学年北师大版必修第一册3.2 基本不等式课时作业.docx

【精选】3.2基本不等式课时练习一、单项选择题1.九章算术是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其 中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门.出东门一十五里有 木.问出南门几何步而见木?”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步 数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门 r9xiLf7xnX里见到树，贝UI 2 I 2 .假设一小城，如下图，出东门1200步有树，出x =-乙 15南门750步能见到此树，那么该小城的周长的最小值为（注：1里=300步）（）东门南门A. 2河里B. 4加里2.假设一44<1,贝2' + 2 （） 2x-2A.有最小值1C.有最小值一1A. 2河里B. 4加里2.假设一44<1,贝2' + 2 （） 2x-2A.有最小值1C.有最小值一1C. 6加里D. 8亚里B.有最大值1D.有最大值一13 .某几何体的一条棱的长为z,该棱在正视图中的投影长为遥，在侧视图与俯视图中的投影长为。与匕，且 + b = 4,那么加的最小值为（）A. 75B.恒C. V7D. 224 .设。>0, b>09那么以下不等式中不一定成立的是（）A. J > 2>/2B. 2"”之slaba + ba2+h2 tz , /1 iV/iC. -7= >a-bD. （a + b + > 4yjabI。 b）5.设a>b>c>0,那么2/+2+帚询-10ac +25c2取得最小值时-，a的值为（）A. 72B. 2C. 4D. 275ab + bcq + c/ + ca + c那么 / +2/ +,2 X + 2 J 2 W+J2匕-2,2（片+02） bV b_ 1 / + 2ac + c? _ i pac- < 1 /1 + ac _ 1 =可 2（/+。2）=/、/+）+/ -/夕?而 x,2 =5'92当且仅当巴士=2"且。=。取等，即=8=。取等号, b即那么即那么ab + bca2 + 2b2 + c2的最大值为应选:A.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：(1) “一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；(2) “二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，那么必须把构成积的因式的和转化成定值；(3) “三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，假设不能取等号那么这 个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意屡次运用不等式，等号成 立条件是否一致.15. D2?【分析】不等式2x + m + ；>0化为：2(x-l) + ->-m-2,利用基本不等式的性质可得 x-1X-1?2。-1) +9的最小值，即可得出. x-22【详解】不等式2x + m +>。化为：2(%-1) +>-m-2 ,x-1xTQx>l, .-.2(x-l) + -.2x /2U-l)-=4,当且仅当 x = 2 时取等号.x-1 V x-12.不等式2x + 2 +>0对一切尢£(1,+8)恒成立，x-1-in2 V 4 ,解得m>-6,应选：D.16. C【分析】由条件可得(1 一。)(1一。)=!,令X = 1 Q0, y = 1-/?>0 ,可得。=1 一 X,4b = 1-y, y =4，进一步可得。+2b = -工-上+ 3,最后利用基本不等式求出最大值即可.4尤2%【详解】, 4（a + Z?） = 4。 + 3,4而一4。一4匕+ 3 = 0,配凑得：4而一4。一4匕+4 = 1,两边同时除以 4 得：ab-a-b + = -y BP （l-tz）（l-/?）=-, 44令 x = 1-q>0, y = -b>0 ,那么。=1 一 x, b = -y , y =, 4x所以+ 2b = l-x + 2（l-y） = -x-2y + 3 = -x-' + 3 2x=1 + L + 3W2./Z + 3 = 3 Q （当且仅当工二,即工=走时，等号成立）.2x） 2x2x 2应选：C.【点睛】此题考查利用基本不等式求最值，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查转化和划归思想，属于难题.17. D【分析】设草坪的长（东西方向）为皿，求出宽，再求得道路面积，由基本不等式得最小值.2400【详解】设草坪的长（东西方向）为xm,那么宽为二？m, x14400仅当=4%,即x = 60时，等号成立.x所以道路占地最小面积为504m2.应选：D.0 < x < 16.假设实数%)满足约束条件< 0<y<2,且Z = ox + by (>0, /?>0)最大值为1,那么x-2y+l<0帅的最大值为（）A11A.-B.一847 .xwO,那么函数y = /+-V有（ xA.最大值2B.最小值28 .函数y = x +方（%>-2）的最小值为Jv I乙r V2Vx 4)C.最小值4)D.叵2D.最大值4A. 3B. 2C. 1D. 09 .某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的本钱分为以下三个局部：生产1单位试剂需要原料费50元；支付所有职工的工资总额由7500 元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；后续保养的费用是每单位X + 30元（试剂的总产量为X单位，50<x<200）,那么要使生产每单位试剂的 x ）本钱最低，试剂总产量应为（）A. 60单位B. 70单位C. 80单位D. 90单位.假设对任意正数x，不等式一二,汕恒成立，那么实数。的取值范围为（）x +4%A. 0 , +8）B. -,+00）C. y,+oo）D. -, +00）442.在AABC中，内角A, B, C的对边分别为b , c ,人=2&且AA3C面积为S = （b2-a2-c2）,那么AABC面积S的最大值为（）A. 2 >/3B. 4 23C. 8 4、/D. 16 8/310 .假设a>0, b>0,且人=3。+ 3 + 27,那么ah的最小值为()A. 9B. 16C. 49D. 8111 .x，y，z都是正实数，假设孙2 = 1,那么（x+y）（y + z）（z + x）的最小值为（）A. 2A. 2B. 4C. 6D. 8412 .设实数x满足x>0,函数y = 2 + 3x +；的最小值为（） x+1A. 473-1B. 4、6+ 2C. 472 + 1D. 6154,是不同时为。的实数，那么心”的最大值为（）a2 + 2b + c2A. yB. -C. D.走2422216 . Vx£（l,+8）,不等式2% +机+ ；0恒成立，那么实数团的取值范围是（） x-1A. m < -8B. m > -8C. m < -6D. m>-617 .Ovavl, O<Z?<1,且4（Q + b） = 4Qb + 3,那么q + 26的最大值为（）A. 2B. 2V2C. 3-V2D. 3-2V218 .如图，计划在一块空地上种植面积为24000?的草坪，草坪的四周留有人行通道，设计 要求草坪外侧南北的人行通道宽2m,东西的人行通道宽3m,如何设计草坪的边长才能使 人行通道占地面积最小，最小面积是（）北一草坪一3332 南A. 550m之B. 538m2C. 528m2D. 504m2参考答案与试题解析D【分析】根据题意得GG进而得跖G/= £BG4 = 4x2.5 = 10,再结合基本不EB等式求4(斯+ G尸)的最小值即可.【详解】因为1里二300步，那么由图知£8 = 1200步=4里，G4 = 750步=2.5里.由题意，得GA=E；尸,那么 EFGF = EBGA = 4x2.5 = 10,所以该小城的周长为4(EF + GF) > SyjEF - GF = 8而，当且仅当EF = GF = M时等号成立.应选:D.【点睛】此题以数学文化为背景考查基本不等式，解题的关键在于根据题意，得出对应的边长关系，即：64 二空半，再代入数据，结合基本不等式求解，同时，在应用基本不 EB等式时，还需要注意“一正”、“二定，“三相等D根据一4<x<l,利用基本不等式求解.【分析】先将储一2、+ 2转化为与,2x-22 x-l【详解】书等f 1)+又 4<%<1,Ax-1<0./. 一(x1)>0.，一.- 1)+ / 11J - T.当且仅当xl = ,即x=0时等号成立.2-(x-1)x-1应选：D【点睛】此题主要考查基本不等式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题.1. C【分析】根据三视图的定义，构造一个长方体，利用长方体的边长关系，求得相的表达 式，利用基本不等式，即可求得答案.【详解】如图：构造长方体设AE = m,在长方体中，OE为正视图中投影，BE为侧视图中投影，AC为俯视图的投 影，那么 DE - /6 , BE = a, AC = b ,设 AB - x, BC )CE = z,那么 V + V + zZ =m2, x2 + z2 =6,x2 + y2 =b2,y2 + z2 =a2,0rl2(x2 + / + z2) = tz2 +/?2 +6 , BP2/7? =6z2+Z?2+6.由于 2(a2 +/?2) >(6i + h)2,所以/二>3 +2所以/二>3 +2'a + b1丁当且仅当Q = b时等号成立，应选：C.【点睛】解题的关键是构造长方体，利用三视图的定义，得到对应的投影，再根据边长的 关系求解，考查利用基本不等式求最值问题，综合性较强，属中档题.2. B【分析】根据题中条件，由基本不等式，逐项判断，即可得出结果.【详解】因为Q>0, b>0,所以 + +14ab + r= > 2V2 ,当且仅当 a = 8且2a/ = -y= ,即 = = 时取7 ab7 ab7 ab2等号，故A正确.2 b 2 b因为a +匕2疝所以品"焉=而，当且仅当a = b时取等号，故B借误.2ab 2ab rr因为瓢,当且仅当时取等号，所以a2 -¥b2 (a + b)- -2ab2aha + b> 2ab - fab = yab，当且仅当。=b时取等号,7 j 22» 2所以三生2疯，即幺冬之 +人，故C正确.a + b7ab因为(。+与(！+ = 2 + 2 + 322 + 2、匕3=4,当且仅当Q = b时取等号，故D正确;abJa ba b应选：B.【点睛】此题主要考查由基本不等式判断所给不等式是否正确，属于常考题型.3. A1 19【解析】转化条件为原式=工+帅+二一云+ (-3+ (a-5c)-,结合基本不等式即可得 aba(a-b)解.【详解】2/+j1-10 一+ 25/ab aya-b)1 f 1,27=F ab HF a(a b) ah a(a /7) + 2cz 1 Oue + 25c-ab a(a - b)1 1 9 9-F ab HF a(a b) +-1 Qcic + 25caba(a-h)1,12=F ab Hf ci(ci b) + (a 5c)ahaa-b)> 2j-+ 2ja(a b) +0 = 4 ,V ab a(a-b)ab = 1等号成立.当且仅当( 0) = 1,即=及，b = , 0 =变时, c25a = 5c应选：A.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：(1) “一正”就是各项必须为正数；(2) “二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，那么必须把构成积的因式的和转化成定值；(3) “三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，假设不能取等号那么这 个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.6. B【分析】利用基本不等式，即可得到答案;【详解】/ x 0 => x2 > 0,.y =2、"X = 2,等号成立当且仅当入 = ±1,厂 V 厂，函数的最小值2, 应选：B.7. D【分析】利用基本不等式可求函数的最小值.【详解】因为X"所以x+2>°' £>。,利用基本不等式可得X + 5= x + 2 + !2>2J(x + 2)52 = 0, x + 2x + 2 V 7 x + 2当且仅当x + 2 =即尤=1时等号成立.应选：D.8. D【分析】设生产每单位试剂的本钱为y,求出原料总费用，职工的工资总额，后续保养总费用，从而表示出然后利用基本不等式求解最值即可.【详解】解：设每生产单位试剂的本钱为九因为试剂总产量为1单位，那么由题意可知，原料总费用为50x元，职工的工资总额为7500 + 20、元，后续保养总费用为+眄-301元，V x Jllhl 50x + 7500+ 20x + x230x +6008100 / 8100那么 y =x + 40> 2 x+40 = 220，xxV x当且仅当工=理，即1=90时取等号， x满足 50JW200,所以要使生产每单位试剂的本钱最低，试剂总产量应为90单位.应选：D.9. B22【分析】原不等式即为+ 1二工，再利用基本不等式求得二4的最大值，可得。的范 XX HXX围.G 2x _2【详解】解：依题意得，当x>。时，=7 恒成立， X -X4又因为x + .4,当且仅当x = 2时取等号， x所以， 4的最大值为;，所以2 + 1.,解得。的取值范围为-二,+8). x-/24X应选：B.【点睛】此题主要考查函数的恒成立问题，基本不等式的应用，属于中档题.10. B【解析】由利用三角形的面积公式可求tan3,可得cosB, sinB的值，由余弦定理,基本不等式可求8(2-73),根据三角形的面积公式即可求解其最大值.【详解】解：/ S =-(b2 -a2 - c2) = -2accos B) = acsin B , 12122G 5兀V3 . D_1 tan B -, B , cos B -, sin B 93622又.。=2及，由余弦定理可得：8 = "+，+6公.(2 + 6)。,当且仅当。时取等号,Sbc 二 一 Qc sin B, x 8(2 >/3) x = 4 2>/3 .2.面积S的最大值为4-26应选：B.【点睛】此题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，基本不等式在解三角形中的应 用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.11. D【分析】由基本不等式结合一元二次不等式的解法得出最小值.【详解】由题意得。=3+ 3。+ 2726而+ 27,得ab 6ah - 27 = j-ab 9ab + 3 j > 0,解得即 q/?N81,当且仅当=人=9 时,等号成立.应选：DD【分析】均值定理连续使用中要注意等号是否同时成立.x+yN2向>0 （当且仅当x = ）5寸等号成立）y + z>2>0 （当且仅当y = z时等号成立）x+z>2Vxz >0 （当且仅当x = z时等号成立）以上三个不等式两边同时相乘，可得（x+y）（y + z）（z + x）28jx2y2z2 =8 （当且仅当X = y = Z = 1时等号成立）应选：D12. A4【解析】将函数变形为y = 3（x + l） + -1,再根据基本不等式求解即可得答案.X + 1【详解】解：由题意x>0,所以x+l>。，44所以 y = 2 + 3x + = 2 + 3（x + l） 3 + x +1尤 +1=3（川）+匕一臼3（2）.匕7=内1,当且仅当3（x+l） = ±,即.手_1>0时等号成立，所以函数y = 2 + 3x +/；的最小值为46-1.x+1应选：A.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1） “一正二定三相等“一正”就是各项必须为正数；（2） “二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，那么必须把构成积的因式的和转化成定值；（3） “三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，假设不能取等号那么这 个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方14. A【分析】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.【详解】假设要使:从，最大,那么必力。均为正数，即符号相同, a + 2b之 + c2不妨设均为正实数,