第三章线性方程组课件.ppt

西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A第三章矩阵的初等变换与线性方程组西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A第三章 矩阵的初等变换与线性方程组内容1矩阵的初等变换2初等矩阵3矩阵的秩4线性方程组的解西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A第三章 矩阵的初等变换与线性方程组要求1熟练掌握用初等变换把矩阵化成行阶梯形和行最简形；理解矩阵等价的概念；2理解初等矩阵，理解初等矩阵与初等变换的联系；掌握用初等变换求矩阵的秩的方法；3理解矩阵的秩的概念，知道初等变换不改变矩阵的秩的原理，掌握用初等变换求矩阵的秩的方法。知道矩阵的标准形与矩阵的秩的关系。理解矩阵秩的基本性质。4掌握线性方程组无解、有唯一解或有无穷多解的充分必要条件，熟练掌握应用矩阵的初等变换求解线性方程组的方法；5知道矩阵方程AX=B有解的充分必要条件。西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A第三章 矩阵的初等变换与线性方程组重点、难点1矩阵的秩的求法2线性方程组的有解情况的判断及求解3初等变换的应用4矩阵的秩的性质及应用西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A一、矩阵的初等变换1引例（用消元法解线性方程组）引例（用消元法解线性方程组）引例引例 用消元法解线性方程组【解解】（1）交换方程和 （2）从中消去x-3-3,-4-4西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A （3）一、矩阵的初等变换从中消去 y-（4）约去中公因子1/14，1/71/7 （5）回代求解西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A一、矩阵的初等变换 （5）由 =y=z+2 将 代入=x=-2z-1 z 可取任意实数可取任意实数若令 z=c，(c为任意常数)，则方程组的解可记为西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A一、矩阵的初等变换下面来分析一些用消元法解方程组的过程：（1）用到三种变换：交换方程的次序；以不等于零的常数乘以某个方程；一个方程加上另一个方程的 k 倍。（2）这三种变换均可逆，所以变换前后的方程是同解，从而可求出方程组的全部解，称为方程组的同解变换。（3）运算过程中只有系数和右端常数参与运算，未知量仅仅是起到占位作用，而为参与任何实质计算。西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A一、矩阵的初等变换2初等变换初等变换定义（初等行变换）我们将下述三种变换称为矩阵的初等行变换：（1）对调两行，记作 ri rj；（2）以非零数 k 乘某行的所有元素，记作 kri；（3）把某一行的所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去，记作 ri+krj。说明：将上述定义中的“行”改为“列”，即为初等列变换的定义；矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换；初等变换均可逆，其逆变换均为初等变换。西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A一、矩阵的初等变换例例西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A一、矩阵的初等变换3等价矩阵等价矩阵定义（等价矩阵等价矩阵）如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，就称矩阵A与B等价。矩阵等价关系满足以下性质：反身性；对称性；传递性。满足此三条性质的任何关系都可以称为等价关系。注：两个线性方程组同解，则称它们等价。西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A一、矩阵的初等变换例例1 利用初等行变换解线性方程组【解】首先写出原方程组的增广矩阵，然后对增广矩阵做初等行变换。西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A一、矩阵的初等变换以B5为增广矩阵的线性方程组为：令 z=c（c为任意常数），则有西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A一、矩阵的初等变换4行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵定义（行阶梯形矩阵）上述矩阵B4具有如下特点：(1)横线下方全是 0；(2)每个阶梯只有一行，阶梯数即非零行行数；(3)竖线后面第一个元素为非零元；将满足此特点的矩阵称为行阶梯形矩阵。西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A一、矩阵的初等变换定义（行最简形矩阵）矩阵B5除满足行阶梯形矩阵的特点外，还满足：(4)每行第一个非零元素为1，且该元素所在的列的其余元素为0；将满足条件(4)的行阶梯形矩阵称为行最简形矩阵。西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A一、矩阵的初等变换定义（矩阵的标准形）上述矩阵的特点是：左上角是一个单位矩阵，其余元素均匀 0；满足此条件的矩阵成为 矩阵的标准形。结论：矩阵 Amn 经过初等变换（行和列）总可以化为标准形它由 m，n，r 完全确定。西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A一、矩阵的初等变换例例 2 用初等行变换化矩阵 A 为行最简形。【答案答案】西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A二、初等矩阵1初等矩阵初等矩阵定义（初等矩阵）由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵，有三种类型：E(i,j)，E(i(k)，E(i,j(k)。相关结论：变换符号行列式的值逆矩阵E(i,j)-1E(i,j)E(i(k)kE(i,j(k)1E(i,j(-k)西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A二、初等矩阵2 2矩阵的初等变换与矩阵乘法之间的关系矩阵的初等变换与矩阵乘法之间的关系定理定理 对矩阵A施行一次初等行（列）变换相当于以相应的初等矩阵左（右）乘矩阵A。【证明提示】对矩阵A作行（列）分块，然后分别证明即可。西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A二、初等矩阵3 3可逆方阵的初等变换求法可逆方阵的初等变换求法定理定理 设 A 为 n 阶方阵，则 A 可逆 存在有限个初等矩阵 P1，P2，Pk，使得 A=P1P2Pk。【证明】（必要性）设 A 可逆，且 A 的标准形为 F，由 FA，知F 经过有限次初等变换可化为 A，即有初等矩阵P1，P2，Pk，使得A=P1P2PsFPs+1Pk因为 A 可逆，P1，P2，Pk 也都可逆，故 F 可逆。假设中 rn，则|F|=0，与 F 可逆矛盾。所以 F=E，且 A=P1P2Pk。西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A二、初等矩阵（充分性）设 A=P1P2Pk，因为初等矩阵均可逆，有限个可逆矩阵的乘积仍可逆。所以 A 可逆。推论1推论2方阵 A 可逆 A E（按行），（按行），即即 A 可以通过初等行变换变成可以通过初等行变换变成 E。AmnBmn 存在可逆矩阵 P 和 Q，使得 A=PBQ。西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A二、初等矩阵方法方法AX=B（其中（其中A可逆）的初等变换解法。可逆）的初等变换解法。由 A 可逆，则存在初等矩阵 P1，P2，Pk，使得 A=P1P2Pk 从而 A-1=Pk-1P1-1，Pk-1P1-1A=E，Pk-1P1-1B=A-1B，所以综上，要求 A-1B，只需特殊情况：当B=E时，西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A二、初等矩阵例例3 求矩阵A的逆矩阵，其中【解解】西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A二、初等矩阵例例4 解矩阵方程 AX=A+X，其中【答案】原方程可变为西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A三、矩阵的秩1 1矩阵的秩矩阵的秩定义（k阶子阵）在矩阵 A 中任取 k 行 k 列，位于这些行与列相交处的元素，按照原来相应位置构成的 k 阶矩阵。定义（k阶子式）矩阵 A 的 k 阶子阵的行列式。mn 型矩阵 A 的 k 阶子式共有 CmkCnk 个。定义（矩阵的秩）如果矩阵 A 中有一个 r 阶子式 Dr0，且所有的 r+1 阶子式（如果存在）Dr+1=0，则称 Dr 为 A 的一个最高阶非零子式。数 r 称为矩阵 A 的秩，记为 R(A)。西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A三、矩阵的秩注：注：1规定 R(Omn)=0；2设 A=(aij)nxn，若R(A)=n，称A为满秩阵；若R(A)R(A)=R(B)；若 P,Q 可逆，则 R(PAQ)=R(A)；maxR(A),R(B)R(A,B)R(A)+R(B)；当 B=b 为列向量时，R(A)R(A,b)R(A)+1；R(A+B)R(A)+R(B)；R(AB)minR(A),R(B);若 AmnBns=0ms，则R(A)+R(B)n。西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A三、矩阵的秩 的证明：由于 R(A)的最高阶非零子式总是(A,B)的非零子式，故 R(A)R(A,B)；同理，R(B)R(A,B)；所以 max R(A),R(B)R(A,B)。设 R(A)=r，R(B)=t，则 R(AT)=r，R(BT)=t；对 AT，BT 分别作行初等变换，并化成行阶梯形C和D，则 C 和 D 分别有 r 个和 t 个非零行，从而矩阵中只含有 r+t 个非零行，因此西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A三、矩阵的秩例例8 设 A 为 n 阶方阵，证明 R(A+E)+R(A-E)n。【证明】由性质，而西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A三、矩阵的秩例例9 设 A 为 mn 矩阵，证明：若 AX=AY，且 R(A)=n，则 X=Y。【证明证明】由秩的性质，得到而 R(A)=n 西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A四、线性方程组的解四、线性方程组的解1基本理论基本理论设有 n 个未知数 m 个方程的线性方程组写成矩阵方程为AX=b (2)若(1)或(2)有解，则称(1)是相容的；若(1)或(2)无解，则称(1)是不相容的。西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A四、线性方程组的解四、线性方程组的解【定理定理】线性方程组 AX=b(1)无解 R(A)R(A,b)；(2)有唯一解 R(A)=R(A,b)=n；(3)无限多解 R(A)=R(B)n。注记(1)此定理给出了AX=b的解的判别的所有情况；(2)对 AX=b 的解的情况判别可以借助矩阵的秩 和矩阵的行初等变换进行；(3)此定理充分性的证明过程给出了求解方法。【证明证明】参见教材 P72。西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A四、线性方程组的解四、线性方程组的解2解法举例解法举例解法过程的详细描述参见教材解法过程的详细描述参见教材P72-73页。页。例例10 求解齐次线性方程组【解解】同解方程组为：西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A四、线性方程组的解四、线性方程组的解由此，得到令则原方程组的通解为写成向量形式为西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A四、线性方程组的解四、线性方程组的解例例11 求解非齐次线性方程组【答案】R(A)=2R(A,b)=3，无解。西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A四、线性方程组的解四、线性方程组的解例例12 求解非齐次线性方程组【答案】通解为：西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A四、线性方程组的解四、线性方程组的解例例13 设有线性方程组问 取何值时，此方程组（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无限多解？并在有无限多解时球其通解。【答案答案】当 0且3时，方程组有唯一解；当 =0 时，R(A)=1R(A,b)=2，无解；当 =3 时，R(A)=R(B)=2，有无限多解。有无限多解时的通解为：西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A四、线性方程组的解四、线性方程组的解3结论与应用结论与应用结论1 线性方程组 AX=b有解 R(A)=R(A,b)；结论2 n元齐次线性方程组 AX=0 有非零解 R(A)=n；结论3 AX=B有解 R(A)=R(A,B)；结论4 设 AB=C，则 R(C)minR(A),R(B);结论5 AmnXns=0 只有零解 R(A)=n。西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A四、线性方程组的解四、线性方程组的解例例14 设(1)a,b为何值时，矩阵方程 AX=B无解；(2)a,b为何值时，AX=B有解，并求出全部解。【分析分析】若设 X=(X1,X2)，B=(1,2)，则矩阵方程 AX=B AX1=1，AX2=2。从而矩阵方程 AX=B是否有解等价于 AX1=1与AX2=2 是否有解。西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A四、线性方程组的解四、线性方程组的解【解解】(1)当 a=3，b1时，AX=B 无解；(2)当 a3时，AX=B有唯一解，X=(X1，X2)，其中(3)当 a=3,b=1时，AX=B的通解为：西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组作业：作业：P79：1(1)(4)；3(1)；5；9(1)(3)；P80：11；12(2)(3)；13(1)(4)；15；P81：17；18。西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组