考研资料 2003－数三真题、标准答案及解析.docx

2003年考研数学(三)真题一、填空题(此题共6小题，每题4分，总分值24分.把答案填在题中横线上)cos / X W 0.(1)设/二其导函数在x=o处连续，那么；I的取值范围是0, 右 x = 0,(2)曲线 = /3/x + b与x轴相切，那么/可以通过a表示为 =(3)设 a>0, /(%) = g(x)=(3)设 a>0, /(%) = g(x)=右% : < 1'而 D 表示全平面，那么 / = J fxgy-x)dxdy = 其彳也,d(4)设n维向量。=(,0,0,)丁,。0； E为n阶单位矩阵，矩阵A = E-aa1 , B = E + aaJ ,a其中A的逆矩阵为B,那么=.(5)设随机变量X和Y的相关系数为0.9,假设Z = X0.4,那么Y与Z的相关系数为.(6)设总体X服从参数为2的指数分布，X1,X2，,X为来自总体X的简单随机样本，那么当 T 8时，'X；依概率收敛于.几i=二、选择题(此题共6小题，每题4分，总分值24分.每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设f(x)为不恒等于零的奇函数，且/'(0)存在，那么函数g(x) =但x(A)在x=0处左极限不存在.(B)有跳跃间断点x=0.(C)在x=0处右极限不存在.(D)有可去间断点x=0.(2)设可微函数f(x,y)在点(x°,y0)取得极小值，那么以下结论正确的选项是(A) /(%/)在=%处的导数等于零.(B) /(%»)在=方处的导数大于零.(C) /(%(), 丁)在y = M)处的导数小于零.(D) /(%(), y)在y = X)处的导数不存在.a + aa a(3)设，=一qn =加=1,2,，那么以下命题正确的选项是22000000(A)假设Z%条件收敛，那么E”与E/者e收敛. =1n=ln=80000(B)假设2%绝对收敛，那么Zp 与±9 都收敛.=1n=n=【分析】按照相互独立与两两独立的定义进行验算即可，注意应先检查两两独立，假设成立，再检验是否相互独立.【详解】因为p(A)= J," = ：，p(4) = ；，-1且 P（A4）= ；，P（A1A3）= ；, p（A2A3）= i, p（&At）= ； P（A44）= o, 可见有p（AA2）= p（A）p（a2）, p（A4）= p（a）p（a）, p（a2a3）= p（a2）p（a3）9 p（A44）w p（4）p（4）p（A3）, p（4Aj 丰 p（a2）p（a4）.故A，4,4两两独立但不相互独立；4,4,为不两两独立更不相互独立，应选（c）.【评注】此题严格地说应假定硬币是均匀的，否那么结论不一定成立.三、（此题总分值8分）设于（*）=1 +于（*）=1 +sin 玄 乃(1 一 x)1).试补充定义f使得f（x）在Lu上连续.【分析】只需求出极限然后定义f为此极限值即可.X->1-【详解】因为lim /(%)= lim + -xf x->r jix sinr tt(I-x)11%(1 一 x) sin/a=+ lim -n 不 (l-x)sin 亦11-7T-7TCOS71JC=I lim ；71 乃 Xfl- - sin + (1 - X)7l COS 71X11rsin/zxI limn x->一"cos玄一cos亦一（1一人）一 sinr71由于f（X）在J,l）上连续，因此定义2川），71使f(x)在g ,1上连续.【评注】此题实质上是一求极限问题，但以这种形式表现出来，还考查了连续的概念.在计算过程中,也可先作变量代换y=l-x,转化为求y -0+的极限，可以适当简化.四、(此题总分值8分)设f(U,V)具有二阶连续偏导数，且满足装 + 江 =1,又g(X,y) = /盯(丁),求 dir2dx1 dy2【分析】此题是典型的复合函数求偏导问题：g = /(#), =孙# = '(，/),直接利用复合a2 f32 f函数求偏导公式即可，注意利用一 dudv dvdu【详解】退:y或十包,dxdudv迤=、也一 y或dydudv所以e2 g dx2送=/a_2xy"+y2也.更dy2 du2 dvdu dv2 dvd2g d2g / 2 2 32 fa2/*+* =（% +y）*+odx2 dy2du2dv2y2du2+ 2孙亚+ /空+更, dudv dv2 dv=x2 +y2.【评注】此题考查半抽象复合函数求二阶偏导.五、(此题总分值8分)计算二重积分/ = JJ/(3+)、)sinf；/ + ,2)dxdy. D其中积分区域D=(x,y) +y2 <».【分析】从被积函数与积分区域可以看出，应该利用极坐标进行计算.【详解】作极坐标变换：x= rcos3.y = rsm3,有/ = e'JJ e(x +y ) sin(x2 + y2)dxdy D兀Z TVd0 rero Josin /dr.令，=/,那么J、冗e sm tdt.o记 A = e-lsmtdt,那么-e sin? - e cos力0 Jo=- cos tdeJo= -ef cost711加 _t+ e sm tdt o Jo= e +1-A 因此A = g(l + e-"),TTP71TTye*.【评注】此题属常规题型，明显地应该选用极坐标进行计算，在将二重积分化为定积分后，再通过换 元与分步积分（均为最基础的要求），即可得出结果，综合考查了二重积分、换元积分与分步积分等多个基 础知识点.六、（此题总分值9分）8求幕级数1 + Z（T） （w< 1）的和函数f（x）及其极值.n=2【分析】先通过逐项求导后求和，再积分即可得和函数，注意当x=0时和为1.求出和函数后，再按 通常方法求极值.【详解】00尸(X)= Z(-心2一=1X1 + x2上式两边从。到X积分，得(*X t1r/(X)- f(0) = -力=-ln(l + X2).JL I l乙由 f(0)=l,得1 9f(x) = l-ln(l + x2)X|<l).令/Q) = 0,求得唯一驻点x=o.由于l-x2"一Eno)=-i<o,可见f(x)在x=0处取得极大值，且极大值为 f(O)=l.【评注】求和函数一般都是先通过逐项求导、逐项积分等转化为可直接求和的几何级数情形，然后再 通过逐项积分、逐项求导等逆运算最终确定和函数.七、(此题总分值9分)设F(X)=f(X)g(X),其中函数4*)£g)在(一8,+00)内满足以下条件：/'(%) = g(x), gx) = f(x),且 f(0)=0, f(x) + g(x) = 2ex.(3)求F(x)所满足的一阶微分方程；(4)求出F(x)的表达式.【分析】F(x)所满足的微分方程自然应含有其导函数，提示应先对F(x)求导，并将其余局部转化为用 F(x)表示，导出相应的微分方程，然后再求解相应的微分方程.【详解】(1)由/(X)= /'(x)g(x) + f(x)gf(x)二 g2(x) + /2(x)= "(%) + g(%)一 2/(%)g(%)=(2)2-2F(x),可见F(x)所满足的一阶微分方程为FXx) + 2F(x) = 4e2x.(2) F(x) = e J J4/ / dx+ C= e-2x4e4xdx+C= e2x+Ce-2x.将F(O)=f(O)g(O)=O代入上式，得C=-l.于是F(x) = e2x-e-2x.【评注】此题没有直接告知微分方程，要求先通过求导以及恒等变形引出微分方程的形式，从题型来说比拟新颖，但具体到微分方程的求解那么并不复杂，仍然是基本要求的范围.八、(此题总分值8分)设函数f(x)在0, 3上连续，在(0, 3)内可导，且f(0)+f(l)+f(2)=3,我3)=1.试证必存在自£(0,3),使/C) = o【分析】根据罗尔定理，只需再证明存在一点cE 0,3),使得/(c) = 1 =/(3),然后在c,3上应用罗尔定理即可.条件f(0)+f(l)+f(2)=3等价于+1,问题转化为1介于f(x)的最值之间，最3终用介值定理可以到达目的.【详解】因为f(x)在0,引上连续，所以f(x)在0, 2上连续，且在0, 2上必有最大值M和最小值m,于是m < /(I) < M , m < /(2) < M .故3由介值定理知，至少存在一点0,2,使/ (0) + /(I) + / (2)J © = 1因为f(c)=i=f(3),且f(x)在c,3上连续，在(c,3)内可导，所以由罗尔定理知，必存在j£(c,3)u(0,3), 使/C) =。.【评注】介值定理、微分中值定理与积分中值定理都是常考知识点，且一般是两两结合起来考.此题 是典型的结合介值定理与微分中值定理的情形.九、(此题总分值13分)二0, =0, =0,=0,齐次线性方程组(6 + b)Xx + a2X2 + 6Z3X3 db anx4玉 +(64 +b)x2 +3X3 + + anx axxx + a2x2 + (a3 + b)x3 H F anxaxxx + a2x2 + 由七 HF (q + b)xn其中Z / w 0.试讨论为,。2，。和b满足何种关系时,Z=1(1)方程组仅有零解;(2)方程组有非零解.在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.【分析】方程的个数与未知量的个数相同，问题转化为系数矩阵行列式是否为零，而系数行列式的计 算具有明显的特征：所有列对应元素相加后相等.可先将所有列对应元素相加，然后提出公因式，再将第一 行的(-1)倍加到其余各行，即可计算出行列式的值.【详解】方程组的系数行列式a1+baxa1+baxa2a2+ba,乙% +b许ana2a+b（/?+ £%）./=1(1)当 WO时且+ £4. WO时，秩(A)=n,方程组仅有零解. /=!(2)当b=0时，原方程组的同解方程组为axxx + a2x2 Hb anxn = 0.% 二（一”1,。,。儿 % ax由才生。0可知，,(，=1,24,")不全为零.不妨设外。0,得原方程组的一个基础解系为 /=!（, =（二,0,0,1尸.axax当 =一£ % 时，有 z? w o,i=原方程组的系数矩阵可化为% - z %i=% - z %i=a2ax“2 - Z aii=ana2i=la2i=l(将第1行的-1倍加到其余各行，再从第2行到第n行同乘以倍)/=1% - ai a2 a? /=i-110-101-1001（将第n行-q倍到第2行的-42倍加到第1行，再将第1行移到最后一行）-1 1 0 0一-1 0 10， -10 01000 0由此得原方程组的同解方程组为X2=玉，X? = X , * , 9= Xj .原方程组的一个基础解系为。= (1,1,1)。【评注】此题的难点在 =时的讨论，事实上也可这样分析：此时系数矩阵的秩为n-l（存在/=1n-l阶子式不为零），且显然。=（1,1）,为方程组的一个非零解，即可作为基础解系.十、（此题总分值13分）设二次型X T AX = axf + 2xl -+ 2bxi x3 (/? > 0),中二次型的矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为-12.（3）求a,b的值；（4）利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.【分析】特征值之和为A的主对角线上元素之和，特征值之积为A的行列式，由此可求出a,b的值; 进一步求出A的特征值和特征向量，并将相同特征值的特征向量正交化（假设有必要），然后将特征向量单位 化并以此为列所构造的矩阵即为所求的正交矩阵.【详解】（1）二次型f的矩阵为aQbA=020.b0-2设A的特征值为4 (i = 1,2,3).由题设，有4 + “2 + 4 = + 2 + (2) 1,0 h42 4 =20 =-4a-2h2 =-12.0 -2解得 a=l,b= -2.(2)由矩阵A的特征多项式A 1AE-A= 0-20-22-20 =(4-2)2(2 + 3),02 + 2得A的特征值4 = % = 2,4 = -3.对于4 =几2 = 2,解齐次线性方程组(2E-A)x = Q9得其基础解系。=(2,0,1)7,幺=(0,1,0)。对于4=3,解齐次线性方程组(_3£ A)x = 0,得基础解系4 = (l,0,-2)r.由于。忑2, 1已是正交向量组，为了得到规范正交向量组，只需将。，昆，,单位化，由此得7 = 0,0,忑0, , %=(0,。)， =(忑/7)'令矩阵。坨 %.=JLV5O2 一后O 1 O2 忑 OJL6那么Q为正交矩阵.在正交变换X=QY下，有2 0 0QtAQ= 0 2 0 0 0-3且二次型的标准形为/ = 2才+2y3次【评注】此题求a,b,也可先计算特征多项式，再利用根与系数的关系确定: 二次型f的矩阵A对应特征多项式为2 a 0 b|A£-A| = (A-2)A2 -(a-2)A-(2a + b2).02-20-b 02 + 2设a的特征值为4，4，4,那么4 =2,4+4 = 2,44 =(2。+/).由题设得4+4 +4 = 2 + (a 2)= 1,444 = 2(2。+/?2) = 12.解得a=l,b=2.十一、(此题总分值13分)设随机变量X的概率密度为/(')= <0,/(')= <0,，假设1,8,其他；F(x)是X的分布函数.求随机变量Y=F(X)的分布函数.【分析】先求出分布函数F(x)的具体形式，从而可确定Y=F(X)，然后按定义求Y的分布函数即可.注意应先确定Y=F(X)的值域范围(0 < F(X) <1)，再对y分段讨论.【详解】易见，当xvl时,F(x)=0;当x>8时，F(x)=l.对于x£1,8,有F(x) = =dt =-1.1 3疗设G(y)是随机变量Y=F(X)的分布函数.显然，当 ><。时，G(y)=0；当yNl时，G(y)=L对于丁£0,1),有G(y) = PY<y = PF(X)<y= PfX-l<y = PX<(y + 1)3 "(y + l)3 = y.于是，Y=F(X)的分布函数为。，假设y < 0,G(y) = < y,假设0< y <1,1,假设X-【评注】事实上，此题X为任意连续型随机变量均可，此时Y=F(X)仍服从均匀分布:当 y<0 时，G(y)=0;当 y-1 时,G(y)=l;当 OW y < 1 时，G(y) = PY < y = P尸(X) < y= PX<F-'(y)= F(F-y) = y.十二、(此题总分值13分)设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为(12 )X，(0.3 0.7J而Y的概率密度为f(y),求随机变量U=X+Y的概率密度g(u).【分析】求二维随机变量函数的分布，一般用分布函数法转化为求相应的概率.注意X只有两个可能 的取值，求概率时可用全概率公式进行计算.【详解】 设F(y)是Y的分布函数，那么由全概率公式，知U=X+Y的分布函数为G(u) = PX + Y<u=0.3P X + Y<uX = + 0.7P X + 丫 < “ X = 2= 0.3PY<u-X = l + QJPY<u-2X =2.由于X和Y独立，可见G(u)= 0.3Py <u-l + 0.7Py <u-2=0.3月(-1) + 0.7尸(一2).由此，得u的概率密度g() = G'()= 0.3F(-1) + 0.7F( - 2)= 0.3/(_l) + 0.7/(_2).【评注】此题属新题型，求两个随机变量和的分布，其中一个是连续型一个是离散型，要求用全概率 公式进行计算，类似问题以前从未出现过，具有一定的难度和综合性.<x>(C)假设E”条件收敛,n=l0000那么 »与 »敛散性都不定n=/7=100(D)假设绝对收敛，72=1800那么X，与£工敛散性都不定.n=7i=l(4)设三阶矩阵A = b bb ba b ,假设A的伴随矩阵的秩为1,那么必有 b a(A) a=b 或 a+2b=0.(C) aWb 且 a+2b=0.(B) a=b 或 a+2bW0.(D) aWb 且 a+2bW0.(5)设% 以2,，4均为n维向量，以下结论不正确的选项是(A)假设对于任意一组不全为零的数匕/2,人，者B有匕%+%2% +, + && W0，那么%,，& 线性无关.(B)假设%,如，砥线性相关，那么对于任意一组不全为零的数匕以，,人 ,都有 kxax + k2a2 + + ksas =0.(C) %,。2,，4线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为S.(D)%,如，见线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.1(6)将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A=掷第一次出现正面,4=掷第二次出现正面，4=正、反面各出现一次,4=正面出现两次，那么事件(A)相互独立.(A)相互独立.(B)42,4，44相互独立.(C)4,4，4两两独立.三、(此题总分值8分)设(D) A2，A3,4两两独立.fM = +71X1sinx(iZi)9XG24)试补充定义以)使得心)在J上连续.2四、(此题总分值8分)a2 f a2 f1设f(U,V)具有二阶连续偏导数，且满足 Y + Y = l,又g(x,y) = /w(/),求 dir2dx2 dy2五、(此题总分值8分)计算二重积分/ =，)sinCx? + y2)dxdy. D其中积分区域D=(羽,)，+,2工不.六、(此题总分值9分)8X2n求塞级数i+Z(i) k(In=2x|<l)的和函数f(x)及其极值.七、(此题总分值9分)设F(x)=f(x)g(x),其中函数电)也(*)在(一8,+00)内满足以下条件:尸(x) = g(x) , g'(x) = f(x),且 f(0)=0,于(x) + g(x) = 2ex.(1)求F(x)所满足的一阶微分方程；(2)求出F(x)的表达式.八、(此题总分值8分)设函数f(x)在0, 3上连续，在(0, 3)内可导，且f(0)+f(l)+f(2)=3,43)=1.试证必存在4£(0,3),使(C) = o九、(此题总分值13分)齐次线性方程组(% + b)x + a2x2 + %与 HF anxnaxxx +(6/2 + b)x2 + a3x3 HF anxax + a2x2 +(3 +b)x3 + + anx=0, =0, =0,ax + a2x2 + ci?% + + (afl + b)xn=0,其中£4 w 0.试讨论,，和b满足何种关系时, Z=1(1)方程组仅有零解；(2)方程组有非零解.在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.十、(此题总分值13分)设二次型/(%!,)= X 7 AX = axf + 2x1 -+ 2b% (/? > 0),中二次型的矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为-12.(1)求a,b的值；(2)利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.十一、(此题总分值13分)设随机变量X的概率密度为7。）= 3V?0,7。）= 3V?0,，假设1,8,其他；F(x)是X的分布函数.求随机变量Y=F(X)的分布函数.十二、(此题总分值13分)设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为(0.3 0.7J而Y的概率密度为f(y),求随机变量U=X+Y的概率密度g(u).2003年考研数学(三)真题解析一、填空题(此题共6小题，每题4分，总分值24分.把答案填在题中横线上)(1)(1)设 /(X)= COsL 假设X W0, X 假设x = 0,其导函数在x=。处连续，那么2的取值范围是建2.【分析】当XW0可直接按公式求导，当x=0时要求用定义求导.,假设 x w 0,假设x = 0,【详解】当4>1时，有勺 2-11；-2 1/'(%) = <AxcosI- xsin XX0,显然当丸>2时,有lim/'(尤)=0 = /'(0),即其导函数在x=0处连续. X-0(2)曲线> = /3/x + b与x轴相切，那么/可以通过表示为。2 = 荷 .【分析】曲线在切点的斜率为0,即y=o,由此可确定切点的坐标应满足的条件，再根据在切点处纵坐标为零，即可找到/与a的关系.【详解】由题设，在切点处有yr 3x2 - 3a2 0 ,有 = a2.又在此点y坐标为0,于是有0 = x； Ba、。+6 = 0,故 h2 = Xq (3a2 x；y=q2 . 4a4 _ 46【评注】有关切线问题应注意斜率所满足的条件，同时切点还应满足曲线方程.(3)设 a>0, /(x) = g(x)=“'右 ,而 D 表示全平面，那么 / = ff f(x)g(y-x)dxdy= a20,其他，与一【分析】此题积分区域为全平面，但只有当0<x<L0<y-时，被积函数才不为零，因此实际 上只需在满足此不等式的区域内积分即可.【详解】I =x)dxdy =Jja1 dxdy0<x<l,0<y-AT<lx+2 12dy- (x +1) - xdx - a .tJo0<x<l,0<y-AT<lx+2 12dy- (x +1) - xdx - a .tJo【评注】 假设被积函数只在某区域内不为零，那么二重积分的计算只需在积分区域与被积函数不为零的 区域的公共局部上积分即可.(4)设n维向量。=(。,0,0,。)。<0； E为n阶单位矩阵，矩阵A E oc 6 , B = E T cl cJ 9a其中A的逆矩阵为B,那么a= -1.【分析】这里为n阶矩阵，而二=2/为数，直接通过E进行计算并注意利用乘法的 结合律即可.【详解】由题设，有AB= (E-aar)(E + aaT)a= E-a" + aar - - aar - aa1 aaE a£ Ha £ oc) o( aa= E-aaI + aaJ -laaa1a1丁二七+ (1 2。H)6Z oc E ,a1 9 1于是有1 2qh = 0,即 2。+。1 = 0,解得 a = ,a = i.由于 A<0,故 a=-l. a2(5)设随机变量X和Y的相关系数为09假设Z = X0.4,那么Y与Z的相关系数为0.9.【分析】利用相关系数的计算公式即可.【详解】因为cov（r, Z）= cov（r, x - o.4）= E（y（x - 0.4）- e（y）e（x - 0.4）=£（xr）- o.4E（y）- £（y）£（x）+o.4E（y）=E（XY） - E（X）E（Y）=cov（X,Y）, 且。Z = DX.cov（y,z） cov（x,y） _于TH有 COV（Y,Z尸 I I- I = Pxy 09ylDYylDZ T DX TDY【评注】 注意以下运算公式：D(X + a) = DX , cov(X,y + )= cov(X,y).(6)设总体X服从参数为2的指数分布，X1, X?,X”为来自总体X的简单随机样本，那么当 -81 1时，匕=£X/2依概率收敛于1.几W2【分析】此题考查大数定律：一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量X1,X2，,X，当方差一致有界时，其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值： p 1 n率一曰时(28).【详解】这里X；,X；,X；满足大数定律的条件，且£X； =DXj+(EXi)2 =,+ d)2 =L 因此根据大数定律有1 n1工=依概率收敛于一二7.H /=1几 /=!2二、选择题(此题共6小题，每题4分，总分值24分.每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设f(x)为不恒等于零的奇函数，且/'(0)存在，那么函数g(x) =13X(A)在x=0处左极限不存在.(B)有跳跃间断点x=0.(C)在x=0处右极限不存在.(D)有可去间断点x=0.D 【分析】由题设，可推出f(0)=0,再利用在点x=0处的导数定义进行讨论即可.【详解】显然x=0为g(x)的间断点，且由f(x)为不恒等于零的奇函数知，f(0)=0.于是有lim g(x) = lim & = lim /一 "°)=广存在,故x=0为可去间断点.X>0X>0 1X-0x 0【评注1】此题也可用反例排除，例如f(x)=x,那么此时g(x>- = L ' " °可排除(A),(B),(C)三项， x 0, x = 0,故应选(D).【评注2】假设f(x)在x = 处连续，那么lim 2或=A= f(%) = 0,f'(%) = A. f。x -匹)(2)设可微函数f(x,y)在点(%, %)取得极小值，那么以下结论正确的选项是(A) /(%N)在=%处的导数等于零.(B) /(%,)在=方处的导数大于零.(C) /(4,)0在> =X)处的导数小于零.(D) /(工0，)在> =%处的导数不存在.A 【分析】可微必有偏导数存在，再根据取极值的必要条件即可得结论.【详解】可微函数£3丫)在点(/»0)取得极小值，根据取极值的必要条件知<'(%,%) = 0,即/(%.)在=%处的导数等于零，故应选(A).【评注1】此题考查了偏导数的定义，/(%,丁)在=%处的导数即(与，打)；而了(%打)在x = x.处的导数即/；(%o，X).【评注2】此题也可用排除法分析，取/(x,y) = / + y2,在(0,0)处可微且取得极小值，并且有 /(0, y) = y可排除(B),(C),(D),故正确选项为(A).a + aa a设p”= ' qr，"12，那么以下命题正确的选项是00(A)假设条件收敛，fl=00(A)假设条件收敛，fl=CO00那么与£工都收敛n=7i=l8(B)假设Z。绝对收敛，n=8(B)假设Z。绝对收敛，n=那么£ p.与£ q. 都收敛. =1n=co(C)假设X。条件收敛，/7 = 1co(C)假设X。条件收敛，/7 = 10000那么 »与»>敛散性都不定n=72=100(D)假设X%绝对收敛，=100co那么X，与2外敛散性都不定.n=n=【分析】根据绝对收敛与条件收敛的关系以及收敛级数的运算性质即可找出答案.8800q + Q【详解】假设绝对收敛，即£|。|收敛，当然也有级数收敛，再根据p='n=n=n=l乙a a88qnL及收敛级数的运算性质知，与 IX都收敛，故应选(B)./n=n=a b(4)设三阶矩阵A = b a b bbb ,假设A的伴随矩阵的秩为1,那么必有a(A) a=b 或 a+2b=0.(C) aWb 且 a+2b=0.(A) a=b 或 a+2b=0.(D) aWb 且 a+2b=0.(B) a=b 或 a+2b W 0.(E) aWb 且 a+2bW0.【分析】A的伴随矩阵的秩为1,说明A的秩为2,由此可确定a,b应满足的条件.【详解】根据A与其伴随矩阵A*秩之间的关系知，秩(A)=2,故有abbh a h = (a + 2h)(a - /?)2 = 0 ,即有 + 2/? = 0或 a=b.b b a但当a=b时，显然秩(A) W 2,故必有awb且a+2b=0.应选(C).【评注】n (n2 2)阶矩阵A与其伴随矩阵A*的秩之间有以下关系:n, r(A) = n, r(A*) = < 1, r(A) = 一 1,0,r(A) < n-l.(5)设。1，。2，,，仁均为9维向量，以下结论不正确的选项是(A)假设对于任意一组不全为零的数勺,2,，都有匕%+七%+, + ZOs。0，那么%,%,。线性无关.(B)假设%,，&线性相关，那么对于任意一组不全为零的数%,3,人，都有 kxax + k2a2 + + ksas = 0.(C)臼,。2,，小线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为、(D)/,。2,砥线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.B 【分析】此题涉及到线性相关、线性无关概念的理解，以及线性相关、线性无关的等价表现形式.应 注意是寻找不正确的命题.【详解】(A):假设对于任意一组不全为零的数占欢2,，%，都有 u% + +我& W0，那么 %，如，见必线性无关，因为假设名,%.线性相关，那么存在一组不全为零的数匕，右，使得 ka +k2a2 -1- ksas = 0 ,矛盾.可见(A)成立.(B):假设%,。2,，线性相关，那么存在一组，而不是对任意一组不全为零的数匕，鼠，,乙，都有 ka + k2a2 + + ksas = 0. (B)不成立.(C) 0,%,4.线性无关，那么此向量组的秩为s；反过来，假设向量组%,%,见的秩为s,那么 %,%,4线性无关，因此(C)成立.(D) /,。2,，巴线性无关，那么其任一局部组线性无关，当然其中任意两个向量线性无关，可见(D)也成 立.综上所述，应选(B).【评注】原命题与其逆否命题是等价的.例如，原命题：假设存在一组不全为零的数匕丛2,，右，使 得左%+心%+ && =0成立，那么%,%,4线性相关.其逆否命题为：假设对于任意一组不全为零 的数匕，左2,从，都有匕% +%2。2 + %«。，那么%,%,见线性无关.在平时的学习过程中， 应经常注意这种原命题与其逆否命题的等价性.(6)将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A尸掷第一次出现正面, 4=掷第二次出现正面, 4二正、反面各出现一次,4=正面出现两次,那么事件(A)4,4，&相互独立.(B)42,4，儿相互独立.(C)442,4两两独立.)A2,4,4两两独立.c