信息光学教案第一章2.ppt

Information Optics 信息光学信息光学授课教师：高志华授课教师：高志华 办公地点：办公地点：11教教320 联系电话：联系电话：13508161427第一页，编辑于星期一：十一点 十九分。1.信息光学的范畴信息光学的范畴信息光学是信息光学是光学与通信理论光学与通信理论相结合而发展起相结合而发展起来的一门新的光学学科。来的一门新的光学学科。傅里叶分析和线性系傅里叶分析和线性系统理论是数学基础。应用通信理论中的普遍概统理论是数学基础。应用通信理论中的普遍概念和思想念和思想在二维空间域及其空间频率域讨论光学在二维空间域及其空间频率域讨论光学系统的系统的的传播、衍射、成像、变换等问题。的传播、衍射、成像、变换等问题。光学全息和光信息处理则是信息光学的实践光学全息和光信息处理则是信息光学的实践领域。领域。第二页，编辑于星期一：十一点 十九分。2推荐参考书推荐参考书1.J.W 顾得门顾得门 傅里叶光学导论傅里叶光学导论 科学出版社科学出版社2.吕乃光等吕乃光等 傅里叶光学傅里叶光学 科学出版社科学出版社3.王仕幡等王仕幡等 信息光学理论应用北京邮电大学出版社信息光学理论应用北京邮电大学出版社4.李俊昌等李俊昌等 信息光学理论与计算科学出版社信息光学理论与计算科学出版社5.苏显渝等苏显渝等 信息光学信息光学 科学出版社科学出版社6、傅里叶光学（基本概念和习题）吕迺光 陈家璧 毛信强第三页，编辑于星期一：十一点 十九分。第一章第一章数学准备数学准备1.常用函数及其在光学中的应用常用函数及其在光学中的应用2、卷积和相关的运算、卷积和相关的运算3、傅立叶级数及傅立叶变换、傅立叶级数及傅立叶变换第四页，编辑于星期一：十一点 十九分。4、线性系统理论5、物理准备：单色光的描述第五页，编辑于星期一：十一点 十九分。1.1 1.1 光学中常用的几种初等函数光学中常用的几种初等函数 一、矩形函数一、矩形函数矩形函数的定义为矩形函数的定义为函数图像如下图函数图像如下图所示所示0 01 1第六页，编辑于星期一：十一点 十九分。二维矩形函数可表示成一维矩形函数的乘积二维矩形函数可表示成一维矩形函数的乘积式中式中a 0,b 0,a 0,b 0,它在它在 xy xy平面上，以原点为中心的平面上，以原点为中心的a a b b矩形范围矩形范围内，函数值为内，函数值为1 1，其它地方为零。，其它地方为零。光学上常用矩形函数表示不透明屏上的矩形孔、狭缝的透过率。它光学上常用矩形函数表示不透明屏上的矩形孔、狭缝的透过率。它与其它函数相乘，可限制函数自变量的取值范围，起到截取函数的与其它函数相乘，可限制函数自变量的取值范围，起到截取函数的作用，故又称为作用，故又称为门函数门函数。如如表示一个只出现在区间表示一个只出现在区间第七页，编辑于星期一：十一点 十九分。二、二、sincsinc函数函数 一维一维 sinc sinc函数的定义为函数的定义为式中式中a0,a0,函数在函数在x=xx=x0 0处有最大值处有最大值1 1。对于对于x x0 0=0,=0,该函数在原点处有最大值该函数在原点处有最大值1.1.二个第一级零值之间的宽度为二个第一级零值之间的宽度为2a,2a,函数图像如图所示。函数图像如图所示。零点位于零点位于第八页，编辑于星期一：十一点 十九分。二二 维维 sinc sinc函数的定义为函数的定义为sincsinc函数常用来描述函数常用来描述矩孔或单缝矩孔或单缝的夫琅和费衍射图样，且与矩形的夫琅和费衍射图样，且与矩形函数互为函数互为傅里叶变换傅里叶变换。第九页，编辑于星期一：十一点 十九分。三、阶跃函数三、阶跃函数阶跃函数的定义为阶跃函数的定义为10阶跃函数与某函数相乘时，如阶跃函数与某函数相乘时，如x0 x0，则积等于原函数，在，则积等于原函数，在x0 x0,a0,函函数数图图形形是是底底边边宽宽为为2a2a，高高为为1 1的的三三角角形形，三三角角形形函函数数可可表表示示光光瞳瞳为为矩矩形形的的非非相相干干成成像像系统的系统的光学传递函数光学传递函数。第十二页，编辑于星期一：十一点 十九分。六、圆域函数六、圆域函数圆域函数的定义为圆域函数的定义为函数图形呈圆柱形，底半径为函数图形呈圆柱形，底半径为a a，高度为，高度为1 1。极坐标下的形式为极坐标下的形式为圆域函数常用来描述圆域函数常用来描述圆孔的透过率圆孔的透过率第十三页，编辑于星期一：十一点 十九分。七、高斯函数七、高斯函数高斯函数的定义为高斯函数的定义为二维高斯函数的形式是二维高斯函数的形式是曲面下的体积为曲面下的体积为ababa0.a0.当当x x0 0=0=0时，函数在原点处有最大值时，函数在原点处有最大值1 1。高斯图形中曲线下的面积为高斯图形中曲线下的面积为a.a.式中式中第十四页，编辑于星期一：十一点 十九分。曲面下的体积为曲面下的体积为ababa=1,b=1a=1,b=1时时极坐标下极坐标下高斯函数在统计领域中经常用到。高斯函数在光学中常用来描述高斯函数在统计领域中经常用到。高斯函数在光学中常用来描述激光器发出的激光器发出的高斯光束高斯光束，有时也用于光学信息处理中的，有时也用于光学信息处理中的切趾术。切趾术。第十五页，编辑于星期一：十一点 十九分。1.2 1.2 函数函数 在在物物理理学学和和工工程程技技术术中中常常用用狄狄拉拉克克提提出出的的 函函数数描描述述某某种种极极限限状状态态和和高高度度集集中中的的物物理理量量。例例如如，在在电电学学中中常常用用 函函数数表表示示点点电电荷荷的的密密度度；而而在在光光学学中中，函函数数表表示示的的是是点点光光源源。函函数数不不是是普普通通函函数数，是是广广义义函函数数，它它不不像像普普通通函函数数那那样样完完全全由由数数值值对对应应关关系系确确定定，其其属属性性完完全全由由它它在在积积分分中中的的作作用用表表现现出出来来。从从应应用用的的角角度度看看，也也可可以以把把 函函数数与与普普通通函函数数联联系系起起来来，用用普普通通函函数数描描述述它它的的性性质。下面介绍三种最基本的质。下面介绍三种最基本的 函数函数定义。定义。一、一、函数定义函数定义第十六页，编辑于星期一：十一点 十九分。定义定义A A定义定义B B定义定义A A 对对 函数给出了类似普通函数形式的定义，然而定义式函数给出了类似普通函数形式的定义，然而定义式描述的图像并不普通，它是一个在原点以外处处为零，而在描述的图像并不普通，它是一个在原点以外处处为零，而在原点处出现无穷大的函数。原点处出现无穷大的函数。第十七页，编辑于星期一：十一点 十九分。定定义义B B是是把把 函函数数看看作作一一些些普普通通函函数数构构成成的的序序列列的的极极限限。下下图图给给出出了了一一维维矩矩形形函函数数序序列列和和高高斯斯函函数数序序列列的的例例子子，随随着着NN的的增增大大，所所取取的的矩矩形形函函数数和和高高斯斯函函数数对对应应的的曲曲线线将将变变得得越越来来越越窄窄，峰峰值值却却越越来来越越高高，而而曲曲线线下下的的面面积积始始终终保保持持为为1 1。当当NN时时，它它们们的的函函数数曲曲线线趋趋近近于于定定义义 A A中中的的“脉脉冲冲”。g gn n(x,y)(x,y)的的具具体体形形式式是是多多种种多多样样的的，常常用用的的有有矩矩形形函函数数，高斯函数和高斯函数和sinc(x,y)sinc(x,y)函数。函数。第十八页，编辑于星期一：十一点 十九分。back第十九页，编辑于星期一：十一点 十九分。定定义义C C 中中f f(x,y)(x,y)在在原原点点处处连连续续。该该式式表表明明 函函数数在在积积分分域域中中的的作作用用就就是是赋赋与与函函数数在在x=0,y=0 x=0,y=0处处的的数数值值f(0,0).f(0,0).这这是是广广义义函函数数的的定定义义 方方式式，具具有有普普遍遍意意义义。不不同同形形式式的的函函数数，只只要要它它们们在在积积分分中中的的作作用用和和上上式式相相同同，就就可可认认为为它它们们与与 函函数数相相等等，这这一一性性质在理论推导中经常用到。质在理论推导中经常用到。二、二、函数的表示和性质函数的表示和性质11定义定义C C第二十页，编辑于星期一：十一点 十九分。2 2、筛选性质、筛选性质1、函数和其它函数的乘积函数和其它函数的乘积3 3、坐标缩放性质、坐标缩放性质第二十一页，编辑于星期一：十一点 十九分。4 4、可分离变量性质、可分离变量性质5 5、函数是偶函数函数是偶函数第二十二页，编辑于星期一：十一点 十九分。1.3.梳状函数梳状函数-comb函数函数第二十三页，编辑于星期一：十一点 十九分。a.一维梳状一维梳状函数函数：第二十四页，编辑于星期一：十一点 十九分。a.一维梳状一维梳状函数函数：有无数个有无数个函数组成函数组成每个每个函数都落在整数坐标上函数都落在整数坐标上第二十五页，编辑于星期一：十一点 十九分。b.二维梳状二维梳状函数函数：第二十六页，编辑于星期一：十一点 十九分。b.二维梳状二维梳状函数函数：第二十七页，编辑于星期一：十一点 十九分。例题例题.证明：证明：第二十八页，编辑于星期一：十一点 十九分。例题例题.证明：证明：证明证明：函数的缩放性质！函数的缩放性质！第二十九页，编辑于星期一：十一点 十九分。而而第三十页，编辑于星期一：十一点 十九分。当当n为奇数时，即为奇数时，即 n=2k+1 此时此时k为整数：为整数：当当n为偶数时，即为偶数时，即 n=2k 此时此时k为整数：为整数：当当n=k,即二即二者值域和定者值域和定义域都一样义域都一样证毕证毕第三十一页，编辑于星期一：十一点 十九分。讨论题讨论题：写出下图的函数：写出下图的函数g(x)表达式。表达式。第三十二页，编辑于星期一：十一点 十九分。讨论题：写出下图的函数讨论题：写出下图的函数g(x)表达式。表达式。写出第一个写出第一个函数的表达形式函数的表达形式第三十三页，编辑于星期一：十一点 十九分。讨论题：写出下图的函数讨论题：写出下图的函数g(x)表达式。表达式。写出第一个写出第一个函数的表达形式函数的表达形式写出第写出第n个个函数的表达形式函数的表达形式第三十四页，编辑于星期一：十一点 十九分。讨论题：写出下图的函数讨论题：写出下图的函数g(x)表达式。表达式。写出第一个写出第一个函数的表达形式函数的表达形式写出第写出第n个个函数的表达形式函数的表达形式函数函数g(x)由无数个由无数个函数组成函数组成第三十五页，编辑于星期一：十一点 十九分。讨论题：写出下图的函数讨论题：写出下图的函数g(x)表达式。表达式。写出第一个写出第一个函数的表达形式函数的表达形式写出第写出第n个个函数的表达形式函数的表达形式函数函数g(x)由无数个由无数个函数组成函数组成思考：思考：g(x)的的comb函数函数表述形式表述形式。第三十六页，编辑于星期一：十一点 十九分。c.梳状函数梳状函数的性质的性质第三十七页，编辑于星期一：十一点 十九分。c.梳状函数梳状函数的性质的性质1.比例变换特性比例变换特性第三十八页，编辑于星期一：十一点 十九分。c.梳状函数梳状函数的性质的性质1.比例变换特性比例变换特性第三十九页，编辑于星期一：十一点 十九分。c.梳状函数梳状函数的性质的性质1.比例变换特性比例变换特性有偏置有偏置x0的的comb函数表现形式？函数表现形式？第四十页，编辑于星期一：十一点 十九分。c.梳状函数梳状函数的性质的性质1.比例变换特性比例变换特性有偏置有偏置x0的的comb函数表现形式？函数表现形式？第四十一页，编辑于星期一：十一点 十九分。c.梳状函数梳状函数的性质的性质1.比例变换特性比例变换特性有偏置有偏置x0的的comb函数表现形式？函数表现形式？第四十二页，编辑于星期一：十一点 十九分。c.梳状函数梳状函数的性质的性质证明：证明：提取公因子提取公因子函数的缩放特性函数的缩放特性证毕证毕第四十三页，编辑于星期一：十一点 十九分。c.梳状函数梳状函数的性质的性质2.偶函数特性偶函数特性第四十四页，编辑于星期一：十一点 十九分。c.梳状函数梳状函数的性质的性质2.偶函数特性偶函数特性第四十五页，编辑于星期一：十一点 十九分。c.梳状函数梳状函数的性质的性质2.偶函数特性偶函数特性注意：有偏置注意：有偏置x0的的comb函数无此特性？函数无此特性？第四十六页，编辑于星期一：十一点 十九分。c.梳状函数梳状函数的性质的性质证明：证明：证毕证毕当当a=1时：时：当当a=-1时：时：n和和k的定义域和值的定义域和值域完全相同域完全相同第四十七页，编辑于星期一：十一点 十九分。c.梳状函数梳状函数的性质的性质3.周期性周期性第四十八页，编辑于星期一：十一点 十九分。c.梳状函数梳状函数的性质的性质3.周期性周期性4.平移性质平移性质第四十九页，编辑于星期一：十一点 十九分。c.梳状函数梳状函数的性质的性质3.周期性周期性4.平移性质平移性质5.积分性质积分性质第五十页，编辑于星期一：十一点 十九分。c.梳状函数梳状函数的性质的性质6.抽样性质抽样性质第五十一页，编辑于星期一：十一点 十九分。c.梳状函数梳状函数的性质的性质6.抽样性质抽样性质第五十二页，编辑于星期一：十一点 十九分。c.梳状函数梳状函数的性质的性质6.抽样性质抽样性质有偏置有偏置x0和缩放的和缩放的comb函数抽样特性？函数抽样特性？第五十三页，编辑于星期一：十一点 十九分。c.梳状函数梳状函数的性质的性质6.抽样性质抽样性质有偏置有偏置x0和缩放的和缩放的comb函数抽样特性？函数抽样特性？第五十四页，编辑于星期一：十一点 十九分。c.梳状函数梳状函数的性质的性质6.抽样性质抽样性质x0抽样函数抽样函数抽样函数抽样函数x0 x0正实数常数x0 x0第五十五页，编辑于星期一：十一点 十九分。c.梳状函数梳状函数的性质的性质7.卷积性质卷积性质有偏置有偏置x0和缩放的和缩放的comb函数卷积特性？函数卷积特性？第五十六页，编辑于星期一：十一点 十九分。c.梳状函数梳状函数的性质的性质7.卷积性质卷积性质x0复现函数复现函数x0 x0正实数常数x0 x0第五十七页，编辑于星期一：十一点 十九分。讨论题：用梳状函数和矩形函数的运算关系讨论题：用梳状函数和矩形函数的运算关系式表示下图所是一块由式表示下图所是一块由25条线条线的实际罗奇光的实际罗奇光栅的函数栅的函数g(x)表达式表达式(单位为单位为:mm)g(x)-x00.20.10.4第五十八页，编辑于星期一：十一点 十九分。4.卷积和相关卷积和相关1.定义定义对于函数对于函数f(x,y)和和h(x,y)的卷积定义为：的卷积定义为：记为：记为：2.计算方法计算方法图解法图解法解析法解析法第五十九页，编辑于星期一：十一点 十九分。4.卷积和相关卷积和相关3.例题例题求：求：第六十页，编辑于星期一：十一点 十九分。4.卷积和相关卷积和相关3.例题例题求：求：图解法图解法第六十一页，编辑于星期一：十一点 十九分。4.卷积和相关卷积和相关3.例题例题求：求：图解法图解法第六十二页，编辑于星期一：十一点 十九分。4.卷积和相关卷积和相关3.例题例题求：求：图解法图解法第六十三页，编辑于星期一：十一点 十九分。4.卷积和相关卷积和相关3.例题例题求：求：图解法图解法第六十四页，编辑于星期一：十一点 十九分。4.卷积和相关卷积和相关3.例题例题求：求：图解法图解法第六十五页，编辑于星期一：十一点 十九分。4.卷积和相关卷积和相关3.例题例题求：求：图解法图解法第六十六页，编辑于星期一：十一点 十九分。4.卷积和相关卷积和相关3.例题例题求：求：图解法图解法第六十七页，编辑于星期一：十一点 十九分。4.卷积和相关卷积和相关3.例题例题求：求：图解法图解法第六十八页，编辑于星期一：十一点 十九分。4.卷积和相关卷积和相关3.例题例题求：求：图解法图解法第六十九页，编辑于星期一：十一点 十九分。4.卷积和相关卷积和相关3.例题例题求：求：图解法图解法第七十页，编辑于星期一：十一点 十九分。4.卷积和相关卷积和相关3.例题例题求：求：图解法图解法第七十一页，编辑于星期一：十一点 十九分。4.卷积和相关卷积和相关3.例题例题求：求：解析法解析法步骤：步骤：求积分区间求积分区间分段积分分段积分综合综合第七十二页，编辑于星期一：十一点 十九分。4.卷积和相关卷积和相关3.例题例题求：求：解析法解析法步骤：步骤：求积分区间求积分区间分段积分分段积分综合综合第七十三页，编辑于星期一：十一点 十九分。4.卷积和相关卷积和相关3.例题例题求：求：解析法解析法步骤：步骤：求积分区间求积分区间分段积分分段积分综合综合被积函数非被积函数非零时零时第七十四页，编辑于星期一：十一点 十九分。4.卷积和相关卷积和相关3.例题例题求：求：解析法解析法步骤：步骤：求积分区间求积分区间分段积分分段积分综合综合被积函数非被积函数非零时零时第七十五页，编辑于星期一：十一点 十九分。4.卷积和相关卷积和相关3.例题例题求：求：解析法解析法步骤：步骤：求积分区间求积分区间分段积分分段积分综合综合被积函数被积函数非零时非零时第七十六页，编辑于星期一：十一点 十九分。4.卷积和相关卷积和相关3.例题例题求：求：解析法解析法步骤：步骤：求积分区间求积分区间分段积分分段积分综合综合被积函数非被积函数非零时零时第七十七页，编辑于星期一：十一点 十九分。4.卷积和相关卷积和相关3.例题例题求：求：解析法解析法步骤：步骤：求积分区间求积分区间分段积分分段积分综合综合被积函数非被积函数非零时零时第七十八页，编辑于星期一：十一点 十九分。4.卷积和相关卷积和相关3.例题例题求：求：解析法解析法步骤：步骤：求积分区间求积分区间分段积分分段积分综合综合被积函数被积函数非零时非零时第七十九页，编辑于星期一：十一点 十九分。2 2、卷积运算的例子卷积运算的例子例：如图，已知两个函数例：如图，已知两个函数f(x)f(x)和和h(x),h(x),求其求其卷积卷积第八十页，编辑于星期一：十一点 十九分。求卷积的方法：卷积的方法：（1 1）、将）、将f f(x)(x)和和h h(x)(x)变为变为f f()和和h h()，并画出相应的曲线，并画出相应的曲线（2 2）、将）、将h(h()h(-h(-)只要将只要将h(h()曲线相对纵轴折叠便得到其镜曲线相对纵轴折叠便得到其镜像像h(-h(-)曲线。曲线。第八十一页，编辑于星期一：十一点 十九分。（3 3）、对任一）、对任一x(-x(-,+)，只要将曲线，只要将曲线h(-h(-)沿沿x x轴平移轴平移x x便得到便得到h(x-h(x-)x x 00右移，右移，x0,x0,0,空间频率空间频率 0 0，当，当 为钝角时，为钝角时，cos cos 00空间频率空间频率 0,0,空间频率的正负，表示平面波传播方向的不同。空间频率的正负，表示平面波传播方向的不同。第二百一十八页，编辑于星期一：十一点 十九分。空间频率空间频率 0,xy 0,xy平面上位相值沿平面上位相值沿x x轴正方减少。轴正方减少。第二百一十九页，编辑于星期一：十一点 十九分。在传播方向余弦在传播方向余弦cos cos ，cos cos 为为一般情况，一般情况，xyxy平面上的等位线平面上的等位线是一些平行是一些平行斜线斜线。这时。这时x,yx,y方向的复振幅分布都是周期性变化方向的复振幅分布都是周期性变化的。其空间周期的。其空间周期X X，Y Y分别为分别为因此因此,xy,xy平面上的复振幅分布为平面上的复振幅分布为该式代表一个传播方向余弦为该式代表一个传播方向余弦为cos cos =,cos,cos=的单的单色平面波。色平面波。当我们的注意力不是集中在某一个平面上，而是在整个空间，当我们的注意力不是集中在某一个平面上，而是在整个空间，则类似地可以定义沿则类似地可以定义沿z z方向的空间频率方向的空间频率第二百二十页，编辑于星期一：十一点 十九分。由由表示平面波沿传播方向的表示平面波沿传播方向的空间频率空间频率注意：空间频率的概念同样可以描述其它物理量的空间周期注意：空间频率的概念同样可以描述其它物理量的空间周期分布，但它们有不同的物理含义，比如对于非相干照明的平分布，但它们有不同的物理含义，比如对于非相干照明的平面上的光强公布，也可以通过傅里叶分析利用空间频率来描面上的光强公布，也可以通过傅里叶分析利用空间频率来描述，但空间频率（述，但空间频率（,）不再和单色平面波有关）不再和单色平面波有关也不再对应沿某一方向的平面波。也不再对应沿某一方向的平面波。时间频率时间频率第二百二十一页，编辑于星期一：十一点 十九分。4 4 复振幅空间分布的频谱复振幅空间分布的频谱我们用我们用g(x,y)g(x,y)表示表示x,yx,y平面上单色光场的复振幅分布，利用傅里平面上单色光场的复振幅分布，利用傅里叶变换可得下式叶变换可得下式这里把平面上复振幅分布这里把平面上复振幅分布g(x,y)g(x,y)看作频率不同的复指数分量的线看作频率不同的复指数分量的线性组合，各频率分量的权重因子是性组合，各频率分量的权重因子是G G（,）d d d d 第二百二十二页，编辑于星期一：十一点 十九分。已知已知代表一个传播方向余弦为代表一个传播方向余弦为cos cos =,cos,cos=的单色平面波。的单色平面波。因此上式就有了进一步的物理解释：因此上式就有了进一步的物理解释：即复振幅分布即复振幅分布g(x,y)g(x,y)可以看作不同可以看作不同方向传播的单色平面波分量的线性叠加方向传播的单色平面波分量的线性叠加。这些平面波分量的传播方。这些平面波分量的传播方向和频率（向和频率（,）相对应，其相对的振幅和常量相位取决于频谱）相对应，其相对的振幅和常量相位取决于频谱G G（,），即复振幅分布的），即复振幅分布的空间频谱空间频谱。第二百二十三页，编辑于星期一：十一点 十九分。0权重权重权重权重权重权重第二百二十四页，编辑于星期一：十一点 十九分。因为因为G G（,）也可以利用方向余弦来表示）也可以利用方向余弦来表示这时这时称为称为x x，y y平面上复振幅分布的平面上复振幅分布的角谱角谱。0权重权重权重权重权重权重第二百二十五页，编辑于星期一：十一点 十九分。例题：例题：已知一平面波的复振幅表达式为已知一平面波的复振幅表达式为试计算其波长以及沿试计算其波长以及沿x,y,zx,y,z方向的空间频率。方向的空间频率。第二百二十六页，编辑于星期一：十一点 十九分。例题：空间单色平面波的复振幅分布为：例题：空间单色平面波的复振幅分布为：求此平面波的空间频率、波数、波长及方向余弦求此平面波的空间频率、波数、波长及方向余弦第二百二十七页，编辑于星期一：十一点 十九分。例题：空间单色平面波的复振幅分布为：例题：空间单色平面波的复振幅分布为：求此平面波的空间频率、波数、波长及方向余弦求此平面波的空间频率、波数、波长及方向余弦解：解：平面波的通用表达式为：平面波的通用表达式为：比较得：比较得：第二百二十八页，编辑于星期一：十一点 十九分。作业：作业：1 1、画出下列函数的图形、画出下列函数的图形2 2、用宽度为、用宽度为a a的狭缝，对平面上光强分布的狭缝，对平面上光强分布扫描，在狭缝后用光电探测器，求输出强度分布。扫描，在狭缝后用光电探测器，求输出强度分布。3 3、已知函数、已知函数其它其它其它其它求求第二百二十九页，编辑于星期一：十一点 十九分。