拓扑学理论教学大纲.docx

拓扑学理论教学大纲 (Topology) 课程代码：0712603总学时：51学时(讲课51学时)先修课程：集合论、数学分析一、课程的性质、目的与任务拓扑学是高等院数学专业的一门必修的专业课。它在现代数学的许多分支中、 特别是在现代分析学中得到了大量的应用。因此，它对现代数学及其邻近学科、乃至 工程技术科学的学习与研究方面，其重要性已毋庸置疑了。通过对本课程的学习使学 生初步掌握该课程的基础概念、基础理论与基础方法，为学习后课程及进一步扩大数 学知识奠定必要的数学基础。在教学的同时，通过各个教学环节逐步培养学生具有抽 象概括问题和逻辑推理能力和自学能力。二、教学基本内容与基本要求第一章朴素集合论1.基本内容(1)集合的基本概念、基本运算(2)关系、等价关系(3)映射，有标集族及其并和交(4)可数集、不可数集、基，集族的笛卡尔积2 .教学要求本章是学习拓扑学的必备知识，要求熟练掌握基本概念，理解可数集与有关可数 集的结论，理解可数集与不可数集的区别与联系。第二章拓扑空间与连续映射3 .基本内容(1)度量空间与连续映射(2)拓扑空间与连续映射一些重要的拓扑概念一邻域、邻域系(4)导集、闭集、闭包(5)内部、边界(6)基与子基(7)拓扑空间中的序列4 .教学要求(1)熟练掌握拓扑空间、拓扑的基的概念，了解拓扑空间的其他重要的拓扑概念。(2)理解领会连续映射的定义，掌握连续映射的性质以及它的一些刻画。第三章子空间，积空间，商空间1 .基本内容(1)子空间(2)积空间(有限情形)(3)商空间2 .教学要求(1)理解子空间、积空间、商空间拓扑的定义、性质。(2)理解领会同一拓扑空间的子集上子空间拓扑与其他拓扑之间的关系，理解领 会商映射、闭(开)映射的定义、性质及商空间的例子。第四章连通性1 .基本内容(1)连通空间(2)连通性的简单应用(3)连通分支(4)局部连通空间(5)道路连通空间2 .教学要求(1)理解连通空间的概念、了解连通分支的概念。(2)掌握连通性的简单应用。3 3) 了解局部连通空间、道路连通空间。第五章有关可数性的公理1 .基本内容(1)第一与第二可数性公理(2)可分空间Lindeloff 空间2 .教学要求(1)理解掌握第一可数、第二可数公理的内容；(2)理解领会可分空间与Lindeloff空间的内容，理解领会关于这些空间之间关 系的具体实例及性质定理。第六章分离公理与可数性公理1 .基本内容To、TlHausdorff 空间。(2)正则空间、正规空间、TxL空间。(3) Urysohn引理和Tietze扩张定理(4)完全正则空间、Tychonoff空间(5)可度量化空间2 .教学要求1)掌握 To、Ti.Hausdorffs TgTTychonoff 等分离性公理;3 2)理解领会Uiysohn引理及Ikysohn度量化定理，理解领会分离公理的遗传性 质和有限可积性质，理解领会关于这些空间之间关系的具体实例及性质定理，理解 Tietze扩张定理的内容。第七章紧致性1 .基本内容(1)紧致空间(2)紧致性与分离性公理n维欧式空间中的紧致子集(4)几种紧致性以及其间的关系(5)度量空间中的紧致性(6)局部紧致空间、仿紧致空间2 .教学要求(1)掌握理解紧致性的定义及性质(2)理解领会紧致空间与Hausdorff空间的关系，理解领会紧致空间中 Hausdorff、Z1等空间之间的关系，要求理解度量空间中紧致性质，理解几种紧致性 之间的关系，领会局部紧致空间的定义、性质及其与其他几种空间的关系。三、教学内容及学时分配(教学要求：A一熟练掌握；B一掌握；C一了解)教学内容教学要求重点 ()难点(A)学时安排备注第一章朴素集合论A6第二章拓扑空间与连续映射A14第三章 子空间、有限积空间、商空间BA6第四章连通性A8第五章可数性公理A6第六章分离性公理A5第七章紧致性BA6合计51四、建议实验项目及学时分配无实验。五、教学方法与教学手段课堂教学为主、小组讨论为辅，板书为主、多媒体为辅。六、建议教材与参考书目L教材：点集拓扑讲义，熊金城，高等教育出版社(第四版)，2011年6月。2.参考书目：(1) Topology, J. Mundres,机械工业出版社，2004；(2) General Topology, J.L. Kelley, Van Nostrand Reinhold Co. , New York, 1955O七、大纲编写的依据与说明拓扑学介绍了拓扑空间的有关概念，及本课程最重要的几个公理、定理和一 些重要的结论。本课程理论性非常强，很抽象，但其理论和方法在数学、自然科学和 工程技术中有着广泛的应用，是不可缺少的理论工具。在学习中要正确理解和掌握这 些数学概念和方法，逐步培养利用这些概念和方法解决实际问题的能力。