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第第05章函数章函数第1页，本讲稿共42页5.1 函数基本概念函数基本概念函数也常称为映射或变换，其定义如下：函数也常称为映射或变换，其定义如下：函数也常称为映射或变换，其定义如下：函数也常称为映射或变换，其定义如下：定定定定义义义义5.1.15.1.1 设设设设A A和和和和B B是是是是任任任任意意意意两两两两个个个个集集集集合合合合，且且且且F F是是是是从从从从A A到到到到B B的的的的关关关关系系系系，若若若若对对对对每每每每一一一一个个个个x x A A，都都都都存存存存在在在在唯唯唯唯一一一一的的的的y y B B，使使使使 F F，则则则则称称称称F F为为为为从从从从A A到到到到B B的的的的函函函函数数数数，并并并并 记记记记 作作作作 F F:A AB B。A A称称称称 为为为为 函函函函 数数数数 F F的的的的 定定定定 义义义义 域域域域，即即即即D D(F F)=)=A A，B B称称称称为为为为函函函函数数数数F F的的的的陪陪陪陪域域域域，R R(F F)称称称称为为为为函函函函数数数数F F的的的的值值值值域域域域，且且且且R R(F F)B B。有有有有时时时时也也也也用用用用F F(A A)表表表表示示示示函函函函数数数数F F的值域，即的值域，即的值域，即的值域，即第2页，本讲稿共42页F F(A A)=)=R R(F F)=)=y y|y y B B (x x)()(x x A A y y=F F(x x)并称并称并称并称F F(A A)为函数为函数为函数为函数F F的像。的像。的像。的像。对于对于对于对于F F:A AB B来说，若来说，若来说，若来说，若 F F，则称，则称，则称，则称x x为为为为函数的自变元，称函数的自变元，称函数的自变元，称函数的自变元，称y y为函数因变元，因为为函数因变元，因为为函数因变元，因为为函数因变元，因为y y值依值依值依值依赖于赖于赖于赖于x x所取的值，或称所取的值，或称所取的值，或称所取的值，或称y y是是是是F F在在在在x x处的值，或称处的值，或称处的值，或称处的值，或称y y为为为为F F下下下下x x的像。通常把的像。通常把的像。通常把的像。通常把 F F记作记作记作记作F F(x x)=)=y y。第3页，本讲稿共42页从本定义可以看出，从从本定义可以看出，从从本定义可以看出，从从本定义可以看出，从A A到到到到B B的函数的函数的函数的函数F F和一和一和一和一般从般从般从般从A A到到到到B B的二元关系之不同有以下两点：的二元关系之不同有以下两点：的二元关系之不同有以下两点：的二元关系之不同有以下两点：A A的每一元素都必须是的每一元素都必须是的每一元素都必须是的每一元素都必须是F F的有序对之第的有序对之第的有序对之第的有序对之第一分量。一分量。一分量。一分量。若若若若F F(x x)=)=y y，则函数，则函数，则函数，则函数F F在在在在x x处的值是唯一的，处的值是唯一的，处的值是唯一的，处的值是唯一的，即即即即F F(x x)=)=y y F F(x x)=)=z zy y=z z考虑到习惯用法，以下常常将大写函数符考虑到习惯用法，以下常常将大写函数符考虑到习惯用法，以下常常将大写函数符考虑到习惯用法，以下常常将大写函数符号号号号F F改为小写字母改为小写字母改为小写字母改为小写字母f f。第4页，本讲稿共42页定定定定义义义义5.1.25.1.2 设设设设f f:A AB B，g g:C CD D，若若若若A A=C C，B B=D D，且且且且对对对对每每每每一一一一x x A A都都都都有有有有f f(x x)=)=g g(x x)，则则则则称称称称函函函函数数数数f f和和和和g g相等，记为相等，记为相等，记为相等，记为f f=g g。本本本本定定定定义义义义表表表表明明明明了了了了，两两两两函函函函数数数数相相相相等等等等，它它它它们们们们必必必必须须须须有有有有相同的定义域、陪域和有序对集合。相同的定义域、陪域和有序对集合。相同的定义域、陪域和有序对集合。相同的定义域、陪域和有序对集合。有有有有时时时时需需需需要要要要缩缩缩缩小小小小所所所所给给给给函函函函数数数数的的的的定定定定义义义义域域域域，或或或或扩扩扩扩大大大大所所所所给给给给函函函函数数数数的的的的定定定定义义义义域域域域以以以以创创创创建建建建新新新新的的的的函函函函数数数数，为为为为此此此此有有有有下下下下面定义。面定义。面定义。面定义。第5页，本讲稿共42页定义定义定义定义5.1.35.1.3 设设设设f f:A AB B，且，且，且，且C C A A，若有，若有，若有，若有g g=f f(C C B B)则则则则称称称称g g是是是是f f到到到到C C的的的的缩缩缩缩小小小小，记记记记为为为为f f|c c，即即即即g g为为为为C C到到到到B B的函数：的函数：的函数：的函数：g g:C CB Bg g(x x)=)=f f(x x)或或或或 f f|c c(x x)=)=f f(x x)定定定定义义义义5.1.45.1.4 设设设设f f:C CB B，g g:A AB B，且且且且C C A A，若若若若g g|c c=f f，则称，则称，则称，则称g g是是是是f f到到到到A A的扩大。的扩大。的扩大。的扩大。第6页，本讲稿共42页下下下下面面面面讨讨讨讨论论论论由由由由集集集集合合合合A A和和和和B B，构构构构成成成成这这这这样样样样函函函函数数数数f f:A AB B会会会会有有有有多多多多少少少少呢呢呢呢？或或或或者者者者说说说说，在在在在A A B B的的的的所所所所有有有有子子子子集集集集中中中中，是是是是全全全全部部部部还还还还是是是是部部部部分分分分子子子子集集集集可可可可以以以以定定定定义义义义函函函函数数数数？令令令令B BA A表示这些函数的集合，即表示这些函数的集合，即表示这些函数的集合，即表示这些函数的集合，即B BA A=f f|f f:A AB B 设设设设|A A|=|=mm，|B B|=|=n n，则则则则|B BA A|=|=n nmm。这这这这是是是是因因因因为为为为对对对对每每每每个个个个自自自自变变变变元元元元，它它它它的的的的函函函函数数数数值值值值都都都都有有有有n n种种种种取取取取法法法法，故故故故总总总总共共共共有有有有n nmm种从种从种从种从A A到到到到B B的函数。的函数。的函数。的函数。第7页，本讲稿共42页上上上上面面面面介介介介绍绍绍绍一一一一元元元元函函函函数数数数，下下下下面面面面给给给给出出出出多多多多元元元元函函函函数数数数的的的的定义。定义。定义。定义。定定定定 义义义义 5.1.55.1.5 设设设设 A A1 1,A A2 2,A An n和和和和 B B为为为为 集集集集 合合合合，若若若若 f f:A Ai iB B为为为为 函函函函 数数数数，则则则则 称称称称 f f 为为为为 n n元元元元 函函函函 数数数数。在在在在 上的值用上的值用上的值用上的值用f f(x x1 1,x x2 2,x xn n)表示。表示。表示。表示。一一一一元元元元函函函函数数数数中中中中概概概概念念念念对对对对n n元元元元函函函函数数数数几几几几乎乎乎乎完完完完全全全全适适适适用用用用，在这里不多讨论了。在这里不多讨论了。在这里不多讨论了。在这里不多讨论了。第8页，本讲稿共42页5.2 函数类型函数类型根根根根据据据据函函函函数数数数具具具具有有有有的的的的不不不不同同同同性性性性质质质质，可可可可以以以以将将将将函函函函数数数数分分分分成成成成不不不不同同同同的的的的类类类类型型型型。本本本本节节节节将将将将定定定定义义义义这这这这些些些些函函函函数数数数，并并并并给给给给出出出出相应的术语。相应的术语。相应的术语。相应的术语。第9页，本讲稿共42页定义定义定义定义5.2.15.2.1 设设设设f f:A AB B是函数，若是函数，若是函数，若是函数，若R R(f f)=)=B B，或，或，或，或对任意对任意对任意对任意b b B B，存在，存在，存在，存在a a A A，使得，使得，使得，使得f f(a a)=)=b b，或形式，或形式，或形式，或形式表为：表为：表为：表为：(y y)()(y y B B(x x)()(x x A A f f(x x)=)=y y)则称则称则称则称f f:A AB B是满射函数，或称函数是满射函数，或称函数是满射函数，或称函数是满射函数，或称函数f f:A AB B是满射的。是满射的。是满射的。是满射的。本定义表明了，在函数本定义表明了，在函数本定义表明了，在函数本定义表明了，在函数f f的作用下，的作用下，的作用下，的作用下，B B中每中每中每中每个元素个元素个元素个元素b b，都至少是，都至少是，都至少是，都至少是A A中某元素中某元素中某元素中某元素a a的像，因此，若的像，因此，若的像，因此，若的像，因此，若A A和和和和B B是有穷集合，存在满射函数是有穷集合，存在满射函数是有穷集合，存在满射函数是有穷集合，存在满射函数f f:A AB B，则，则，则，则|A A|B B|。第10页，本讲稿共42页定义定义定义定义5.2.25.2.2 设设设设f f:A AB B是函数，对任意的是函数，对任意的是函数，对任意的是函数，对任意的a a，b b A A，且，且，且，且a a b b，都有，都有，都有，都有f f(a a)f f(b b)，或形式表为，或形式表为，或形式表为，或形式表为(x x)()(y y)()(x x,y y A A x x y yf f(x x)f f(y y)则称则称则称则称f f:A AB B是单射函数（或一对一函数），是单射函数（或一对一函数），是单射函数（或一对一函数），是单射函数（或一对一函数），或称函数或称函数或称函数或称函数f f:A AB B是单射的，或入射的。是单射的，或入射的。是单射的，或入射的。是单射的，或入射的。本定义揭示了，本定义揭示了，本定义揭示了，本定义揭示了，A A中不同的元素，其在中不同的元素，其在中不同的元素，其在中不同的元素，其在B B中中中中像也是不同的。于是，若像也是不同的。于是，若像也是不同的。于是，若像也是不同的。于是，若A A的的的的B B是有穷集合，存是有穷集合，存是有穷集合，存是有穷集合，存在单射函数在单射函数在单射函数在单射函数f f:A AB B，则，则，则，则|A A|B B|。第11页，本讲稿共42页定义定义定义定义5.2.35.2.3 设设设设f f:A AB B是函数，若是函数，若是函数，若是函数，若f f既是满射既是满射既是满射既是满射又是单射，则称又是单射，则称又是单射，则称又是单射，则称f f:A AB B是双射函数（或一一对是双射函数（或一一对是双射函数（或一一对是双射函数（或一一对应），或称函数应），或称函数应），或称函数应），或称函数f f:A AB B是双射的。是双射的。是双射的。是双射的。该定义说明了，该定义说明了，该定义说明了，该定义说明了，B B中的每个元素中的每个元素中的每个元素中的每个元素b b是且仅是是且仅是是且仅是是且仅是A A中某个元素中某个元素中某个元素中某个元素a a的像。因此，若的像。因此，若的像。因此，若的像。因此，若A A和和和和B B是有穷集合，是有穷集合，是有穷集合，是有穷集合，存在双射函数存在双射函数存在双射函数存在双射函数f f:A AB B，则，则，则，则|A A|=|=|B B|。第12页，本讲稿共42页定定定定义义义义5.2.45.2.4 设设设设f f:A AB B是是是是函函函函数数数数，若若若若存存存存在在在在b b B B，使使使使 对对对对 任任任任 意意意意 a a A A有有有有 f f(a a)=)=b b，即即即即 f f(A A)=)=b b ，则则则则 称称称称f f:A AB B为常值函数。为常值函数。为常值函数。为常值函数。第13页，本讲稿共42页定义定义定义定义5.2.55.2.5 设设设设f f:A AA A是函数，若对任意是函数，若对任意是函数，若对任意是函数，若对任意a a A A，有，有，有，有f f(a a)=)=a a，亦即，亦即，亦即，亦即f f=|x x A A 则称则称则称则称f f:A AA A为为为为A A上恒等函数，通常记为上恒等函数，通常记为上恒等函数，通常记为上恒等函数，通常记为I IA A，因为恒等关系即是恒等函数。因为恒等关系即是恒等函数。因为恒等关系即是恒等函数。因为恒等关系即是恒等函数。由定义可知，由定义可知，由定义可知，由定义可知，A A上恒等函数上恒等函数上恒等函数上恒等函数I IA A是双射函数。是双射函数。是双射函数。是双射函数。第14页，本讲稿共42页定定定定义义义义5.2.65.2.6 设设设设A A和和和和B B为为为为集集集集合合合合，且且且且A A B B，若若若若函函函函数数数数 A A:B B 0,10,1为为为为 1 1 x x A A x xA A(x x)=)=0 0 否则否则否则否则则称则称则称则称x xA A为集合为集合为集合为集合A A的特征函数。的特征函数。的特征函数。的特征函数。第15页，本讲稿共42页特特特特征征征征函函函函数数数数建建建建立立立立了了了了函函函函数数数数与与与与集集集集合合合合的的的的一一一一一一一一对对对对应应应应关关关关系系系系。于于于于是是是是，可可可可通通通通过过过过特特特特征征征征函函函函数数数数的的的的计计计计算算算算来来来来研研研研究究究究集集集集合合合合上的命题。上的命题。上的命题。上的命题。定定定定理理理理5.2.1 5.2.1 设设设设A A和和和和B B是是是是全全全全集集集集合合合合U U的的的的任任任任意意意意两两两两个个个个子子子子集。对任意集。对任意集。对任意集。对任意x x U U，则下列关系式成立。，则下列关系式成立。，则下列关系式成立。，则下列关系式成立。A A(x x)=0)=0A A=A A(x x)=1)=1A A=U U第16页，本讲稿共42页 A A(x x)B B(x x)A A B B A A(x x)=)=B B(x x)A A=B B AA(x x)=1-)=1-A A(x x)A A B B(x x)=)=x xA A(x x)*)*x xB B(x x)A AB B(x x)=)=A A(x x)+)+B B(x x)-)-A A B B(x x)A A-B B(x x)=)=A A B B(x x)=)=A A(x x)-)-A A B B(x x)其中其中其中其中+，-，*，为通常的算术运算，为通常的算术运算，为通常的算术运算，为通常的算术运算+，-，和，和，和，和 。第17页，本讲稿共42页定定定定义义义义5.2.75.2.7 设设设设,和和和和,为为为为全全全全序序序序集集集集，函函函函数数数数f f:A AB B。对于任意。对于任意。对于任意。对于任意a a,b b A A.若若若若a a b b，有有有有f f(a a)f f(b b)，则则则则称称称称f f为为为为单单单单调调调调递递递递增增增增函数。函数。函数。函数。若若若若a a b b，有有有有f f(a a)f f(b b)，则则则则称称称称f f为为为为单单单单调调调调递递递递减减减减函数。函数。函数。函数。第18页，本讲稿共42页 若若若若a a b b，且，且，且，且a a b b，有，有，有，有f f(a a)f f(b b)，则称，则称，则称，则称f f为为为为严格单调递减函数。严格单调递减函数。严格单调递减函数。严格单调递减函数。显然，严格单调递增函数是单调递增函数，显然，严格单调递增函数是单调递增函数，显然，严格单调递增函数是单调递增函数，显然，严格单调递增函数是单调递增函数，严格单调递减函数是单调递减函数。严格单调递减函数是单调递减函数。严格单调递减函数是单调递减函数。严格单调递减函数是单调递减函数。第19页，本讲稿共42页定定定定义义义义5.2.85.2.8 设设设设R R是是是是非非非非空空空空集集集集合合合合A A上上上上的的的的等等等等价价价价关关关关系系系系，且且且且函函函函数数数数f f:A AA A/R R，f f(a a)=)=a a R R，a a A A，则则则则称称称称f f是是是是从从从从A A到商集到商集到商集到商集A A/R R的自然映射。的自然映射。的自然映射。的自然映射。自然映射在代数结构中有重要的应用。自然映射在代数结构中有重要的应用。自然映射在代数结构中有重要的应用。自然映射在代数结构中有重要的应用。定定定定义义义义5.2.95.2.9 设设设设p p:A AA A为为为为函函函函数数数数，若若若若p p是是是是双双双双射射射射，则称则称则称则称p p为为为为A A上的置换。上的置换。上的置换。上的置换。置置置置换换换换在在在在群群群群论论论论中中中中作作作作为为为为一一一一节节节节进进进进行行行行讨讨讨讨论论论论，有有有有着着着着重重重重要的应用。要的应用。要的应用。要的应用。第20页，本讲稿共42页5.3 函数运算函数运算函函函函数数数数是是是是一一一一种种种种特特特特殊殊殊殊关关关关系系系系，对对对对关关关关系系系系可可可可以以以以进进进进行行行行运运运运算算算算，自自自自然然然然对对对对函函函函数数数数也也也也需需需需要要要要讨讨讨讨论论论论运运运运算算算算问问问问题题题题，即即即即如如如如何何何何由已知函数得到新的函数。由已知函数得到新的函数。由已知函数得到新的函数。由已知函数得到新的函数。第21页，本讲稿共42页1函数复合利用两个具有一定性质的已知函数通过复利用两个具有一定性质的已知函数通过复利用两个具有一定性质的已知函数通过复利用两个具有一定性质的已知函数通过复合运算可以得到新的函数。合运算可以得到新的函数。合运算可以得到新的函数。合运算可以得到新的函数。定理定理定理定理5.3.15.3.1 设设设设f f:A AB B和和和和g g:B BC C是函数，通过是函数，通过是函数，通过是函数，通过复合运算复合运算复合运算复合运算o o，可以得到新的从，可以得到新的从，可以得到新的从，可以得到新的从A A到到到到C C的函数，记为的函数，记为的函数，记为的函数，记为gofgof，即对任意，即对任意，即对任意，即对任意a a A A，有，有，有，有(gofgof)()(x x)=)=g g(f f(x x)。第22页，本讲稿共42页注注注注意意意意，函函函函数数数数是是是是一一一一种种种种关关关关系系系系，今今今今用用用用斜斜斜斜体体体体“o o”表表表表示示示示函函函函数数数数复复复复合合合合运运运运算算算算，记记记记为为为为gofgof，这这这这是是是是“左左左左复复复复合合合合”，它它它它与与与与关关关关系系系系的的的的“右右右右复复复复合合合合”f fo og g次次次次序序序序正正正正好好好好相相相相反反反反，为为为为区区区区分分分分它它它它们们们们在在在在同同同同一一一一公公公公式式式式中中中中的的的的出出出出现现现现，用用用用粗粗粗粗体体体体符符符符号号号号表表表表示示示示关系复合关系复合关系复合关系复合f fo og g，故有，故有，故有，故有gofgof=f fo og g。第23页，本讲稿共42页推论推论推论推论1 1 若若若若f f,g g,h h都是函数，则都是函数，则都是函数，则都是函数，则(f fo og g)ohoh=fofo(gohgoh)。本推论表明，函数复合运算是可结合的。本推论表明，函数复合运算是可结合的。本推论表明，函数复合运算是可结合的。本推论表明，函数复合运算是可结合的。若若若若对对对对于于于于集集集集合合合合A A，f f:A AA A，则则则则函函函函数数数数f f能能能能同同同同自自自自身身身身复合成任意次。复合成任意次。复合成任意次。复合成任意次。f f的的的的n n次复合定义为：次复合定义为：次复合定义为：次复合定义为：f f 0 0(x x)=)=x x f f n n+1+1(x x)=)=f f(f fn n(x x)，n n N N。第24页，本讲稿共42页定理定理定理定理5.3.25.3.2 设设设设f f:A AB B，g g:B BC C 若若若若f f:A AB B，g g:B BC C都是满射，则都是满射，则都是满射，则都是满射，则gofgof:A AC C也是满射。也是满射。也是满射。也是满射。若若若若f f:A AB B，g g:B BC C都是单射，则都是单射，则都是单射，则都是单射，则gofgof:A AC C也是单射。也是单射。也是单射。也是单射。若若若若f f:A AB B，g g:B BC C都是双射，则都是双射，则都是双射，则都是双射，则gofgof:A AC C也是双射。也是双射。也是双射。也是双射。第25页，本讲稿共42页定理定理定理定理5.3.35.3.3 若若若若f f:A AB B是函数，则是函数，则是函数，则是函数，则f f=foIfoIA A=I IB Bofof。本本本本定定定定理理理理揭揭揭揭示示示示了了了了，恒恒恒恒等等等等函函函函数数数数在在在在复复复复合合合合函函函函数数数数运运运运算算算算中中中中的的的的特特特特殊殊殊殊性性性性质质质质，特特特特别别别别地地地地，对对对对于于于于f f:A AA A，有有有有foIfoIA A=I IA Aofof=f f。第26页，本讲稿共42页2函数逆运算给给给给定定定定关关关关系系系系R R，其其其其逆逆逆逆关关关关系系系系是是是是存存存存在在在在，但但但但对对对对已已已已知知知知一一一一函函函函数数数数，它它它它作作作作为为为为关关关关系系系系其其其其逆逆逆逆是是是是存存存存在在在在，但但但但未未未未必必必必是是是是函函函函数数数数。例例例例如如如如，A A=a a,b b,c c ，B B=1,2,3=1,2,3，f f=,3是是是是函函函函数数数数，而而而而f f-1 1=1,=,却却却却不不不不是是是是从从从从B B到到到到A A的的的的函函函函数数数数。但若但若但若但若f f:A AB B是双射，则是双射，则是双射，则是双射，则f f-1-1便是从便是从便是从便是从B B到到到到A A的函数。的函数。的函数。的函数。定定定定理理理理5.3.45.3.4 若若若若f f:A AB B是是是是双双双双射射射射，则则则则f f-1-1:B BA A也也也也是双射。是双射。是双射。是双射。第27页，本讲稿共42页定定定定 义义义义 5.3.15.3.1 设设设设 f f:A AB B是是是是 双双双双 射射射射 函函函函 数数数数，称称称称 f f-1-1:B BA A是是是是f f的的的的逆逆逆逆函函函函数数数数，习习习习惯惯惯惯上上上上常常常常称称称称f f-1-1为为为为f f的的的的反反反反函函函函数。数。数。数。定定定定 理理理理 5.3.55.3.5 设设设设 f f:A AB B是是是是 双双双双 射射射射 函函函函 数数数数，则则则则 f f-1-1ofof=I IA A，foffof-1-1=I IB B定理定理定理定理5.3.65.3.6 若若若若f f:A AB B是双射，则是双射，则是双射，则是双射，则(f f-1-1)-1-1=f f。第28页，本讲稿共42页5.4 基基 数数1基数定义首首首首先先先先选选选选取取取取一一一一个个个个“标标标标准准准准集集集集合合合合”N Nn n=0,1,2,=0,1,2,n n-11，称称称称它它它它为为为为N N的的的的 截截截截段段段段n n；再再再再用用用用双双双双射射射射函函函函数数数数为为为为工工工工具具具具，给出集合基数的定义如下：给出集合基数的定义如下：给出集合基数的定义如下：给出集合基数的定义如下：第29页，本讲稿共42页定义定义定义定义5.4.15.4.1 设设设设A A是集合，若是集合，若是集合，若是集合，若f f:N Nn nA A为双射函为双射函为双射函为双射函数，则称集合数，则称集合数，则称集合数，则称集合A A是有限的，是有限的，是有限的，是有限的，A A的基数是的基数是的基数是的基数是n n，记为，记为，记为，记为|A A|=|=n n，或，或，或，或card card A A=n n。若集合。若集合。若集合。若集合A A不是有限的，则不是有限的，则不是有限的，则不是有限的，则称称称称A A是无穷的。是无穷的。是无穷的。是无穷的。本定义表明了，对于有限集合本定义表明了，对于有限集合本定义表明了，对于有限集合本定义表明了，对于有限集合A A，可以用，可以用，可以用，可以用“数数数数”数的方式来确定集合数的方式来确定集合数的方式来确定集合数的方式来确定集合A A的基数。的基数。的基数。的基数。定理定理定理定理5.4.15.4.1 自然数集合自然数集合自然数集合自然数集合N N是无穷的。是无穷的。是无穷的。是无穷的。为为为为了了了了确确确确定定定定某某某某些些些些无无无无穷穷穷穷集集集集合合合合的的的的基基基基数数数数，选选选选取取取取第第第第二二二二个个个个“标准集合标准集合标准集合标准集合”N N来度量这些集合。来度量这些集合。来度量这些集合。来度量这些集合。第30页，本讲稿共42页定定定定义义义义5.4.25.4.2 设设设设A A是是是是集集集集合合合合，若若若若f f:N NA A为为为为双双双双射射射射函函函函数，则称数，则称数，则称数，则称A A的基数是的基数是的基数是的基数是0 0，记为，记为，记为，记为|A A|=|=0 0。显显显显然然然然，存存存存在在在在从从从从N N到到到到N N的的的的双双双双射射射射函函函函数数数数，故故故故|N N|=|=0 0，0 0读作读作读作读作“阿列夫零阿列夫零阿列夫零阿列夫零”。符号。符号。符号。符号0 0是康托引入的。是康托引入的。是康托引入的。是康托引入的。若若若若f f:N Nn nA A是是是是双双双双射射射射函函函函数数数数，则则则则示示示示意意意意A A的的的的元元元元素素素素是是是是可可可可“数数数数”的的的的，但但但但“数数数数”的的的的过过过过程程程程可可可可能能能能不不不不会会会会终终终终止止止止，这导致了如下定义：这导致了如下定义：这导致了如下定义：这导致了如下定义：第31页，本讲稿共42页定义定义定义定义5.4.35.4.3 设设设设A A是集合，若是集合，若是集合，若是集合，若f f:N Nn nA A是双射函是双射函是双射函是双射函数，则称集合数，则称集合数，则称集合数，则称集合A A是可数的；若是可数的；若是可数的；若是可数的；若|A A|=|=0 0，则称，则称，则称，则称A A是是是是可数无穷的；若可数无穷的；若可数无穷的；若可数无穷的；若A A是不可数的，则称是不可数的，则称是不可数的，则称是不可数的，则称A A是不可数是不可数是不可数是不可数的或不可数无穷的。的或不可数无穷的。的或不可数无穷的。的或不可数无穷的。可以证明下面一个很有用的定理：可以证明下面一个很有用的定理：可以证明下面一个很有用的定理：可以证明下面一个很有用的定理：第32页，本讲稿共42页定理定理定理定理5.4.25.4.2 若集合若集合若集合若集合A A1 1,A A2 2,A A3 3,都是可数的，都是可数的，都是可数的，都是可数的，则则则则 A Ai i 是可数的。是可数的。是可数的。是可数的。本定理表明了，可数集合的可数个并是可本定理表明了，可数集合的可数个并是可本定理表明了，可数集合的可数个并是可本定理表明了，可数集合的可数个并是可数的。其证明略去了。数的。其证明略去了。数的。其证明略去了。数的。其证明略去了。在上述基数定义中，是使用两个在上述基数定义中，是使用两个在上述基数定义中，是使用两个在上述基数定义中，是使用两个“标准集标准集标准集标准集合合合合”N Nn n和和和和N N以及双射函数（或一一对应），引入以及双射函数（或一一对应），引入以及双射函数（或一一对应），引入以及双射函数（或一一对应），引入了集合基数的概念。这种方式可以把基数简单了集合基数的概念。这种方式可以把基数简单了集合基数的概念。这种方式可以把基数简单了集合基数的概念。这种方式可以把基数简单地看作对集合指派一个符号，指派原则是：与地看作对集合指派一个符号，指派原则是：与地看作对集合指派一个符号，指派原则是：与地看作对集合指派一个符号，指派原则是：与N Nn n构成双射或一一对应的集合，指派它的基数构成双射或一一对应的集合，指派它的基数构成双射或一一对应的集合，指派它的基数构成双射或一一对应的集合，指派它的基数是是是是n n，与，与，与，与N N构成双射或一一对应的集合，指派它构成双射或一一对应的集合，指派它构成双射或一一对应的集合，指派它构成双射或一一对应的集合，指派它的基数为的基数为的基数为的基数为0 0。指派空集的基数为。指派空集的基数为。指派空集的基数为。指派空集的基数为0 0。第33页，本讲稿共42页2基数比较在在在在有有有有了了了了集集集集合合合合基基基基数数数数的的的的基基基基础础础础上上上上，可可可可以以以以建建建建立立立立相相相相等等等等关关关关系系系系和和和和次次次次序序序序关关关关系系系系，进进进进行行行行基基基基数数数数比比比比较较较较和和和和基基基基数数数数运运运运算算算算，这里仅讨论前者。这里仅讨论前者。这里仅讨论前者。这里仅讨论前者。定义定义定义定义5.4.45.4.4 设设设设A A和和和和B B为任意集合。为任意集合。为任意集合。为任意集合。若有一个从若有一个从若有一个从若有一个从A A到到到到B B的双射函数，则称的双射函数，则称的双射函数，则称的双射函数，则称A A和和和和B B有相同基数（或称有相同基数（或称有相同基数（或称有相同基数（或称A A与与与与B B是等势），记为是等势），记为是等势），记为是等势），记为|A A|=|=|B B|（或（或（或（或A A B B）。）。）。）。第34页，本讲稿共42页若有一个从若有一个从若有一个从若有一个从A A到到到到B B的单射函数，则称的单射函数，则称的单射函数，则称的单射函数，则称A A的的的的基数小于等于基数小于等于基数小于等于基数小于等于B B的基数，记为的基数，记为的基数，记为的基数，记为|A A|B B|。若有一个从若有一个从若有一个从若有一个从A A到到到到B B的单射函数，但不存在的单射函数，但不存在的单射函数，但不存在的单射函数，但不存在双射函数，则称双射函数，则称双射函数，则称双射函数，则称A A的基数小于的基数小于的基数小于的基数小于B B的基数，记为的基数，记为的基数，记为的基数，记为|A A|B B|。第35页，本讲稿共42页由于在复合运算下，双射函数是封闭的，由于在复合运算下，双射函数是封闭的，由于在复合运算下，双射函数是封闭的，由于在复合运算下，双射函数是封闭的，双射函数的逆函数（即常说反函数）是双射函双射函数的逆函数（即常说反函数）是双射函双射函数的逆函数（即常说反函数）是双射函双射函数的逆函数（即常说反函数）是双射函数，因此等势关系有以下性质：数，因此等势关系有以下性质：数，因此等势关系有以下性质：数，因此等势关系有以下性质：定理定理定理定理5.4.35.4.3 等势是任何集合族上的等价关系。等势是任何集合族上的等价关系。等势是任何集合族上的等价关系。等势是任何集合族上的等价关系。综上可见，等势关系是个等价关系。综上可见，等势关系是个等价关系。综上可见，等势关系是个等价关系。综上可见，等势关系是个等价关系。第36页，本讲稿共42页从上面定义及定理可知：从上面定义及定理可知：从上面定义及定理可知：从上面定义及定理可知：等等等等势势势势是是是是集集集集合合合合族族族族上上上上的的的的等等等等价价价价关关关关系系系系，它它它它把把把把集集集集合合合合族族族族划划划划分分分分成成成成等等等等价价价价类类类类，在在在在同同同同一一一一等等等等价价价价类类类类中中中中的的的的集集集集合合合合具具具具有有有有相相相相同同同同的的的的基基基基数数数数。因因因因此此此此可可可可以以以以说说说说：基基基基数数数数是是是是在在在在等等等等势势势势关关关关系系系系下下下下集集集集合合合合的的的的等等等等价价价价类类类类的的的的特特特特征征征征。或或或或者者者者说说说说：基基基基数数数数是是是是在在在在等等等等势势势势关关关关系系系系下下下下集集集集合合合合的的的的等等等等价价价价类类类类的的的的名名名名称称称称。这这这这实实实实际际际际上上上上就就就就是是是是基基基基 数数数数 的的的的 一一一一 种种种种 定定定定 义义义义。例例例例 如如如如，3 3是是是是 等等等等 价价价价 类类类类a a,b b,c c ,p p,q q,r r ,1,2,3,1,2,3,的的的的 名名名名 称称称称（或或或或特征）。特征）。特征）。特征）。0 0是自然数集合是自然数集合是自然数集合是自然数集合N N所属等价类的名称。所属等价类的名称。所属等价类的名称。所属等价类的名称。第37页，本讲稿共42页要证明一个集合要证明一个集合要证明一个集合要证明一个集合A A有基数有基数有基数有基数 ，只需选取基，只需选取基，只需选取基，只需选取基数为数为数为数为 的任意集合的任意集合的任意集合的任意集合B B，证明从，证明从，证明从，证明从A A到到到到B B或从或从或从或从B B到到到到A A存存存存在一个双射函数。选取集合在一个双射函数。选取集合在一个双射函数。选取集合在一个双射函数。选取集合B B的原则是使证明尽的原则是使证明尽的原则是使证明尽的原则是使证明尽可能容易。可能容易。可能容易。可能容易。上上上上述述述述定定定定义义义义中中中中选选选选用用用用符符符符号号号号 和和和和，是是是是因因因因为为为为它它它它们们们们具具具具有有有有这这这这些些些些符符符符号号号号的的的的通通通通常常常常性性性性质质质质。然然然然而而而而，要要要要证证证证明明明明这这这这些些些些性性性性质质质质是是是是冗冗冗冗长长长长和和和和复复复复杂杂杂杂的的的的。下下下下面面面面将将将将不不不不加加加加证证证证明明明明地地地地引引引引入入入入说说说说明明明明这这这这些些些些性性性性质质质质的的的的两两两两个个个个定定定定理理理理。第第第第一一一一个个个个定定定定理理理理称称称称为为为为三三三三歧歧歧歧性定律。第二定理表明：性定律。第二定理表明：性定律。第二定理表明：性定律。第二定理表明：是反对称的。是反对称的。是反对称的。是反对称的。第38页，本讲稿共42页定定定定理理理理5.4.45.4.4 （ZermeloZermelo）设设设设A A和和和和B B是是是是任任任任意意意意两两两两个个个个集合，则下述情况恰有一个成立：集合，则下述情况恰有一个成立：集合，则下述情况恰有一个成立：集合，则下述情况恰有一个成立：|A A|B B|B B|A A|A A|=|=|B B|第39页，本讲稿共42页定理定理定理定理5.4.55.4.5 （Cantor-Schroder-BernsteinCantor-Schroder-Bernstein）设设设设A A和和和和B B是任意两个集合，若是任意两个集合，若是任意两个集合，若是任意两个集合，若|A A|B B|和和和和|B B|A A|，则则则则|A A|=|=|B B|。本定理对证明两集合具有相同基数提供了本定理对证明两集合具有相同基数提供了本定理对证明两集合具有相同基数提供了本定理对证明两集合具有相同基数提供了有效的方法。若能够构造一单射函数有效的方法。若能够构造一单射函数有