第8章-多元函数微分学及其应用-高等数学教学ppt课件.ppt

1 多元函数的基本概念多元函数的基本概念 2 偏导数偏导数 3 全微分 4 复合函数与隐函数的求导法 5 多元函数微分学的几何应用 6 方向导数与梯度方向导数与梯度 7 多元函数的极值 1 多元函数的基本概念一 平面点集、n 维空间 1.平面点集设 P(x0,y0)和 Q(x,y)是xOy平面上的任意两点，那么Q和P之间的距离为 称集合U(P,)=Q(x,y)|PQ|为点P的邻域.在xOy平面上,U(P,)的几何意义:以点P为圆心、为半径的圆内所有点所构成的集合.集合U(P,)P称为点P的去心邻域,记作 设E为平面上的点集，P为平面上一点.若存在点P的某个邻域U(P)使得U(P)E，则称点P为E的内点.如果E中每一点都是它的内点,则称E为开集.如果点P的任意邻域中既有属于E又有不属于E的点，则称点P为E的边界点.E的边界点的全体称为E的边界.注 E的边界点可属于E，也可不属于E.例:设点集E=(x,y)|1 x 2+y2 4,则E中满足 1 x 2+y2 0,邻域U(P,r)都含有E的无限多个点，则称点P为E的聚点.注:点集E的聚点可属于E,也可不属于E.如果E的所有聚点都属于E,则称E为闭集.如果点集E内的任何两点都可用E内的折线连结起来，则称E是连通集.连通的开集称为区域或开区域.开区域连同它的边界所组成的点集称为闭区域.闭区域是一个闭集.对于平面点集 E，如果存在某正数 k，使得 O 是坐标原点，则称 E是有界集;否则称为无界集.2.n 维空间 设n为取定的自然数，n元有序数组的全体 称为n维空间.称为n维空间Rn中的一个点，xi称为该点的第i个坐标.Rn中两点 注:平面中的概念均可推广到n维空间Rn上去.二 多元函数的定义 多元函数反映的是一个变量与多个变量的依赖关系.例1 由电学定律知,电流所作的功W与电流强度I的平方成正比,与电流通过的时间t成正比,其关系可表示为：W=RI2t,其中R为常量,为电路上的电阻.例2 在空间解析几何中,方程 旋转抛物面.对于平面xOy上的任何一点(x,y),对应着唯一的实数 z,使得点P(x,y,z)位于该旋转抛物面上.定义1 设D为平面上的一个非空点集.如果对于D中每一点P(x,y)，按照法则f,总有唯一确定的实数 z与之对应,则称 f 是D上的二元函数,记为 z=f(x,y)，(x,y)D.或z=f(P)，PD.点集D称为函数的定义域,x、y称为自变量，z称为因变量；D中每一点(x,y)对应的实数z称为f在点(x,y)的函数值;数集称为该函数的值域;点集称为二元函数的图形.例:函数 z=x+y的定义域是 xOy面,值域是 R,图形是一张平面;函数 z=x 2+y2的定义域是xOy面,值域是z 0:zR,图形是旋转抛物面.关于二元函数的定义域,约定:如果该函数采用解析式表示,而没明确指出定义域,则该函数的定义域理解为使这个解析式有意义的那些点所组成的点集,这种点集也称为该函数的自然定义域.例3 求 的定义域.解 使解析式ln(x+y)有意义的点集是 使解析式 有意义的点集是 故f(x,y)的定义域为 定义2 设D是n维空间Rn的非空子集.若对于D中每一点 P(x1,x2,xn),按照某一法则f总有唯一确定的实数y与之对应,则称f是定义在D上的n元函数.记作 y=f(x1,x2,.,xn),(x1,x2,.,xn)D，或 y=f(P),P D.点集D中的点P(x1,x2,.,xn)唯一确定的数y称为 f 在点P的函数值.点集D称为函数的定义域,xi称为自变量，i=1,2,n,而z称为因变量.三 多元函数的极限与连续 1.多元函数的极限设E为平面xOy上的点集,P0(x0,y0)是E的聚点.E上的动点P(x,y)趋于P0(x0,y0),记作P(x,y)P0(x0,y0),或(x,y)趋于(x0,y0),记作P(x,y)P0(x0,y0),是指注:考虑的是 P与 P0的距离趋于0,因此点P可以任何方式趋于点P0.定义3 设二元函数z=f(x,y)的定义域为D,P0(x0,y0)是D的聚点.如果对任意给定的正数,总存在正数,使得对任意点 时,总有|f(x,y)-A|成立,则称常数A为函数z=f(x,y)当(x,y)(x0,y0)时的极限,记作 或 二元函数的极限又叫做二重极限.例4解 点P0=(0,0)是该函数定义域D=(x,y)|x2+y2 0的聚点.例5 求下列各极限.解（1)作变换u=xy,那么当(x,y)(1,0)时u 0,从而 注 在二重极限中,点(x,y)趋于(x0,y0)的方式具有任意性,因此,判断f(x,y)的极限的存在性要顾及自变量的所有可能的趋近方式.但是要否认极限的存在却简单些,只要找出趋于(x0,y0)的一个点列(xn,yn),使得数列f(xn,yn)没极限,或找出(x,y)趋于(x0,y0)两种方式,使得 f(x,y)关于这两种不同方式具有不同的极限值即可.例6 设函数 证明:当证明 当点P(x,y)沿x轴趋于点(0,0)时,y=0,从而 当点P(x,y)沿y轴趋于点(0,0)时,y=0,从而 此极限值与数k有关,当k的值不同时,极限值也不同.定义3 设n元函数w=f(P)的定义域为D,是 D的聚点.若对任意正数,总存在正数,使得当 时,总有|f(P)-A|2)、条 件多于一个的情形.作拉格朗日函数 在各偏导连续的条件下，该条件极值的极值点必满足方程组:以及 例4 求函数z=xy在条件 解 作拉格朗日函数解方程组得 代入z=xy中,例5 某企业生产一种产品W单位时需用A、B 两种原料分别为x、y单位,满足关系W(x,y)=0.005 x2y.现计划投入150万人民币以购买这两种原料.已知A种原料的单价为1万元,B种原料的单价为2万元.问:应如何购买这两种原料才能使生产的产量最高?解 根据题意，问题归结为求函数 W(x,y)=0.005 x2y 在约束条件x+2y=150下的最大值.作拉格朗日函数 L(x,y,l)=0.005 x2y+l(x+2y-150).求L的一阶偏导数,并令它们分别等于零,得Lx(x,y,l)=0.01 xy+l=0,Ly(x,y,l)=0.005 x2+2l=0,Ll(x,y,l)=x+2y-150=0.解得 x=100,y=25,(l=-25).只有唯一驻点(100,25),且实际问题的最大值存在,驻点(100,25)也是W(x,y)的最大值点,而最大值为W(100,25)=1250(单位),即当购买A种原料100单位,B种原料25单位时,可使生产的产量最高.