第四讲 不等式的解法（必上）.docx
第四讲不等式初中阶段已经学习了一元一次不等式和一元一次不等式组的解法.高中阶段将进一步学习一 元二次不等式和分式不等式等知识.本讲先介绍一些高中新课标中关于不等式的必备知识.一、一元二次不等式及其解法1.形如2+区+。0(或0)(其中的不等式称为关于X的一元二次不等式.【例。解不等式f+x 60.分析：不等式左边可以因式分解，根据“符号法那么-正正(负负)得正、正负得负”的原 那么，将其转化为一元一次不等式组.解：原不等式可以化为：(x + 3)(x 2)0,x + 3 < 0 x + 3 > 0x>-3于是：< 或=>< 或<=>%<-3或¥2x-2 < 0x-2 > 0 x < 2 x > 2所以，原不等式的解是x-3或x2.说明：当把一元二次不等式化为办2+法+。0(或o)的形式后，只要左边可以分解为两 个一次因式，即可运用此题的解法.例2解以下不等式：(1) (x + 2)Q 3)v6(2) (x l)(x + 2) 2 (x 2)(2% +1)分析：要先将不等式化为以2+法+。0(或0)的形式，通常使二次项系数为正数.解：(1)原不等式可化为：X 120,即(x + 3)(x 4)0x + 3 > 0 P x + 3< 0于是：!或n3Vx<4x-4<0 x-4>0所以原不等式的解是一3 < x < 4.(2)原不等式可化为：f+4x<0,即 Y 4)2 0于是:=>x<0或r> 4x< 00J或x-4<0 x-4>0所以原不等式的解是x 0或x 4.2. 一元二次不等式以之+版+ co(或 0)与二次函数y = ax2 +bx + c (a w 0)及一元二次方程必之+公+。=。的关系(简称：三个二次).以二次函数y = Y +%一6为例:(1)作出图象；(2)根据图象容易看到，图象与x轴的交点是(3,0),(2,0),即当x = 3或2时，y = Q.就是说对应的一元二次方程Y+x 6 = 0 的两实根是x = 3或2.(3)当x<3或x>2时，y >0,对应图像位于x轴的上方.就是说%2 + x 6 > 0的解是x < 3或x > 2.当一3 v x v 2时，y < 0 ,对应图像位于x轴的下方.就是说f + % 一 6 < 0的解是-3 < x < 2.一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下：(1)将二次项系数先化为正数；(2)观测相应的二次函数图象.如果图象与x轴有两个交点(%,0),(,。)，此时对应的一元二次方程有两个不相等的实数根%,马(也可由根的判别式A>0来判断)-b如果图象与x轴只有一个交点(,0),此时对应的一元二次方程有两个相等的实数根 2a% =方=2(也可由根的判别式 =()来判断). 2a那么(图2)：ax2 + c > 0（6/ > 0） o xw2aax2 +bx + c <0（6? > 0）=无解 vO来判断).那么(图3)：如果图象与X轴没有交点，此时对应的一元二次方程没有实数根(也可由根的判别式ax2 +bx + c >0 (a>0) = x取一切实数ax2 + c < 0 (tz > 0) <=> 无解如果单纯的解一个一元二次不等式的话，可以按照一下步骤处理: (1)化二次项系数为正；(2)假设二次三项式能分解成两个一次因式的积，那么求出两根玉,那么型的解为元<%或入(俗称两根之外)；型的解为为 <x<%(俗称两根之间);bA /-ir* (3)否那么，对二次三项式进行配方，变成。+陵+ 0二以光+ 一尸+,结合完全 2a 4a平方式为非负数的性质求解.【例3】解以下不等式：(1) 2x 8 < 0(2)厂4x + 4 4 0(3) x x + 2 v 0解：(1)不等式可化为(x + 2)(x 4)<0不等式的解是2<x<4(2)不等式可化为(x 2尸0不等式的解是 = 21 9 7(3)不等式可化为(x )2+<().【例4】对于任意实数x,日22x + Z恒为正数，求实数攵的取值范围.解：显然上=0不合题意，于是：k>0k>0k>0、 r3 n k1(2)2-4k2 <0k2-l>0 % < 1 或左 >1【例5】关于X的不等式质2(r+Dx 3<o的解为ivz<3,求Z的值.分析：对应的一元二次方程的根是-1和3,且对应的二次函数的图象开口向上.根据一元二 次方程根与系数的关系可以求解.k>0上2 + 1解：由题意得：1 + 3 =女=1k3(-1)-3 = - K说明：本例也可以根据方程有两根1和3,用代入法得：依1)2(F+1)(1) 3 = 0,Z323(8+1)3 = 0,且注意Z>0,从而左=1.二、简单分式不等式的解法【例6】解以下不等式：2x-3 八-<ox + 分析：(1)类似于一元二次不等式的解法，运用“符号法那么”将之化为两个一元一次不等式 组处理；或者因为两个数(式)相除异号，那么这两个数(式)相乘也异号，可将分式不等式直接转化 为整式不等式求解.(2)注意到经过配方法，分母实际上是一个正数.解：解法(一)原不等式可化为：2x _ 3 < 0八或x +1 > 02x - 3 > 0n vx +1 < 03x < 一 _-2或<x一1x>-321 < x < 一解法(二)3原不等式可化为：(2%一3)(x + l)<0nl<x< .(1) ; x2 x + 1 = (x)2 H > 024原不等式可化为： + 320 = x23【例7】解不等式x + 2解：原不等式可化为：340-34。= x + 2x + 2 x + 22 0n 3 + 5)(> + 2注。-2昵“9x+2w03说明：(1)转化为整式不等式时，一定要先将右端变为0.(2)本例也可以直接去分母，但应注意讨论分母的符号:x + 2>Q p x + 2<0 3(x + 2)>r 3(x + 2)<lx25或, x>3x < -2§5 x 2 < 2x < 33三、含有字母系数的一元二次不等式一元一次不等式最终可以化为ax>b(aO)的形式.b(1)当1>0时，不等式的解为：x一； a(2)当4<0时，不等式的解为：x<-； a(3)当 =0时，不等式化为：Q-x>b；假设 >0,那么不等式的解是全体实数；假设40,那么不等式无解.【例8】求关于工的不等式根2工+ 2 > 2如+根的解.解：原不等式可化为：m(m-2)x>m-2(1)当m一2>0即机>2时，7nx>1,不等式的解为x>,； m(2)当"z-2 < 0即m < 2时，mx< 1.0<相<2时，不等式的解为x<,；m相<0时，不等式的解为X,；m 加=0时，不等式的解为全体实数.(3)当m一2 = 0即根=2时，不等式无解.综上所述：当机<0或机>2时，不等式的解为X,；当0<根<2时，不等式的解为 mx<-；当根=0时，不等式的解为全体实数；当根=2时，不等式无解.m练：解不等式(1) x2 +2ax + a2 -1 >0(2) ax2 +x-ax-l <0【例9】关于x的不等式公五 >工+ 2的解为x,，求实数攵的值.2b分析：将不等式整理成就 >匕的形式，可以考虑只有当4>0时，才有形如X> 的解，从 ab 1而令一=一一.a 2解：原不等式可化为：(一% l)x一人2+2.所以依题意：1上2+2、-k 1、3nz =左二1或一及21 .解以下不等式：（1） 2x2 +x0(3) x2 + x 2 3x +1(2) x? 3x -18 « 0(4) xx + 9) > 3(x - 3)2.解以下不等式:(1)叫。3x + l2x-<22,(3) > -1x3.解以下不等式：(1) 2% > 2%2 + 2(4)2x x + 2x + l>04 .不等式/一av + bcO的解是2光3,求的值.5 .解关于x的不等式（加一2）xl 加.6 .关于x的不等式"一2% + 2光的解是求女的值.7 .不等式2/+px + q0的解是-2vxvl,求不等式pY+分+ 2。的解.B 组1 .关于X的不等式如之一% +m（）的解是一切实数，求机的取值范围.2 .假设不等式叶21+=的解是x3,求左的值. k k2.解关于x的不等式56/+以/.3 .。取何值时，代数式（。+1）2+2（。2） 2的值不小于0?4 .不等式ox?+法+。 o的解是二 % 用，其中夕 。，求不等式ex?+x + a v 0 的解.第四讲不等式答案1. (l)-<x<0 (2)-3<x<6 (3)x = 1 (4)xw3 xW-1 或¥>1 (2)x J 或r3 x<-2 或cO (4)x 222. (1)无解(2)全体实数a = 5,Z? = 6 .I m YYl(1)当机>2时，x >； (2)当机<2时，x <； (3)当m=2时，x取全体实数.m-2m-2k = 13. % W 1B组1m < 2k = 51. (1) a > 0 时，<x< ； (2) a = 0 时，无解；(3) a<0 时，一<x< .7887。一5或a 2 1 .
