第13讲-基本不等式.docx

第13讲基本不等式【知识点总结】1.几个重要的不等式（1） a1 >0aeR4a >0（<2>0）,|« >0（2e7?）.（2）基本不等式：如果£/?十,那么巴史上疝（当且仅当时取2特例：0, + 工22;9 + 222（/同号）. a b a（3）其他变形：/ +b2 >y_ （沟通两和a+b与两平方和a2 +从的不等关系式）2/2abW （沟通两积ah与两平方和a2 + b2的不等关系式）2（6/ + /? V- （沟通两积人与两和Q +6的不等关系式） 2 J重要不等式串:21 r+-a b调和平均值匕几何平均值匕算数平均值M平方平均值（注意等号成立的条件）.2.均值定理 x, y £ R+.（1）如果x+y = S（定值），那么孙VS2=（当且仅当“ x = y ”时取"=”）.即”和为定值，积有最大值”.（2）如果;二尸（定值），那么x+yN2而 =2互（当且仅当= 时取"=”）.即积为 定值，和有最小值二【典型例题】例1. （2022江苏高三专题练习）几何原本卷2的几何代数法（以几何方法研究代 数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定 理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如下图图形，点尸在半圆。上， 点。在直径A3上，且。尸，AB,设AC = q, 3C = b,那么该图形可以完成的无字证明为（）O C BO C Bx 2yr当且仅当2y x ,即广。时，等号成立.（+ 2），-2 孙=0" = 2应选：D.10. （2022全国高三专题练习）假设对满足8。+ ="的任意正数a b及任意xeR,不 等式。+ 22-/+23 + 18-机恒成立，那么实数加的取值范围是（）A. -6,+oo） B. （-oo,-6C. （-oojD. l,+oo）【答案】A【分析】利用基本不等式“1，的妙用求得。+ 2万的最小值，即可转化为二次不等式恒成立问题， 利用判别式求得实数机的取值范围即可.【详解】正数。，满足8q + = q/?,.81 z （2b- 12b 8。” 不19 q + 2Z7 =（4 + 2Z?） l 17 H1 217 + 2=25,b ab a） a b a b当且仅当至=学，即人= 2a,。= 5, = 10时，等号成立，a b：.25>-x2+2x + 18-m,即d 21+ 7 +加20对任意实数不恒成立，/. A = 4-4（7 + m）<0 ,解得.应选：A.【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正各项均为 正；二定积或和为定值；三相等等号能否取得"，假设忽略了某个条件，就会出现错 误.11.（2022全国高三专题练习）设机，为正数，且加+ = 2,那么一+ 一匚的最小 m + l + 2值为（）A. 3 B. 2C. 1D. i2345【答案】D【分析】由m+ = 2得m+1 + + 2 = 5,再利用基本等式“1”的代换进行求解.【详解】由根+ = 2得7+1 + + 2 = 5 ，111 z 11、/.c、1 /c + 2 m + 1、1= (1) (/72 + 1 + + 2) = (2 H1)加 +1 + 2 5 "2 + 1 + 25771 + 1 + 2一/+ 2、/2 + 1、f4T2 + 2 (-).(-) = -，5 V 机 + 1 + 25 +2 "2 + 131当且仅当丝="，即机=：时取等号，m + l + 222应选：D.【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正各项均为 正；二定积或和为定值；三相等等号能否取得"，假设忽略了某个条件，就会出现错 误.二、多项选择题12. (2022江苏高三专题练习)q>0, h>Q,且"+"2=2,那么以下不等式中一 定成立的是()A. ab< B. - + -<2C. lg6/4-lgZ?< 1 D. a + bW2a b【答案】ACD【分析】利用基本不等式逐一判断四个选项的正误即可得正确答案.【详解】对于选项A： CT +Z;2 = 2>2ab ?所以必<1,当且仅当Q = b = l时等号成立，应选项A 正确；对于选项B：4+4=色也23匣=之，因为所以$21,所以 a b ab ab yjab7 ab- + -> = >2,当且仅当。= =1时等号成立，应选项B不正确； a b ab yjab对于选项C： IgQ + lg人= lg"lgl =。，应选项C正确；对于选项D：因为巴也< 忙互=1,所以Q + bW2,当且仅当Q = b = l时等号成立， 2 V 2应选项D正确；应选：ACD三、填空题13. (2022浙江高三专题练习)假设>0, b>0,且。+=4,那么以下不等式恒成立的是 (填序号).二<，；，+ ?<1；（4）（72 + /?2>8.ab 4 a b【答案】【分析】结合基本不等式进行逐个判定，直接利用基本不等式可判定正误，通过变形可 得正误.【详解】因为4 = +人22而（当且仅当时，等号成立），即疝W2, 后4,二之：，故不成立；ab 41 1 a + b 4 , 一 + - = = >i ,故不成”；a b ab aba2 +Z?2 = （ + b）2 -2ab = 16-2ab > 8,故成立.故答案为：.14. （2022全国高三专题练习）假设0<。< 那么。（1-2。）的最大值是 【答案】）O【分析】41 -2a） = g（2a）（l -2a） < g1生:2叫）即可求得最值.【详解】21.n / 1 / / x （2a + （1 2a） ）10<a<-9 故 1 2q>0,那么 （1_2） = _（2。）（1_2）<_L =,，22（2）8当且仅当2a=1-2即=，时取"=",4故答案为：.O15. （2022.全国高三专题练习）假设正数次»满足4/+99+39 = 30,那么冲的最大值是 【答案】2【分析】利用基本不等式进行转化即可.得解.【详解】由龙0, y > 0 ,得 4x2 + 9y2 + 3xy N 2（2x）-（3y） + 3xy ,当且仅当2x = 3y时等号成立，12肛+ 3q<30,即孙42,D的最大值为2.故答案为：216. （2022.全国高三专题练习）函数y = /3+i （0且"1）的图象恒过定点A, 假设点A在直线式+羽-1 =。上，其中m>0, >0,那么加的最大值为.【答案】工24【分析】根据指数函数的图像性质求出A点坐标，代入直线方程，利用均值不等式即可求解.【详解】解：函数），=优一3+1（Q0且"1）的图象恒过定点人.,.A（3,2）,点A在直线犹+ y-l = 0上，/. 3m + 2n = 1,又 m>0, > 0 ,/. 1 = 3m -2n> 2d3mx 2n ,1f 3/t? = 211/. mn < ,当且仅当',即"2 =时等号成立，243/71 + 2/1 = 164所以mn的最大值为，24故答案为：24417. （2022全国高三专题练习）当x>l时，x + ；的最小值为.x-【答案】5【分析】44将所求代数式变形为x +'7 = x-l +' + l,利用基本不等式即可求解.x-1x-1【详解】因为x>l,所以x-l>0,44 I 4所以 x += X-1 +bl > 2J（x-l）x+ 1 = 5 ,x-1x-1 v x-14当且仅当x-1 =即x = 3时等号成立，x 1所以x的最小值为5 ,x-1故答案为：5.1 418.(2022全国高三专题练习)x, y>。，且满足x+y = 2,那么+ + %+)，的最 % y小值为13【答案】y【分析】1 41 414、将一+ + x+» = 2 + + = 2 +大一+ (x+y)展开利用基本不等式即可求解.x yx yy)【详解】因为X+y = 2 ,1 41 41，1 4、所以I kx+y = 2d 1 = 2h I (x+y)x yx yy)c 1/u >个 1 f _ ly _113=2h 5H 1> 2h 5 + 2 I=2-1x(5 + 2x2)=,2121y )22当且仅当x+ y = 2 y _4x x y2% =3:时等号成立,y 二31 413所以一+ + x+y的最小值为彳.x y213故答案为：.19. (2022全国高三专题练习)x0, y>0,且2x+8y 冲=。，那么x+>的最小值为【答案】18【分析】9 q2 8等式2x+8y-外=0变形为一+= 1,那么x+y = (x+y)(+-)根据基本不等式即可得到答 y xy x案.【详解】解：x>0, ?>0,且2x + 8y =0.2 Q2x + 8y = xy,即：+ - = 1. y x I/、/2 8、 2x 8y 1八 2x 8y 1八贝ij x + y = (x + y)(F) =F + 1()./+ 10 = 18,y x y x V y x当且仅当一 二一，x = 2y = 12时取等号， y %所以x+y的最小值为18.故答案为：18.20. （2022全国高三专题练习）。力£R,且。2匕+1=0,那么2+，的最小值为【答案】O【分析】首先根据题意得到力=-1,再利用基本不等式求解即可.【详解】由 2 + 1 = 0 得。勖=1,所以2 +:2 + 2口 > 2万万=V2 ,当且仅当2=2一2J即=，人=:时取等号.24故答案为：O（2022上海高三专题练习）假设。>0">0,那么工+二+ b的最小值为. a o【答案】272【分析】两次利用基本不等式即可求出.【详解】a>0 , b>0 ,Q 7 c H丁 72 7c 12 ._ fT1- - + /?> 2A + b = -b> 2.1-b = 2v2 ,a b2b2 b b当且仅当工=且 = 即a = b =行时等号成立， a b所以:+及+匕的最小值为2拒,故答案为：2也.21. （2022全国高三专题练习）已矢口/（"=1+3x + 6（xo）,那么的最小值是X I 1【答案】5【分析】将函数y = "x)的解析式变形为"x) = (x+i)+/7 + i,然后利用基本不等式可求得该 函数的最小值.【详解】当%>0时，X+1>1, /(%) =(% +3%+2)+ 4=x+2 + - = (x+i) + - + i' )x+1x+1 17 x+1川(川)昌+ 1 = 5,4当且仅当x + l = ，即当x = l时，等号成立， X+1因此，函数y = /(x)(x>o)的最小值为5.故答案为：5.【点睛】此题考查利用基本不等式求解函数的最小值,解答的关键就是对函数解析式进行化简变 形，考查计算能力，属于基础题.2(2022.全国.高三专题练习)设工,儿z为正实数，满足x-y + 2z = 0,那么二的最 xz小值是.【答案】8【详解】解：由题意可得：y = x+2z ,那么：x 4z A x 4z ,仆+ + 4> 2 x +4 = 8 ，z x V z xy2 (x + 2z)2 xz xz2当且仅当X = 2z时等号成立，即：上的最小值是8.XZ点睛：应用基本不等式要有两个防范意识：一是在应用基本不等式求最值时，要把握不 等式成立的三个条件，就是“一正各项均为正；二定积或和为定值；三相等等/» 2号能否取得、假设忽略了某个条件，就会出现错误.对于公式尼2必，ab<- ， I 2 )要弄清它们的作用、使用条件及内在联系，两个公式也表达了必和，+人的转化关系.二是 在利用不等式求最值时，一定要尽量防止屡次使用基本不等式.假设必须屡次使用，那么一定要 保证它们等号成立的条件一致.23. (2022全国,高三专题练习)函数丁=一+2：+2的值域是.x+1【答案】(-8，-2U2,+8)【分析】将函数），='+2：+2进行化简,得至IJ（x + l）.+=（x + ）+ _L,分别对x + l>0和x+lX+1 v 7 X+1x+l<0,利用基本不等式，得到答案.【详解】函数y =函数y =x + 2x + 2x + 1_(x + l)2+l= (x + l) +当x+。，由基本不等式得/（1） + +22'当且仅当X + 1 = 匚，即x = 0时，等号成立，X+1当无+1 <0时，由基本不等式得y = （x + l） +-W-2, x + 当且仅当x + l =7，即x = 2时，等号成立，x+1所以函数的值域为（-8，-2U2,+8）,故答案为（8,2U2,+8）.【点睛】此题考查求具体函数的值域，属于简单题.24. （2021 四川.成都七中一模（文）实数满足4/ + y2 + %y = i,那么2x+y的 最大值为.【答案】5【分析】利用基本不等式，即可求解.【详解】解：1 = 4炉 + V + 冲=（2x+ y）2-1（2xy） >（2x+ 4 - 生=|（2x+ » ,22 z 7 o即2x+yW#e,（当且仅当2% = >,即 =半,丫 =回时一，取等号）故答案为：3叵 525. （2020.辽宁,开原市第二高级中学三模）如图，将一矩形花坛A3CD扩建成一个 更大的矩形花坛AM/W,要求点B在AM上，点。在4V上，且对角线MN过点C,已知 AB = 4, AD = 39 那么当 =时，矩形花坛的AMPN面积最小，最小面积【答案】448【分析】12(设那么 AN = 3 + ,那么 S.pn=(x + 4)3 +12、48= 3x + + 24,结合基本不等式 x即可得解.【详解】r312解：设3M=x,那么=,那么AN = 3 + , 4 + x ANx贝iJS,pn=(x + 4) 3 +12、4848= 3x + + 24.2J3x-+ 24 = 48,48当且仅当3x = ,即x = 4时等号成立，故矩形花坛的面积最小值为48. x即当9/=4时，矩形花坛的4WW面积最小，最小面积为48.故答案为:4； 48.A. > yfab(ci > O.b > 0) 2B. a1 -h2 > 2sah(a > 0,h > 0)C. a < yfab(a > 0,b > 0) a + b【答案】D【详解】D.2，'+” (q>0,"0)设AC = a,3C = b,可得圆。的半径为 = Ob = _lAB = i, 22T7 A 八. cn . a + b 7 a-b又由 OC = OB-BC =h =,22在直角4OCF中，可得尸。2 = 0C2 + 0F2=(9心)2 + (空)2 = a +”,222因为R94/C,所以巴史亡,当且仅当Q = /?时取等号. 2 V 2应选：D.例2. （2022全国高三专题练习（文）假设实数满足V + y2+xy = i,那么尤+y的取值 范围是（）- 2>/3 26（2指 1A. ,- B. ,3333L17【答案】A【详解】解:/X2 +，+ 盯=1 =盯= （x+y）2 -1 ,T7 /X+>、2 又职，（一）,.（x+»_l,（三上）2，令%+>=，那么 4/-4 t2 ,毡领）逑，即迪勃k+y班,3333"+y的取值范围是-卓，芋.应选：A.例3. （2022全国高三专题练习）a, b, c均为正数，且。儿=4（+回，那么+/?+。的最小值为（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】D【详解】C.272 272T'T当且仅当=y时,D.取等号,(272 2世)4 4由 m b, c 均为正数，abc=4(a+b),得 c= 一+ 7, a b4 44444代入得 a+O+c=a+OH 1 = （an） + ）N2 Ja一 +2 J/?一 =8, a bab a b当且仅当，=2时，等号成立，所以a+b+c的最小值为8.应选：D例4. （2022全国高三专题练习）假设x, "R , 2'+2、'=1，那么冗+的取值范围是（）A. （一8， -2 B. （0,1）C. （-00, 0D. （1，+8）【答案】A【详解】因为 1 = 2* + 2y.2丘.2y = 2V2777 ,所以 4即"-2,当且仅当 2、=2''=J,即 x=y = l 时取“ 二，所以x+y的取值范围是（-8 , -2.应选：A.例5.（2021 山西大同高三阶段练习（理）点尸（S）在直线x + 2y = 3上，那么与+4的最小值为（）A. 2B. 272C. 472D. 4【答案】C【详解】丁点力）在直线x + 2y = 3上，/. a + 2Z? = 3 ,所以2"+4" 2 2"前=40当且仅当a = 2b时，等号成立应选：C.例6.（2021 四川.乐山市教育科学研究所一模（文）x>0, >>0,且4工+ 2丁一肛=0,那么2x+y的最小值为（）A. 16B. 8 + 472C. 12D. 6 + 4、金【答案】A【详解】由题可知 2 + 3 = 1,乘“广得 2x+y = （2x+y）- + 1L + - + 8> 2 P + 8 = 16 ,xyy） y x y x当且仅当一二一时，取等号，那么2x+y的最小值为16.应选：A例7.（2021 贵州遵义高三阶段练习（文）m b为正实数，且满足3。+ » = 6,2 3那么3 + ；的最小值为（）a bA. 2B. 272C. 4D. 372【答案】c【详解】n h由3q + % = 6,可得7 + 7 = 1， 2 32 3 （2 3Ya b 3 2h 3a 。 J2b 3a A+ -= + + =2 + + > 2 + 2J=4 ,a hh）2 3）3。2b 3ci 2b当且仅当* =当且3 +仍=6,即，=1/ =时等号成立. 3a 2b2应选：C.例8.（2021重庆西南大学附中高三阶段练习）x，y>（ 大值为（）),x + 9y +冲=7,那么3盯的最A. 1B. 2C.【答案】C【详解】解：因为 x，y>0，x + 9y +盯=7,所以 7-q = 即孙 + 6后-7<0 ,那么+ 7）（5-l）<0 , 所以-74而m1,又x,y>。，所以。<孙41, 应选：C.例9.（2021 江西高三阶段练习（理），那么实数几的取值范围为（）A. 5,+oo）B. 9,-hx）C.【答案】D【详解】/ 因为。、Z?e（0,-Ko）,由可得2W（Q + b）EdC 4Y 7、 b 4a _ Jb 4a 因为 一+ （ + /7） = + + 5>2 /+5a b）a b a b3D. 4x +> 2J尢. 9y = 6y/xy ,所以3孙最大为3.a、Z?e(0,4w),假设，+。之工7恒成立,(,5D. (-oo,91 4、+ 7 ，a b 7=9,当且仅当 =2时等号成立，故实数4的取值范围为（f,9,应选：D.【技能提升训练】一、单项选择题（2022全国高三专题练习（理）函数/3 = 4% +幺（工0,。>0）在 = 3时取得 x最小值，那么。等于（）A. 6B. 8C. 16D. 36【答案】D【分析】利用基本不等式“一正，二定，三相等”求解即可【详解】因为/6） = 4%+且。0,。0）,故41+ 322.反? = 4五,当且仅当4工=区,即工=正 xx V xx2时取等号，故巫=3, = 362应选：D【点睛】均值不等式4 + 6 2 2/ ：一正：a>0,b>0,二定：必为定值，三相等：当且仅当。=。时等号成立1. （2021 黑龙江大庆实验中学高三阶段练习（文）三国时期赵爽所制的弦图由四个全等的直角三角形构成，该图可用来解释以下哪个不等式（）A.如果那么q>c；B.如果>b>0,那么2>从；C.对任意实数。和6,有当且仅当。=时等号成立;D.如果。>人，。0,那么。>仇？.【答案】C【分析】设图中直角三角形的直角边长分别为。力，那么斜边长为行两，进而可表示出阴影面 积以及外围正方形的面积，由图可得结果.【详解】设图中全等的直角三角形的直角边长分别为/，那么斜边长为行至图中四个直角三角形的面积和为4xhX4xA = 2",外围正方形的面积为由图可知，四个直角三角形的面积之和不超过外围正方形的面积，所以2必<+, 当且仅当。二时，等号成立.应选：C.2. (2020.广东.普宁市第二中学高三阶段练习)以下不等式一定成立的是()A. 1gA. 1g> Igx (x > 0)B. sinx +> 2 (xk/r.k e Z)sinxC. x2 +l>2xD：当x = l时，有77r”,故不等式不一定成立;D. >1 Ue/?)x +1【答案】C【分析】应用特殊值法，即可判断A、B、D的正误，作差法有12+1_2凶=(|划-ifNO,即可 确定C的正误.【详解】A：当x 时，有馆=2+:=怆乙 故不等式不一定成立；2 I 4；B：当sinx = l,即x = 2% +物(ZeZ)时，有sinx +一=一2 < 2 ,故不等式不一定成C： f+i 2'=(|x|-1)220恒成立;应选：cr2 3 r + 34. (2022全国高三专题练习)函数)，="(x<-1)的最大值为()【答案】D 【分析】将函数的解析式进行变形，再利用基本不等式，即可得答案;【详解】d+3x + 3 (x + l)2+(x + l) + lX+ 1= -(X4-l) + -L + l(X + D<-2 J-(x+ 1)(-当且仅当x + l =/7 = -1,即x = -2等号成立.x+1应选：D.【点睛】此题考查基本不等式求最值，考查运算求解能力，求解时注意等号成立的条件.5. (2022全国高三专题练习)假设其:，那么/(x)=三二如±12有()2x-3C.最大值2D.最小值2A.最大值gB.最小值g22【答案】D【分析】构造基本不等式八幻=(%-3)+士即可得结果.【详解】7Vx>-, A x-3>0, 2/(x)=/(x)=x2 -6a： + 10_(x-3) +1x 3x3=2当且仅当即I时，等号成立，即小)有最小值2.应选：D.【点睛】此题主要考查通过构造基本不等式求最值，属于基础题.2 1(2022浙江高三专题练习)x>0,)>0,且x+2y=l,假设不等式一+ >根2+7机 x y恒成立，那么实数力的取值范围是()A. - 8<m<l B. m< - 8 m>l C. - l<m<8D, m< - I m>8【答案】A【分析】2 12 1 4yx=2 1由题意可得一+ = (x+2y) (+ ) = + + 4>4+2y/4 = 8,不等式一+ 之加2+7勿2xyxyxyxy2 1.成立Qz2+7m< ( + ) min,即可求得实数的取值范围. 1 y【详解】解:Vx>0, y>0, x+2y= 1,2 12 14yx厂 ,4y x1.一 + = (x+2y)(+ ) = + + 4>4+274 = 8.(当=,即 x=2y=7；时取等x yy x yx y2号)，2 1*/不等式一 2 m2+7m成立，% y: m2+777i<8,求得 - 8<m<l.应选：A.19(2022全国高三专题练习)非负数羽满足x+y = l,那么一-+ 一的最小值是 x+1 y+2( )A. 3B. 4C. 10D. 16【答案】B【分析】根据基本不等式，结合“1”的妙用即可得解.【详解】由 x+y = l,可得 x + i + y + 2 = 4,91191 C、7H- (r + -)(x +1 + y + 2)x+l y+2 4 x+l y+2=1 (1 + 9 +9+空当10 + 214 x + 1 y + 24 N x + 1 y + 2当且仅当+ 2 = 3。+1)取等号，应选：B（2022.全国.高三专题练习）设均为正实数，且+ = 1,那么x+y的最小 2 + x 2 + y值为（）A. 8B. 16C. 9D. 6【答案】A【分析】根据题中条件,根据题中条件,将所求式子化为x+y = （2 + x） +（2 + y）.1x+2 y+2)-4,展开后,再利用基本不等式,即可得出结果.【详解】33因为x，y均为正实数+=2 + x 2 + y所以 x+y = 2 + x+2 + y 4 =(2+x)+(2+y),(33 )1、x + 2)，+ 2 ,4=3(2 +工汩、x+2 y+2.-4>3 2 + 2y + 2 x + 2 x+2 y+2.y+ 2 x + 2一4 = 12-4 = 8,当且仅当=，7P即x = y = 4时取等号.因此x+y的最小值为8.应选：A.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1） “一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2） “二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最 大值，那么必须把构成积的因式的和转化成定值；（3） “三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，假设不能取等号 那么这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.9.（2022全国高三专题练习）假设正数%），满足工+ 2丁-2孙=0,那么工+ 2丁的最小值为（）A. 9A. 9B. 8C. 5D. 4【答案】D【分析】将条件化简得到V,然后将变换成（"23?%然后化筒整理 结合均值不等式求解即可.【详解】由 x + 2y - 2孙=0,有 x + 2y = 2g，所以1 + , = 1,。空=4, 2y x。空=4, 2y x2y x那么(x + 2y)1 = (x + 2y) (1) = 2 H1 2 2 + 22yx 2y x