上海市宝山区2022届高三二模数学试题解析版.pdf

试卷第 1 页，共 3 页 上海市宝山区 2022 届高三二模数学试题 一、填空题 1设集合 Ax12x2，Bxx21，则 AB_ 2如果函数 23,0,0 xxyfxx是奇函数，则(3)f _ 3若线性方程组的增广矩阵为122301cc、解为35xy，则12cc 4方程 cos2x+sinx=1 在(0,)上的解集是_ 5若正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为 1，则此三棱锥的体积为_ 6若一组样本数据2，3，7，8，a的平均数为5，则该组数据的方差2s _.7已知点(,)P x y在不等式组20,10,220 xyxy，表示的平面区域上运动，则zxy的取值范围是_ 8已知P是双曲线22145xy上的点，过点P作双曲线两渐近线的平行线12,l l，直线12,l l分别交x轴于,M N两点，则OMON_ 9已知,a b c分别为ABC三个内角,A B C的对边，06,31,45abC，则A _ 10某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为110和p，若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，则p _ 11已知直线250 xy与直线11 50 xdy互相平行且距离为m.等差数列na的公差为d，且7841035,0a aaa，令123|nnSaaaa，则mS的值为_ 12已知,D E分别是ABC边,AB AC的中点，M是线段DE上的一动点(不包含,D E两点)，且满足AMABAC，则12的最小值为_ 二、单选题 13已知a，b，c，d为实数，且cd，则“ab”是“acbd”的（）试卷第 2 页，共 3 页 A充分而不必要条件 B充要条件 C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件 14已知,是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行 B过已知平面的一条斜线有且只有一个平面与已知平面垂直 C平面不垂直平面，但平面内存在直线垂直于平面 D若直线l不垂直于平面，则在平面内不存在与l垂直的直线 15关于函数131()(2)2xxf xx和实数,m n的下列结论中正确的是（）A若3mn，则()()f mf n B若0mn，则()()f mf n C若()()f mf n，则22mn D若()()f mf n，则33mn 16设函数 xxxfxabc，其中0,0cacb，若a、b、c是ABC的三条边长，则下列结论：对于一切,1x 都有 0f x；存在0 x 使xxa、xb、xc不能构成一个三角形的三边长；ABC为钝角三角形，存在1,2x，使 0f x，其中正确的个数为_个 A3 B2 C1 D0 三、解答题 17在长方体ABCD1111DCBA中，11ADAA，3AB，点E是棱AB上的点，2AEEB.(1)求异面直线1AD与EC所成角的大小；(2)求点C到平面1D DE的距离 18某地区的一种特色水果上市时间11个月中，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，现有三种价格模拟函数:()xf xp q；2()1 f xpxqx；()sin()44f xAxB(以上三式中,p q A B均为非零常数，1q.)试卷第 3 页，共 3 页(1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数，为什么?(2)若(3)8,(7)4,ff求出所选函数()f x的解析式(注：函数的定义域是0,10，其中0 x 表示1月份，1x 表示2月份，以此类推)，为保证果农的收益，打算在价格在5元以下期间积极拓宽外销渠道，请你预测该水果在哪几个月份要采用外销策略？19已知函数 133xxafxb（1）当1ab时，求满足 3xf x 的x的取值范围；（2）若 yf x的定义域为R，又是奇函数，求 yf x的解析式，判断其在R上的单调性并加以证明 20已知1266,0,022FF是椭圆C的两个焦点坐标，(3,1)P是椭圆C上的一个定点，,A B是椭圆C上的两点，点M的坐标为(1,0).(1)求椭圆C的方程；(2)当,A B两点关于x轴对称，且MAB为等边三角形时，求AB的长；(3)当,A B两点不关于x轴对称时，证明：MAB不可能为等边三角形.21已知无穷数列 na的前n项和为nS，且满足2nnnSAaBaC，其中A、B、C是常数.（1）若0A，3B，2C ，求数列 na的通项公式；（2）若1A，12B，116C，且0na，求数列 na的前n项和nS；（3）试探究A、B、C满足什么条件时，数列 na是公比不为1的等比数列.答案第 1 页，共 14 页 参考答案：1 x1x2【解析】【详解】试题分析：因为|11Bxx，1|22Axx，所以|12ABxx.考点：一元二次不等式的解法、集合的运算.23【解析】【分析】利用函数是奇函数，即可求解.【详解】设 23,0,0 xxg xf xx，3332 3 33gfg .故答案为：3 316【解析】【详解】由题意得：1212232 33 521,05,21516.cxycxycc 考点：线性方程组的增广矩阵 45,66【解析】【详解】21512sinsin1sin0sin(0,)266xxxxx 或或 516【解析】【详解】试题分析：记正三棱锥为PABC，点P在底面ABC内的射影为点H，则236(2)323AH，在Rt APH中，2233PHAPAH，所以答案第 2 页，共 14 页 1133133236P ABCABCVSPH.考点：正三棱锥的性质和体积的计算.65.2【解析】由平均数为 5 可求a，根据方差方式求2s即可.【详解】由题意知：237855a，所以5a，而2211()niisxxn，222222125355575855.25s 故答案为：5.2 7-1,2【解析】【分析】画出可行域，然后利用目标函数的等值线yx在可行域中进行平移，根据z或含z的式子的含义，目标函数取最值得最优解，可得结果.【详解】如图 令0z，则yx为目标函数的一条等值线 将等值线延y轴正半轴方向移到到点0,1A 则点0,1A是目标函数取最小值得最优解 将等值线延y轴负半轴方向移到到点2,0B 答案第 3 页，共 14 页 则点2,0B是目标函数取最大值得最优解 所以minmax0 11,202zz 所以1,2z 故答案为：1,2【点睛】本题考查线性规划，一般步骤：（1）作出可行域；（2）理解z或含z的式子的含义，利用等值线在可行域中移动找到目标函数取最值得最优解，属基础题.84【解析】【分析】首先设点00(,)P xy，分别求直线12,l l的方程，利用坐标表示OMON的值.【详解】双曲线22145xy两渐近线的斜率为52，设点00(,)P xy，则1l、2l的方程分别为00()25yyxx，00()25yyxx，所以M、N坐标为002 5(,0)5M xy，002 5(,0)5N xy，所以220000002 52 54|555OMONxyxyxy，又点P在双曲线上，则2200145xy，所以|4OMON 故答案为：4 960#3【解析】【分析】根据余弦定理求c，再根据余弦定理求角A.【详解】由余弦定理得222cos2cababC，由余弦定理得2221cos22bcaAbc，因为0,A，所以060A 答案第 4 页，共 14 页 故答案为：60 1015#0.2【解析】【分析】根据相互独立事件概率的乘法公式和互斥事件的加法公式列方程即可求解.【详解】由题意可得：11149111110101050ppp，整理可得：90111045p，解得：15p，故答案为：15.1152【解析】【分析】根据平行线的距离求出 d和 m 的值，利用等差数列的定义和性质求出通项公式，进而求和即可.【详解】由题意知，0d，因为两直线平行，所以125111 5d，解得2d ，由两平行直线间距离公式得2|11 55|1012m，由78aa77(2)35aa，解得75a 或77a.又410720aaa，所以75a ，即7165aad，解得17a，所以1(1)29naandn.所以1012310Saaaa|7|5|3|1|1|3|5|7|9|11|52 故答案为：52.1264 2#4 26 答案第 5 页，共 14 页【解析】【分析】由三点共线得到221，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【详解】由于M是DE上的一动点(不包含,D E两点)，且满足22AMABACADAE，所以,0 且221，以121224()(22)664 2，当且仅当2122,22 时取等号，所以12的最小值为64 2 故答案为：64 2 13C【解析】【分析】利用不等式的基本性质可证明必要性，举例可判定不充分性.【详解】已知cd，若“acbd”成立，则利用不等式的可加性得到accbdd 成立，即“ab”成立，“ab”是“acbd”的必要条件；反之“ab”成立时不一定有“acbd”成立，例如：1,0,5,1abcd,满足,cd ab而4,1,acbdacbd “acbd”不成立，“ab”是“acbd”的不充分条件.综上，“ab”是“acbd”的必要不充分条件，故选：C.14B【解析】【分析】举特例说明判断 A；由平面的基本事实及线面垂直的性质推理判断 B；推理说明判断 C；举例说明判断 D 作答.【详解】正方体1111ABCDABC D中，直线11AB、直线11BC都平行于平面ABCD，而直线11AB与11BC答案第 6 页，共 14 页 相交，A 不正确；如图，直线l是平面的斜线，lO，点 P 是直线 l上除斜足外的任意一点，过点 P作PA于点 A，则直线OA是斜线l在平面内射影，直线l与直线OA确定平面，而PA 平面，则平面平面，即过斜线l有一个平面垂直于平面，因平面的一条斜线在此平面内的射影是唯一的，则直线l与直线OA确定的平面唯一，所以过已知平面的一条斜线有且只有一个平面与已知平面垂直，B 正确；如果平面内存在直线垂直于平面，由面面垂直的判断知，平面垂直于平面，因此，平面不垂直平面，则平面内不存在直线垂直于平面，C 不正确；如图，在正方体1111ABCDABC D中，平面ABCD为平面，直线1BC为直线l，显然直线l不垂直于平面，而平面内直线,AB CD都垂直于直线l，D 不正确.故选：B 15C【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，即可得到此类函数的规律是自变量离原点越近，函数值越小，即自变量的绝对值小，函数值就小，反之也成立，从而一一判断即可；【详解】解：因为113311()(2)()(2)()22xxxxfxxxf x，答案第 7 页，共 14 页 所以函数131()(2)2xxf xx是一个偶函数，又0 x 时，122xxy 与13yx是增函数，且函数值为正数，故函数131()(2)2xxf xx在(0,)上是一个增函数 由偶函数的性质得函数在(,0)上是一个减函数，此类函数的规律是自变量离原点越近，函数值越小，即自变量的绝对值小，函数值就小，反之也成立，考察四个选项，A 选项，由3mn，无法判断m，n离原点的远近，故 A 错误；B 选项，0mn，则m的绝对值大，故其函数值也大，故 B 不对；C 选项是正确的，由()()f mf n，一定得出22mn；D 选项由()()f mf n，可得出|mn，但不能得出33mn，不成立，故选：C 16A【解析】【分析】构造函数 xfxg xc，根据函数单调性可知 1g xg，根据三角形三边关系可知 10g，可推导出 0g x，从而可得 0f x，可知正确；通过取值可知存在取值使得取值不满足三边关系，可知正确；根据余弦定理可知2220abc，可得 20g，再结合 10g，可知 120ff，由零点存在性定理可知正确；由此可得选项.【详解】令 1xxxf xabg xccc 0,0cacb 01,01abcc ,xxabcc在R上单调递减 g x在R上单调递减 当1x 时，1abcg xgc 根据三角形三边关系可知：0abc 0g x 答案第 8 页，共 14 页 又0 xc ,1x 时，都有 0 xf xcg x，可知正确；取3x，2a，3b，4c 则24275164xxxxabc，不满足三角形三边关系，可知正确；ABC为钝角三角形 222cos02abcCab 2220abc 222220abcgc，从而 2220fcg 又 110fc g 120ff，由零点存在性定理，可知正确 本题正确选项：A【点睛】本题考查函数与解三角形知识的综合应用问题，其中涉及到零点存在定理的应用、余弦定理及三角形三边关系的应用、函数单调性问题，关键是能够构造出合适的函数来对问题进行求解.17(1)3(2)3 55【解析】【分析】（1）先作出异面直线1AD与EC所成角，再去求其大小即可（2）依据三棱锥等体积法去求点C到平面1D DE的距离(1)在平面 ABCD内作/AECE交CD于E，连接1D E，则1D AE为异面直线1AD与EC所成角或其补角.因为3,2ABAEEB，所以1EB，所以1DE，因为11ADDD，所以12,AEDE 而12AD，所以1AD E为正三角形，13D AE，答案第 9 页，共 14 页 从而异面直线1AD与EC所成角的大小为3.(2)设点C到平面1DED的距离为h，1111515222DEDSD D DE，133 122DECS ，由11C DEDDDECVV得151313232h，所以3 55h 18(1)选，理由见解析；(2)第1,7,8,9月份应该采取外销策略.【解析】【分析】（1）分析给定的 3 个函数的图象特征，结合已知判断作答.（3）将给定数据代入选定的函数，求出待定系数，再在指定范围内求()5f x 的 x取值作答.(1)对于，函数()xf xp q是单调函数，不符合题意，对于，二次函数2()1f xpxqx的图象不具备先上升，后下降，再上升的特点，不符合题意，对于，当0A时，函数()sin()44f xAxB在0,3上的图象是上升的，在3,7上的图象是下降的，在7,11上的图象是上升的，满足题设条件，应选.(2)答案第 10 页，共 14 页 依题意，84ABAB，解得2,6AB，则()2sin()6,0,10,N44f xxxx，由2sin()6544x，即1sin()442x，而0,10,Nxx，解得0,6,7,8x，所以该水果在第1,7,8,9月份应该采取外销策略.19（1）1x ；（2）11 333xxf x，f x在R上递减，证明见解析.【解析】【分析】(1)由题意可得11 3331xxx从中解得1133x,解此指数不等式即可求得x的取值范围；(2)由 00f可求得a，011ff，可求得b，从而可得 yf x的解析式；利用单调性的定义，对任意1212,x xR xx，再作差 12f xf x最后判断符号即可.【详解】（1）由题意，化简得,解得,所以.（2）已知定义域为 R，所以，又，所以；对任意 可知,因为，所以，所以 答案第 11 页，共 14 页 因此在 R 上递减【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，属于中档题.已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由+0f xfx 恒成立求解，（2）偶函数由 0f xfx 恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由 00f 求解，偶函数一般由 110ff求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.20(1)22:239Cxy(2)2 3|3AB 或14 3|9AB (3)证明见解析【解析】【分析】（1）用待定系数法求出椭圆的方程；（2）设00(,)A xy，00(,)B xy，由ABM为等边三角形，得到00313yx.解出02x，求出02 3|23ABy；解出043x ，求出014 3|29ABy.（3）设11(,)A x y，22(,)B xy证明出12xx|MAMB，与,A B不关于x轴对称矛盾，即可得到ABM不可能为等边三角形.(1)可设椭圆的方程为22221xyab 由题意得：2222262311cabbac，解得：2262923cab，所以椭圆的方程为221932xy，即22239xy.(2)设00(,)A xy，00(,)B xy，答案第 12 页，共 14 页 因为ABM为等边三角形，所以00313yx.又点00(,)A xy在椭圆上，所以002200313239yxxy，消去0y，得到2003280 xx，解得02x或043x ，当02x时，0033312 1333yx，所以02 3|23ABy；当043x 时，003347 3113339yx，所以014 3|29ABy.(3)设11(,)A x y，则2211239xy，且1 3,3x ，所以222221111121|(1)(1)3(3)133MAxyxxx，设22(,)B xy，同理可得221|(3)13MBx，且2 3,3x .因为21(3)13yx在 3,3上单调，所以有12xx|MAMB，因为,A B不关于x轴对称，所以12xx，所以|MAMB.所以ABM不可能为等边三角形.21（1）13()2nna；（2）24nnS；（3）0A，11qBq或12或0，0C 【解析】【详解】试题分析：（1）已知nS与na的关系，要求na，一般是利用它们之间的关系1nnnaSS(1)n，把nS，化为na，得出数列 na的递推关系，从而求得通项公式na；（2）与（1）类似，先求出1a，2n 时，推导出na与1na之间的关系，求出通项公式，再求出前n项和nS；（3）这是一类探究性命题，可假设结论成立，然后由这个假设的结论来推导出条件，本题设数列 na是公比不为1的等比数列，则11nnaa q，111(1)111nnnaqaaSqqqq，代入恒成立的等式2nnnSAaBaC，得 2211112()011nnaaaaAqBqCqqqq对于一切正整数n都成立，所以0A，答案第 13 页，共 14 页 1qBq，101aCq，得出这个结论之后，还要反过来，由这个条件证明数列 na是公比不为1的等比数列，才能说明这个结论是正确的在讨论过程中，还要讨论1q 的情况，因为1q 时，1naa，1nSna，当然这种情况下，na不是等比数列，另外1qBq10,1,2 试题解析：（1）由32nnSa，得11a；1 分 当2n 时，1133nnnnnaSSaa，即132nnaa 2 分 所以13()2nna；1 分（2）由211216nnnSaa，得211111216aaa，进而114a，1 分 当2n 时，221111122nnnnnnnaSSaaaa 得111()02nnnnaaaa，因为0na，所以112nnaa，2 分 进而21444nn nnnS 2 分（3）若数列 na是公比为q的等比数列，当1q 时，1naa，1nSna 由2nnnSAaBaC，得2111naAaBaC恒成立.所以10a，与数列 na是等比数列矛盾；1 分 当1q ，0q 时，11nnaa q，1111nnaaSqqq，1 分 由2nnnSAaBaC恒成立，得2211112()011nnaaaaAqBqCqqqq对于一切正整数n都成立 所以0A，11qBq或12或0，0C 3 分 事实上，当0A，1B 或12或0，0C 时，nnSBaC 101CaB，2n 时，11nnnnnaSSBaBa，得101nnaBaB或1 答案第 14 页，共 14 页 所以数列 na是以1CB为首项，以1BB为公比的等比数列 2 分 考点：nS与na的关系：1(2)nnnaSSn，等差数列与等比数列的定义