2020年高考文数真题试卷（新课标Ⅲ)【含答案】.docx

2020年高考文数真题试卷（新课标m）一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分。在每题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。（共12题；共57分）1 .集合 A = 1, 2, 3, 5, 7, 11 , B = %|3 < % < 15,那么 AnB 中元素的个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 52,假设 z（l + i） = 1 - i ,那么 z=（）A. 1-iB. 1+iC.-iD. i.设一组样本数据XI , X2 ,，Xn的方差为0.01,那么数据10X1 , 10X2 ，10Xn的方差为（）A. 0.01B. 0.1C. 1D. 10.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t的单位：天）的Logistic模型：/:3（）,其中K为最大确诊病例数.当1（广）=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，那么t*约为（）（Inl93）A. 60B. 63C. 66D. 69. sin。+ sin（6 + g） = l ，那么 sin（0 +（）A.iB.3C.-D.必23326.在平面内，A, B是两个定点，C是动点，假设AC-BC=1，那么点C的轨迹为（）A.圆B.椭圆C.抛物线D.直线7设。为坐标原点，直线x=2与抛物线C： y2=2px（p>0）交于D, E两点，假设ODJ_OE,那么C的焦点坐标为（）A. （ - , 0）B. （ - , 0）C. （1, 0）D. （2, 0）428 .点（0, - 1）到直线y = k（x + 1）距离的最大值为（）A. 1B. V2C. V3D. 2.下列图为某几何体的三视图，那么该几何体的外表积是（）A. 6+4 V2B. 4+4 y/2C. 6+2 V3D. 4+2 V32.设 a=log32, b=logs3, c=三，贝U () kJ(2)解：在CCi上取点M使得CM = 2例Ci ,连DMfMF ,因为 QE = 2ED,DZ)iCCi，DDi=CG ,所以 ED = MClfEDMClf所以四边形DMGE为平行四边形，.OMECi因为MF“DA,MF=DA,所以四边形MFAD为平行四边形，:.DM“AFE£“AF因此Ci在平面AEF内【考点】平面的基本性质及推论，直线与平面垂直的判定【分析】(1)根据正方形性质得AC LBD ,根据长方体性质得,进而可证AC 1平面BBRD，即得结果；(2)只需证明ECAF即可，在CQ上取点M使得CM = 2MC；,再通过平行四 边形性质进行证明即可.20. (1)解：由题，f (%) = 3%2 k ，当k40时，f Z (%) > 0恒成立，所以f(x)在(一 8, + 8)上单调递增；当 k > 0 时，令 f ' (%) = 0 ,得 = ±,令/ ' (%) < 0，得 一 V 久 V ，令/' (%) > 0，得 < -4或/，所以/(%)在(一位位 上单调递减，在 , (jj, + 8)上单调递增.(2)解:由(1)知,f(x)有三个零点，那么k > 0 ,且" y> °/(J) < 0k2+-k -> 0即3 V ，解得0 < k <，k2-k F V 03当 0 < k V / 时，a > Jq ,且 /(Vk) = /c2 > 0 , 所以/(%)在(Jj,4)上有唯一一个零点，同理k i <, f（-k -1） = -k3 -（k + 1）2Vo ,所以/（%）在（一/（一1,）上有唯一一个零点，又f（x）在（一卡,卡）上有唯一一个零点，所以/（%）有三个零点，综上可知k的取值范围为（0靖）. 乙/【考点】利用导数研究函数的单调性，函数零点的判定定理【分析】（1） /，（%） = 3 k ,对k分女与0和k>0两种情况讨论即可；（2） /（工）有三个零 f（-JI） > °点，由（1）知k>0 ,且:,解不等式组得到k的范围，再利用零点存在性定理加以说明<0即可. 22（1）解： C: + = 1（0 <m < 5） 25 nl27a = 5 , b = m ,根据离心率e=（ = J1/ = /_（§2 =等,解得7n = J或7n = 一 J （舍）， 44%2 y2.C的方程为：石+再7=1 'N5 （一）乙（2）解：点P在C上，点Q在直线 = 6上，且BP = BQ , BPI BQ , 过点P作x轴垂线，交点为M,设 = 6与x轴交点为N根据题意画出图形，如图v BP = BQ , BPI BQ , /PMB = NQNB = 90 ° 又 ZPBM + /QBN = 90 ° , /BQN + /QBN = 90 /PBM = /BQN ，根据三角形全等条件 A4S ，可得：APMB =BNQ ，16y2255(5,0),A PM = BN = 6 5 = 1 ,设P点为(%p,yp)，可得P点纵坐标为yP = l ,将其代入± +. =1 ,2525可得：生+竺=1 ,解得：4=3或p = -3 ,P点为(3,1)或(-3,1), 当P点为(3,1)时，故 = 5 - 3 = 2 , PMB = BNQ ,/. MB = NQ = 2 ,可得:Q点为(6,2), 画出图象，如图 4(-5,0) ,(2(6,2),可求得直线AQ的直线方程为：2x-lly+10 = 0 ,根据点到直线距离公式可得P到直线力Q的距离为：d =*券/=提=?根据点到直线距离公式可得P到直线力Q的距离为：d =*券/=提=?根据两点间距离公式可得：AQ = J(6 + 5尸+ (2 0尸=5V5 ，XAPQ面积为:XAPQ面积为:5当P点为(-3,1)时, 故 |MB| = 5+3 = 8 , v PMB = BNQ , /. MB = NQ = 8 , 可得：Q点为(6,8), 画出图象，如图 4(5,0) ,(2(6,8),可求得直线AQ的直线方程为：8x- lly+ 40 = 0 ,根据点到直线距离公式可得P到直线AQ的距离为:V82 + ll2|8x(-3)-llXl+40|根据两点间距离公式可得：AQ = J(6 + 5尸+ (8 _ 0)2 = V185 ，. APQ面积为：1 x V185 x -j= = | , 综上所述，bAPQ面积为：f .【考点】两点间的距离公式，点到直线的距离公式，椭圆的标准方程，椭圆的简单性质22【分析】(1)因为C: 4-7 = l(0<m<5)，可得a = 5 , b = m ,根据离心率公式，结合，即可求得答案；(2)点P在C上，点Q在直线 = 6上，且BP = BQ , BPI BQ ,过点P作x轴 垂线，交点为M,设 = 6与x轴交点为N,可得APMB WABNQ ,可求得P点坐标，求出直线AQ 的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得APQ的面积.四、选修4-4：坐标系与参数方程(1)解：令 = 0 ,那么 t2 + t-2 = 0 ,解得 t = -2 或七=1 (舍)，那么 y = 2 + 6 + 4 = 12 , 即 4(0,12).令 y = 0 ,那么 t2 -3t + 2 = 0 ,解得 t = 2 或 t = 1 (舍)，那么 = 2 2 4 = 4 ,即 8(4,0).a AB = J(0 +4尸+ (12-0)2 = 4V10(2)解：由(1)可知用48 = n z = 3 ,那么直线AB的方程为y = 3(% + 4),即3% - y + 12 = 0 .由x = pcosOfy = psinO可得，直线AB的极坐标方程为3pcos6 psinB + 12 = 0【考点】两点间的距离公式，点的极坐标和直角坐标的互化，参数方程化成普通方程【分析】(1)由参数方程得出AfB的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出AB的值；(2)由AfB 的坐标得出直线AB的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.五、选修4-5：不等式选讲(1)解：v (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + lac + 2bc = 0 , ab + be + ca = - -(a2 + b2 + c2).v a, b, c 均不为 0 ,贝I a2 + b2 + c2 > 0 , a ab + be + ca = - (a2 + b2 + c2) < 0(2)解：不妨设 maxa,bfc = a ,由 a + b + c = O,abc = 1 可知，a > Ofb < 0,c < 0 ,>1o 7(b+c)2b2+c2-¥2bc、2bc+2bc . a = -b-cfa= , /. a3 = az - a =-=>=4 .bebebebe当且仅当b = c时，取等号，a > V4 ,即 maxa, b, c > V4【考点】基本不等式，分析法和综合法，不等式的基本性质【分析】(1)由(a + b + c)2 =小+ + C? + 2ab + 2ac + 2bc = 0结合不等式的性质，即可得出证明；(2)不妨设 maxa,bfc = a ，由题意得出 a > Ofbfc < 0 ，由 a3 = a2 - a = (Z?+c)2 = bZ+c2bc ,结合 bebe基本不等式，即可得出证明.A.a<c<bB. a<b<cC.b<c<aD. c<a<b2IL在AABC 中,cosC= - , AC=4, BC=3,那么 tanB=()3A. V5B. 2 V5112.函数 f(x)=sinx+ -,那么()sinxA.f(x)的最小值为2C.f(x)的图像关于直线x = n对称C. 4 V5D. 8 V5B.f（x）的图像关于y轴对称D.f（x）的图像关于直线% = y对称二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分。（共4题；共20分）x + y > 0,13.假设x, y满足约束条件2%-y20,，贝I z=3x+2y的最大值为. x < 1,2214 .设双曲线C：弓=1 （a>0, b>0）的一条渐近线为冲声x,那么C的离心率为.az bz%15 .设函数 /（%）=.假设 / （1）=：,那么 a=.八' x+aJ v 74.圆锥的底面半径为1,母线长为3,那么该圆锥内半径最大的球的体积为.三、解答题（共5题；共60分）.设等比数列an满足 的+ 2 = 4 ,。3 %L = 8.（1）求an的通项公式；（2）记Sn为数列Iog3an的前n项和.假设t = Sm +3 ,求m.16 .某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据 得到下表（单位：天）：锻炼人次空气质量等级0, 200(200, 400(400, 6001 （优）216252 （良）510123 （轻度污染）6784 （中度污染）720（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1, 2, 3, 4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）假设某天的空气质量等级为1或2,那么称这天空气质量好；假设某天的空气质量等级为3或4,那么称这 天”空气质量不好.根据所给数据，完成下面的2x2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为 一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次“00人次>400空气质量好空气质量不好附.K2 =n(ad-Dc)2 ,(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2>k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828.如图，在长方体ABCD -中，点E, F分别在棱DDr ， BBT上，且2DE = ED1，BF =(2)点G在平面AEF内.17 .函数 /(%) = x3 kx + k2 .(1)讨论/(%)的单调性；(2)假设f(x)有三个零点，求k的取值范围.18 .椭圆晦+菖=1(0血5)的离心率为平，A, B分别为C的左、右顶点.(1)求C的方程；(2)假设点P在C上，点Q在直线 = 6上，且|BP| = |BQ| , BPJL8Q ,求 4PQ的面积.四、选修牛4：坐标系与参数方程(共1题；共10分).在直角坐标系X3中曲线C的参数方程为箕二3:2代为参数且回，C与坐标轴交于A, B两点.(1)求| AB I：(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程.五、选修45：不等式选讲(共1题；共10分).设 a, b, c e R, a+b+c=O, abc=l.(1)证明:ab+bc+ca<0；(2)用maxa, b, c表示a, b, c中的最大值，证明：max(a, b, c> V4.答案解析局部一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分。在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目 要求的。1. B【考点】元素与集合关系的判断，交集及其运算由题意，4 nB = 5,7,11,故4nB中元素的个数为3.故B【分析】采用列举法列举出AnB中元素的即可.2. D【考点】复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算因为1-1 _(1T)2_ -2i1+7 - (l+i)(l-i) 一 故D【分析】先利用除法运算求得Z ,再利用共辄复数的概念得到Z即可.3. C【考点】极差、方差与标准差因为数据axi + b, (i = 1,2,，n)的方差是数据(i = l,2, 的方差的cl2倍, 所以所求数据方差为102x0.01=1故C【分析】根据新数据与原数据关系确定方差关系，即得结果.4. C【考点】独立性检验的应用/«)/«)Kl-|_e-O.23(t-53)所以 /(广)=-o；3CT3) = 095K，那么”.23(£*-53) = 19，所以，0.23(广一 53) = lnl9 x 3 ,解得t*总 + 53y66 .故C.【分析】将t =广代入函数/(t)= 一。黑_53)结合/«*) = 095K求得广即可得解.5. B【考点】两角和与差的正弦公式由题意可得：sin0 + - sin0 + cos0 = 1 ， 22贝!J： -sinO + cos0 = 1 ， sinO + -cos0 = , 22223从而有： sin0cos- + cos0sin-= ,663即 sin(0 + ) = y .故B.【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.6. A【考点】数量积的坐标表达式，平面向量数量积的运算，轨迹方程设48 = 2a(Q > 0),以AB中点为坐标原点建立如下图的平面直角坐标系,那么：4(一/ 0),8(/0),设 C(x,y),可得：AC = (x + afyBC = (% - afy)，从而：AC - BC = (x + a)(x a) + y2 9结合题意可得：(x + a)(x - a) + y2 = 1 ,整理可得：x2 + y2 = a2+ 1 ,即点C的轨迹是以AB中点为圆心，为半径的圆.故A.【分析】首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积的定义求解其轨迹方程即可.7. B【考点】抛物线的标准方程，抛物线的简单性质因为直线x = 2与抛物线y2 = 2p%(p > 0)交于C, D两点，且0。1 0E ,根据抛物线的对称性可以确定DOx = ZCOx =,所以。(2,2),4代入抛物线方程4 = 4p ,求得p = l ,所以其焦点坐标为6,0),故B.【分析】根据题中所给的条件OD1OE ，结合抛物线的对称性，可知/C0x= /C0x = ?，从而可以 4确定出点D的坐标，代入方程求得P的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.8. B【考点】直线的点斜式方程，点到直线的距离公式由y = k(x+ 1)可知直线过定点P(l,0)，设4(0,-1),当直线y = k(x + l)与AP垂直时，点A到直线y = k(x + 1)距离最大，即为 AP = V2 .故B.【分析】首先根据直线方程判断出直线过定点P(-L0)，设4(0,1)，当直线y = kQ + l)与AP垂直时，点A到直线y = k(x+ 1)距离最大，即可求得结果.9. C【考点】由三视图求面积、体积根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形1根据上体图形可得：S&ABC = S&ADC = Scdb = X2x2 = 2根据勾股定理可得：AB = AD = DB = 2V2AADB是边长为2企的等边三角形根据三角形面积公式可得：119 V3S“DB =-AB-AD-sin60 = - (2a/2)2 =2a/3该几何体的外表积是：3x2 + 2/5 = 6 + 28.故C.【分析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其外表 积.10. A【考点】指数函数单调性的应用，对数的运算性质，对数函数的单调性与特殊点因为 a = log323 < 310g39 = I = c , b = 90g533 > 30g525 = | = c ,所以CL < c < b故A【分析】分别将a,b改写为a = |log323 , fo=|log533 ,再利用单调性比拟即可.11. c【考点】同角三角函数间的基本关系，余弦定理设 AB = c, BC = a, CA = b2c2 = a2 + b2 - 2abeosC = 9 + 16 2x3x4x- = 9a c = 3a2 + c2 b2 1I 4/5r-cosB =- sinB = 1 - (-)2 = tanB = 4V5lac 9J9故C【分析】先根据余弦定理求C,再根据余弦定理求COSB ,最后根据同角三角函数关系求tanfi.12. D【考点】基本不等式在最值问题中的应用，正弦函数的图象，正弦函数的定义域和值域V sin%可以为负，所以A不符合题意;,sin% H 0 . W kn(k e Z) v /(%) = sinx -= /(%). /(%)关于原点对称;11., /(2兀 一 %) = -sinx - W /(%),/(兀-%) = sinx + - = f (%), B 不符合题意;/(%)关于直线对称，C不符合题意，D对故D【分析】根据基本不等式使用条件可判断A;根据奇偶性可判断B;根据对称性判断QD. 二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分。13.7【考点】二元一次不等式(组)与平面区域不等式组所表示的可行域如图因为z = 3x + 2y ,所以y =与+ ；易知截距f越大，那么z越大,平移直线、=-竽，当y =-争+ ：经过A点时截距最大，此时z最大, 由，得;二;，4(1,2),所以 Zmax = 3x14-2x2 = 7 .故7.【分析】作出可行域，利用截距的几何意义解决.14. V3【考点】双曲线的简单性质22由双曲线方程+ -3=1可得其焦点在X轴上, az bz因为其一条渐近线为yWx，所以' =,e = ； = Jl + /-故V3【分析】根据可得- = V2 ,结合双曲线中a,b,c的关系，即可求解. a15. 1【考点】导数的运算由函数的解析式可得：/'(%) =由函数的解析式可得：/'(%) =ex(x+a)-ex _ ex(x+a-l)(x+a)2(x+a)2那么：/ (1)=e1x(l+a-l)(1+a)2嬴，据此可得：品=5，整理可得：a2 - 2a + 1 = 0 ,解得：a = l .故1.【分析】由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数a的方程，解方程即可确定实数a的值1 a16. 713【考点】球的体积和外表积易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如下图, 其中BC = 2tAB = AC = 3 ,且点M为BC边上的中点，设内切圆的圆心为。，由于 AM = V32 I2 = 2V2 ，故 S&abc = ： x 2 x 2a/2 = 2V2 ,设内切圆半径为r ,那么：illSabc = Saob + Sboc + Sbaoc = x r + -x BC x r + -x AC x r=-x (3 + 3 + 2) xr = 2V2 ,2解得：r = 9其体积：V = - nr3 = tt. 233故也TT.3【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值. 三、解答题（1）解：设等比数列册的公比为q ,根据题意，有严尸,解得, _ Q = 8i q = 3所以an = 3nt(2)解：令%=log3ali = log33nt 二九一 1 , r pi c _ n(0+n-l) _ n(n-l)根据"+ S* = S*3，可得 + 智2 =不等2，整理得m2 5m 6 = 0 ,因为m > 0 ,所以m = 6【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前n项和，等比数列的通项公式【分析】（1）设等比数列an的公比为q，根据题意，列出方程组，求得首项和公比，进而求得通项 公式；（2）由（1）求出log3an）的通项公式，利用等差数列求和公式求得Sn ,根据列出关于m 的等量关系式，求得结果.17. （1）解：由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为 誓萨 = 043 ,等级为2的概率为概率为5+10+12100=0.27 ,等级为3的概率为6+7+8100= 0.21，等级为4的概率为寄户。.09（2）解：由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为100人次 400人次 400空气质量不好3337空气质量好228100X20 + 300X354-500X45。厂八=35U（3）解：2x2列联表如下:氏2 _ 100x(33x8-37x22)2 55x45x70x305.820 3.841因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.【考点】频率分布表，独立性检验的应用【分析】（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率；（2）利用 每组的中点值乘以频数，相加后除以100可得结果；（3）根据表格中的数据完善2X2列联表，计算出 K2的观测值，再结合临界值表可得结论.18. （1）解：因为长方体 45co,所以 BB1 1 平面 ABCD ：. AC 1 BBr , 因为长方体ABCD - ACAB = BC，所以四边形ABCD为正方形a AC 1 BD 因为 BB± n BD =BD u 平面 BBRD ,因止匕 AC 1 平面 BBRD ,因为EF u平面BBD、D，所以AC 1 EF