北师大版必修第一册1-3-1不等式的性质学案.docx
§3不等式第1课时 不等式的性质课前篇自主梳理知识【主题】不等式的性质1 .实数大小的比较关于实数。，b大小的比较，有以下基本事实：；a=b 妗；</?<=>.2 .不等式的性质性质1如果cob,且b>c,那么a>c.性质2如果a>b,那么a+c>b+c.性质3如果a>b, c>0,那么ac be；如果 a>b, c<0,那么 ac be.性质4 如果a>b, c>d,那么a + c>h+d.性质 5 如果 a>b>09 c>d>0,那么 ac bd.如果 a>b>0, c<d(O,那么 ac bd.特殊地，当泌>0时，优>，其中£N+, 22.答案：1. ab>0 ab=0 ab<02. > < > <自我检测1 .思维辨析(对的打“ J ”，错的打" ")(1)若 x1W0,则 1V 1.()(2)两个实数，之间，有且只有»，a=h,三种关系中 的一种.()(3)若 a>b,则。/>花.()(4)同向不等式相加与相乘的条件是一致的.()(5)设 ，b£R,且贝lj ，分()(6)若 a+c>O+d,则。>。，c>d.()答案：(1)解析：若x1W0,则无<1或者x=l,即xWl.(2”解析：任意两数之间，有且只有4>儿。=，。”三种关系 中的一种，没有其他大小关系.(3)解析：由不等式的性质，acr>b(ra>b;反之，c=0时，a>bD =la/>be.a>b>Q,(4)解析：相乘需要看是否满足，八 而相加与正、负和零 c>a>Of均无关系.(5)J解析：符合不等式的可乘方性.(6)解析：取。=4, c=5, b=6, c/=2,满足。+c>/?+d,但不 满足a>b,故此说法错误.2 .设“4, d<c,则下列不等式中一定成立的是()A. a-c>bdB. ac>bdC. a+c>/?+c/D. ad>hc答案：C3 .已知x<4<0,则一定成立的不等式是()A.3<。2<0 B. >aX>crC. x1<ac<0 D. x2>a2>ax答案：B4 .已知xvl,则f+2与3x的大小关系为.答案：+2>3x课堂篇.重难要点突破研习1作差法比较大小典例1比较下列各式的大小：(1)当xWl时，比较3V与3fx+1的大小；(2)当 x, y, z£R 时，比较 5f+y?+z2 与 2iy+4x+2z2 的大小.解：(1)3炉一(3a2x+1) =(3如一3马+(工一1)= 3/(x- l)+(x- 1) =(3+ l)(x 1).因为xWl,所以x1W0, 而 3f+l>0.所以(3f+1)(尢一1)0, 所以 332x+1.(2)因为 5+>,2+z2(2xy+4x+2z2) =4f-4x+1 +x22xy+y2+z22z+1 = (2x Ip+ (%»+(z 1 )220, 所以 5x2+)2+z2$:2xy+4x+2z2f当且仅当x=y=J,且z=l时，等号成立.解题探究本例考查作差法比较大小，突出考查了逻辑推理与 数学运算的核心素养.延伸探究本例(1)中，若把条件“xWl”去掉，试比较所给两 式的大小.解：去掉条件。W1”后需对差的符号进行讨论， 显然3f+l>0,所以当 x<l 时，(3x2+l)(x-l)<0, 所以 3/<312x+1:当 x=l 时，(3x2+l)(x-l)=o, 所以 3=32x+1;当 x>l 时，(3x2+l)(x-l)>0, 所以3/>3/一工+1.作差法比较大小的步骤2练习 1已知无)eR, P=2x1-xy+, Q=2x-£,试比较 P,。的大小.+炉一21+1x-2)2+(x-l)20,所以 P2Q.解：因为 PQ=2x1xy+ 1 I 2.rl=x2Ay研习2利用不等式的性质判断命题真假典例2下列命题中一定正确的是()A.A.若a<h且H，则B.C.D.若a>b,存0,则41若 a>h,且 a+c>h + d,贝lj c>d 若 a>b 且 ac>bd,则 c>d答案：A运用不等式的性质判断命题真假的技巧(1)要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能随意 捏造性质.(2)解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意 取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便 于验证计算.练习2若心则下列不等式成立的是()A. >B.<a-c b-c a-c b-cC. ac>bcC. ac>bcD. ac<bc答案：B研习3利用不等式的性质证明不等式角度1基本性质法典例 3已知c<d<0, e<0,求证:e e；.a-c b-d解题探究本题主要考查不等式的基本性质，同时考查了逻辑 推理的核心素养.证明：（证法一）因为c<d<0,所以一c>一#>0,因为。所以ac>/?一法>0,所以0< a-Ie e<：；,又因为e<0,所以>-b-（la-c b-d（证法二）右b-（la-c b-d（证法二）右（证法二）右（证法二）右ee(Z?一乃一伍一c)a) + (c的bd(ac)(bcl)ac)(bd)为 >/?>(), c<f/<0,所以一c>一冷()，所以 ac>(), bd>3 /?6Z<0,cd<Qf 又 e<0,所以为 >/?>(), c<f/<0,所以一c>一冷()，所以 ac>(), bd>3 /?6Z<0,cd<Qf 又 e<0,所以cd<Qf 又 e<0,所以cd<Qf 又 e<0,所以e(。一 )+(c菊(ac)(bd)>0,所以a=7c>'bZ：d延伸探究题目中条件不变，求证改为1%>；产Q，请证明.（acy答案：略角度2作差法浮典例 4若 4<0, /?<0, ="+不，q=a+b.求证：pMq.证明：pq=+-cibb-a2 , a2-.口=+丁=0j2七一力（.一 2）（ _ ）（ _ ）2S +。）abab因为 v0, b<0,所以+/?<0, ab>0.若 a=b,则 pq=0,故=q;若 a于b,则 pqvO,故 p<q.综上，p&q.（1）利用不等式性质对不等式的证明其实质就是利用性质对不等 式进行变形，变形要等价，再者利用性质时要注意性质适用的前提条 件.（2）用作差法证明不等式和用作差法比较大小的方法原理一样， 变形后判断符号时要注意充分利用题目中的条件.练习 3已知 ，b, c£R,求证：cr+b2+(rab+bc+ca.答案：略研习4 利用不等式的性质求取值范围|典例 5已知一 1<¥<4,2<><3.(1)求xy的取值范围；(2)求31+2)，的取值范围.解：(1)因为一 144,2<y<3,所以一3v2,所以一4<xy<2.由一 14<4,2v)<3,得3<3x< 12,4<2y<6,所以 1<31+2y<18.解题探究本题主要考查不等式的性质，突出考查数学运算与 逻辑推理的核心素养.延伸探究若将本例条件改为一l<r+y<4,24y<3,求3x+2y 的取值范围.解：设 3x+ 2y=m(x+y)+(xy),f _5m+n=3f m=T 则J所以Jtmn=2fIn=2'即 3x+2y=|(x+y)+；(Ly), 又因为一l<r+y<4,2<x-y<3,3 5123所以 一<a+y)+(x-y)<E，323即一 5<3叶2)，行，(3 23'所以3x+2y的取值范围为一,爹利用不等式的性质求取值范围的策略（1）建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一 次不等式的性质进行运算，求得待求的范围.（2）同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），这种转化不是等价 变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范 围.练习4已知12<<605<。<36,求。一与和勺取值范围.解：因为 15</?<36,所以-36</?<15,所以 1236v一<6015,即一24<。一从45.因为15Vb<36,所以白<：<白，已乙,12 a 60 n 1 a所以石记，即铲Z<4.课后篇演练提升方案1 .下列说法正确的是（）A.某人月收入太不高于2 000元可表示为W2 000”B.小明的身高x,小华的身高y,则小明比小华矮表示为“心>）尸C.某变量x至少是。可表示为D.某变量y不超过。可表示为物2”答案：C2 .设。= 3fx+1, b=2x1+x,则（ ）A. a>hB. a<bC. abD. aWb答案：C3 .已知a+A>0, b<Qf那么a, b, a, 8的大小是（）A. a>h>h>aB. a>b>a>bC. a>b>b>aD. a>b>a>b答案：c4 .若 a>b>0, c<d<0,则一定有( )a b- a bA. 一>一jB. 一<-) c a c a答案：DA. 一>一jB. 一<-) c a c a答案：D答案：D答案：D5 .有外表一样、质量不同的四个小球，它们的质量分别是，江 c, d.已知a+/?=c+d, a+d>b+c, a+c<b9则这四个小球由重到轻 的排列顺序是()A. d>b>a>cB. b>c>d>aC. d>b>c>aD. c>a>d>b答案：A6 .若则。一的取值范围为.答案：-1,6易错误区由不等式的性质判断命题真假典例(2020.济宁高一检测)对于任意实数m h, c, d,以下四 个命题：(1)若 a>h, c>d,贝!J a+c>h+d；(2)若 a(r>b(r,则 a>b；(3)若公也则另;(4)若 a>b, c>d,则 ac>hd.其中正确命题的个数是()A. 1B. 2C. 3C. 3C. 3D. 4解析对于(1),若>/?, c>cl,则+c>+d,命题正确;对于(2),若(?>/7c2,则4泌，命题正确；对于(3),若公也则不正确，如。=1, /?=2;对于(4),若a>b, c>d,则ac>bd不正确, 4口。=1, /?=-2, c=3, cl=-4.综上可得，正确的个数是2个.答案IB防范措施(1)同向不等式可以相加，不能相减: a>b, c>da+c>b+d；a>b, c>d>ac>hd.(2)同向不等式可以相乘，不能相除：a>b>0, c>d>Qac>bd；a>b>Q, c>d>O=A>.
