键是将不等式转化,然后构造新函数,再利用新函数的单答案第 14 页，共 18 页 调性求解参数 m 的范围.19(1)1y (2)0或3(3)152ln28k 【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再求出切点坐标，即可求出切线方程；（2）求出()f x的导数，判断()f x的单调性，利用零点存在性定理判断即可；（3）求函数的导函数，令()0g x，依题意方程2(1)10 xbx 有两不相等的正实根1x、2x，利用韦达定理，结合b的取值方程，即可求出1x的取值范围，则212112111()()2ln()2g xg xxxx，构造函数2211()2ln()2F xxxx，10,2x，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而得解(1)解：因为()ln2f xxx，所以1()1fxx，切线斜率为 10f，又 11f，切点为1,1，所以切线方程为1y ；(2)解：1()xfxx，0,x，当01x时，()0fx，函数()f x单调递减；当1x 时，()0fx，函数()f x单调递增，所以()f x的极小值为 110f ，2222(e)elne2e0f，()f x在区间(0,1)上存在一个零点1x，此时0k；又 33 ln321 ln30f ，44ln4222ln22(1ln2)0f，()f x在区间(3,4)上存在一个零点2x，此时3k 综上，k的值为 0 或 3；(3)答案第 15 页，共 18 页 解：函数2211()2()ln(1)22g xxbxf xxxbx，0,x，所以21(1)1()(1)xbxg xxbxx，由()0g x得2(1)10 xbx，依题意方程2(1)10 xbx 有两不相等的正实根1x、2x，121xxb，121x x，211xx，又32b，111512xbx，12110 xxx，解得1102x，222112121211221111()()ln()(1)()2ln()22xg xg xxxbxxxxxx，构造函数2211()2ln()2F xxxx，10,2x，所以223321(1)()0 xF xxxxx，()F x在10,2上单调递减；所以当12x 时，115()()2ln228minF xF，所以152ln28k 20（I）20 10sin10(0)cos4y 2220200(010)yxxxx（）选择函数模型，P位于线段 AB 的中垂线上且距离 AB 边10 3km3处【解析】【详解】（I）由条件可知 PQ 垂直平分 AB，(rad)BAO，则10coscosAQOABAO 故10cosOB，又1010tanOP，所以 101010 10tancoscosyOAOBOP 20 10sin10(0)cos4(km)OPx，则10OQx，所以222(10)1020200OAOBxxx，答案第 16 页，共 18 页 所以所求的函数关系式为2220200(010)yxxxx（）选择函数模型 22210cos(20 10sin)(sin)10(2sin1)coscosy 令0y 得1sin2，又04，所以6 当06时，0y，y是的减函数；64时，0y，y是的增函数 所以当6时min10 3 10y 当 P 位于线段 AB的中垂线上且距离 AB边10 3km3处 21(1)12a 或1a (2)111,122 (3)223M【解析】【分析】（1）首先求出函数的导函数，依题意 10f，即可得到方程，解得a，再代入检验即可；（2）依题意有且只有两个整数满足不等式20 xaxa，再分0a 和0a 两种情况讨论，分别得到不等式组，解得即可；（3）由 3221111113232f xxaxa x，令 32211232g xxaxa x 利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最小值，再根据二次函数的性质求出 2fx的最小值，即可得到2206483aaMa，最后根据二次函数的性质计算可得；(1)解：因为32211()2332f xxaxa x，所以22()2fxxaxa，依题意 221120faa，解得12a 或1a；答案第 17 页，共 18 页 当1a 时3211()2332f xxxx，则2()212fxxxxx ，所以当21x 时()0fx，函数 f x单调递增，当2x或1x 时()0fx，函数 f x单调递减，故函数在1x 处取得极大值，符合题意；当12a 时32111()3342f xxxx，则2111()1222fxxxxx ，所以当112x时()0fx，函数 f x单调递增，当12x 或1x 时()0fx，函数 f x单调递减，故函数在1x 处取得极大值，符合题意；故12a 或1a (2)解：因为22()22fxxaxaxaxa ，因为有且只有两个整数满足不等式()0fx，即有且只有两个整数满足不等式20 xaxa，显然0a，当0a 时，解得2axa，即不等式的解集为|2xaxa，所以1221aa ，解得112a；当0a 时，解得2axa，即不等式的解集为|2xaxa，所以2211aa ，解得112a ；综上可得111,122a (3)解：因为 3221111113232f xxaxa x，令 32211232g xxaxa x，则 222()(2)gxxaxaxa xa ，令 0gx，则xa 或2xa，因为102a，所以1,02a ，20,1a，所以当 1x，a和(2xa，2时，0gx，函数 g x单调递减，当(,2)xaa 时，0g x，函数 g x单调递增，所以函数 g x的极小值为3333117()2326gaaaaa，又28(2)243gaa，答案第 18 页，共 18 页 令3278()(2)()4263h aggaaaa，易知，当102a时，函数 h a单调递增，故125()()0248maxh ah，所以 2gga，即当 1x，2时，28()(2)243ming xgaa，又 2222222292()24aafxxaxax 其对应函数图象的对称轴为2122ax，所以22x 时，22(2)422minfxfaa ，所以 212203643f xfxaa，故有2206483aaMa，又22201226486()333aaaa，因为102a，所以2122226()333a，所以223M