离散型随机变量的数学期望优秀课件.ppt
离散型随机变量的数学期望第1页，本讲稿共44页 A,B两人赌技相同，各押赌注32个金币，规定先胜三局者为胜,赌博进行了一段时间，A赌徒已胜2局，B赌徒胜1局，发生意外，赌博中断。A赌徒B赌徒实力相当两人该如何分这两人该如何分这6464金币？金币？第2页，本讲稿共44页1、有12个西瓜，其中有4个重5kg，3个重6kg，5个重7kg，求西瓜的平均质量。解：西瓜的平均质量为解：西瓜的平均质量为1212个西瓜的总质量除以西瓜的总个数，即：个西瓜的总质量除以西瓜的总个数，即：二、互动探索 上式也可以写成：上式也可以写成：由上式可知，平均质量等于各个质量乘相应的比例再求和。由上式可知，平均质量等于各个质量乘相应的比例再求和。第3页，本讲稿共44页问题问题1 1：混合后，每：混合后，每1kg1kg糖的平均价格为多少？糖的平均价格为多少？问题问题2 2：若在混合糖果中任取一粒糖果，用随机变量：若在混合糖果中任取一粒糖果，用随机变量 X X表示这颗糖果的单价（元表示这颗糖果的单价（元/kg/kg），写出），写出X X的的 分布列。分布列。2、某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg的3种糖果按3：2：1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？362418PX问题问题3:3:作为顾客，买了作为顾客，买了1kg1kg糖果要付糖果要付2323元，而顾客元，而顾客 买的这买的这1kg1kg糖果的真实价格一定是糖果的真实价格一定是2323元吗？元吗？第4页，本讲稿共44页一、离散型随机变量取值的均值一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：则称为随机变量X的均值或数学期望。它反映了离散型随机变量取值的平均水平。第5页，本讲稿共44页X1234Pa1、随机变量X的概率分布为：求X的数学期望。2、A、B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出现的次品的概率如下表所示：次品数X0123P0.70.20.06 0.04A机床：次品数Y0123P0.80.06 0.04 0.1B机床：问：哪一台机床加工质量较好？第6页，本讲稿共44页 3、A,B两人赌技相同，各押赌注32个金币，规定先胜三局者为胜,赌博进行了一段时间，A赌徒已胜2局，B赌徒胜1局，发生意外，赌博中断。两人该如何分配这64个金币？第7页，本讲稿共44页问题3：离散型随机变量X的期望与X可能取值的算术平均数相同吗？期望的计算是从概率分布出发，因而它是概率意义下的平均值。随机变量X取每个值时概率不同导致了期望不同于初中所学的算术平均数。问题4：离散型随机变量X的期望与X可能取值的算术平均数何时相等？第8页，本讲稿共44页X123456 例1：随机抛掷一个骰子，求所得骰子的点数X的期望。第9页，本讲稿共44页变式：将所得点数的变式：将所得点数的2 2倍加倍加1 1作为得分数，即作为得分数，即Y=2X+1Y=2X+1，试求，试求Y Y的的 期望？期望？所以随机变量所以随机变量Y Y的均值为的均值为:=2EX+1 P13119753Y第10页，本讲稿共44页设YaXb，其中a，b为常数，则Y也是随机变量（1）Y的分布列是什么？（2）E(Y)=？思考：第11页，本讲稿共44页Y YaXaXb b第12页，本讲稿共44页一、离散型随机变量取值的均值二、随机变量数学期望的性质（线性性质）第13页，本讲稿共44页即时训练：1、随机变量X的分布列是X135P0.50.30.2(1)则E(X)=.2、随机变量的分布列是2.4(2)若Y=2X+1，则E(Y)=.5.847910P0.3ab0.2E（）=7.5,则a=b=.0.40.1第14页，本讲稿共44页例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次的得分X的均值是多少？一般地，如果随机变量X服从两点分布，X10Pp1p则则三、例题讲解两点分布的期望第15页，本讲稿共44页三、例题讲解变式变式1.1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1 1分，罚不中得分，罚不中得0 0分已知分已知某运动员罚球命中的概率为某运动员罚球命中的概率为0.70.7，则他，则他连续罚球连续罚球3 3次次的得分的得分X X的均值是多的均值是多少？少？X0123P分析：分析：X XB B（3 3，0.70.7）第16页，本讲稿共44页例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次的得分X的均值是多少？三、例题讲解变式2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为p，则他连续罚球n次的得分X的均值是多少？x01knpX X的分布列如下：的分布列如下：分析：分析：X XB B（n n，p p）则 .第17页，本讲稿共44页证明：所以若XB(n，p)，则EXnp 证明：若XB(n，p)，则EXnp 第18页，本讲稿共44页2；一般地，如果随机变量X服从二项分布，即XB（n,p），则E(X)=np结论：1；一般地，如果随机变量X服从 两点分布（1，p)，则E(X)p第19页，本讲稿共44页3，一个袋子里装有大小相同的3 个红球和2个黄球，从中有放回地取5次，则取到红球次数的数学期望是 .3即时训练：4，随机变量XB（8，p），已知X的均值E(X)=2，则P（x=3)=.第20页，本讲稿共44页例例2.一个袋子里装有大小相同的一个袋子里装有大小相同的3 个红球和个红球和2个黄球，从中摸个黄球，从中摸出出3个球个球.（1）求得到黄球个数）求得到黄球个数的分布列；的分布列；（2）求）求的期望。的期望。小结：一般地,如果随机变量X服从参数为N,M,n的超几何分布,则超几何分布的数学期望第21页，本讲稿共44页例3.假如你 是一位商场经理，在五一那天想举行促销活动，根据统计资料显示，若在商场内举行促销活动，可获利2万元；若在商场外举行促销活动，则要看天气情况:不下雨可获利10万元，下雨则要损失4万元。气象台预报五一那天有雨的概率是40%，你应选择哪种促销方式？解：设商场在商场外的促销活动中获得经济效益为X万元，则X的分布列为0.40.6410PXE X=100.6(4)0.4=4.4万元2万元,故应选择在商场外搞促销活动。第22页，本讲稿共44页例4：一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项.其中仅有一个选项正确，每题选对得5分.不选或选错不得分，满分100分.学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个.分别求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值.思路分析：设甲、乙选对题数分别为X1、X2，则甲、乙两人的成绩分别为Y1=5X1、Y2=5X2，问题转化为求:E(Y1)=E(5X1)=E(Y2)=E(5X2)=思考：X1、X2服从什么分布？5E(X1)5E(X2)第23页，本讲稿共44页解：设学生甲和学生乙在这次单元测验中选对的题数分别是X1和X2，则 X1B(20，0.9)，X2B(20，0.25)，EX1200.918，EX2200.255由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次测验中的成绩分别是5X1和5X2。所以，他们在测验中的成绩的期望分别是E(5X1)5EX151890，E(5X2)5EX25525第24页，本讲稿共44页试问哪个射手技术较好?谁的技术比较好?乙射手甲射手第25页，本讲稿共44页解故甲射手的技术比较好.第26页，本讲稿共44页反思：1、用定义求随机变量均值的一般步骤：1）找出随机变量的可能取值；反思：2、求随机变量均值的一般方法：1）利用定义求均值；2）求出分布列3）利用定义（公式）求均值。2）利用线性性质求均值。3）两点分布，二项分布直接用公式求均值。第27页，本讲稿共44页（广东卷17）（本小题满分13分）随机抽取某厂的某种产品随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品件，经质检，其中有一等品126件、二等品件、二等品50件、三等品件、三等品20件、次品件、次品4件已知生产件已知生产1件一、件一、二、三等品获得的利润分别为二、三等品获得的利润分别为6万元、万元、2万元、万元、1万元，而万元，而1件件次品亏损次品亏损2万元设万元设1件产品的利润（单位：万元）为件产品的利润（单位：万元）为X（1）求）求X的分布列；的分布列；（2）求）求1件产品的平均利润（即件产品的平均利润（即X的数学期望）；的数学期望）；（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为为1%，一等品率提高为，一等品率提高为70%如果此时要求如果此时要求1件产品的平件产品的平均利润不小于均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？万元，则三等品率最多是多少？高考链接：第28页，本讲稿共44页【解析】（1）X的所有可能取值有6，2，1，-2；，,故的分布列为：0.020.10.250.63P-2126X（2）（3）设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为依题意，即 ，解得 所以三等品率最多为3%第29页，本讲稿共44页应用概念步骤期望的概念期望为我们提供了实际问题决策的理论依据。求期望的三个步骤 方法求期望的三种方法第30页，本讲稿共44页随机变量的均值与样本平均值有何区别和联系？区别：随机变量的均值是一个常数，而样本平均值随着样本的不同而变化的，是一个随机变量。联系：随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体均值（随机变量的均值）。第31页，本讲稿共44页第32页，本讲稿共44页 (2010衡阳模拟衡阳模拟)一厂家向用户提供的一箱产品共一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有件，其中有n件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收抽检规则是这样的：一次取一件产品检查抽检规则是这样的：一次取一件产品检查(取出的产品不放取出的产品不放回箱子回箱子)，若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品；，若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品这箱产品(1)若这箱产品被用户接收的概率是若这箱产品被用户接收的概率是 ，求，求n的值；的值；(2)在在(1)的条件下，记抽检的产品次品件数为的条件下，记抽检的产品次品件数为X，求，求X的分布列和的分布列和数学期望数学期望作业：第33页，本讲稿共44页【解】【解】(1)设设“这箱产品被用户接收这箱产品被用户接收”为事件为事件A，n2.(2)X的可能取值为的可能取值为1,2,3.P(A)=P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=第34页，本讲稿共44页X的概率分布列为：的概率分布列为：X123P第35页，本讲稿共44页1(2010河南六市联考河南六市联考)甲、乙、丙、丁四人参加一家公司的招聘面试甲、乙、丙、丁四人参加一家公司的招聘面试公司规定面试合格者可签约甲、乙面试合格公司规定面试合格者可签约甲、乙面试合格 就签约；丙、丁面试都就签约；丙、丁面试都合格则一同签约，否则两人都不签合格则一同签约，否则两人都不签约设每人面试合格的概率都是约设每人面试合格的概率都是 ，且面试是否合格互不影响，且面试是否合格互不影响求：求：(1)至少有三人面试合格的概率；至少有三人面试合格的概率；(2)恰有两人签约的概率；恰有两人签约的概率；(3)签约人数的数学期望签约人数的数学期望第36页，本讲稿共44页解：解：(1)设设“至少有至少有3人面试合格人面试合格”为事件为事件A，则则P(A)(2)设设“恰有恰有2人签约人签约”为事件为事件B，“甲、乙两人签约，丙、丁两人都不签约甲、乙两人签约，丙、丁两人都不签约”为事件为事件B1；“甲、乙两人都不签约，丙、丁两人签约甲、乙两人都不签约，丙、丁两人签约”为事件为事件B2；则：则：BB1B2P(B)P(B1)P(B2)第37页，本讲稿共44页(3)设X为签约人数X的分布列如下：P(X=0)=P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=第38页，本讲稿共44页X01234P第39页，本讲稿共44页到站时刻概率实例6第40页，本讲稿共44页解第41页，本讲稿共44页第42页，本讲稿共44页【4】编号1，2，3的三位学生随意入座编号1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生人数是X.（1）求随机变量X的概率分布列；（2）求随机变量X的期望与方差.分析 （1）随机变量X的意义是对号入座的学生个数，所有取值为0,1,3.若有两人对号入座，则第三人必对号入座.由排列与等可能事件概率易求分布列;（2）直接利用数学期望与方差公式求解.第43页，本讲稿共44页X013P解 （1）P（X=0）=,P（X=1）=,P（X=3）=,故X的概率分布列为(2)E(X)=D(X)=第44页，本讲稿共44页
