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    2023年数学思想方法综合练习.docx

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    2023年数学思想方法综合练习.docx

    数学思想方法综合练习下三个重要阶段、潜意识阶段,明朗化阶段,深一、填空题1 .九章算术思想方法的特点是开放的归纳体系 算法化的内容 模型化的方法。2 . 古代数学大体可分为两种不同的类型:一 种是崇尚逻辑推理,以几何原本为代表;一种是 长于计算和实际应用,以九章算术为典范。3 .在数学中建立公理体系最早的是几何学,而这方面的代表著作是古希腊欧几里得的几何原 本。4 . 几何原本所开创的 公理化方法不仅 成为一种数学陈述模式,并且还被移植到其它学科, 并且促进他们的发展。5 . 推动数学发展的因素重要有两个:实践 的需要,理论的需要;数学思想方法的几次突破就 是这两种需要的结果。6 .变量数学产生的数学基础是解析几何,标志是微积分o7 .数学基础知识和数学思想方法是数学教学的两条主线。8 .随机现象的特点是在一定条件下,也许发生某种结果,也也许不发生某种结果。9 . 等腰三角形的抽象过程,就是把一个新的 特性:两边相等,加入到三角形概念中去,使三角形概 念得到强化。10 .学生理解或掌握数学思想方法的过程有如 刻理解阶段。11 .数学的统一性是客观世界统一性的反映, 是数学中各个分支固有的内在联系的体现,它表现为 数学的各个分支互相渗透和互相结合的趋势。12 .抽象的含义:取其共同的本质属性或特性, 舍去其非本质的属性或特性的思维过程13 .强抽象就是指,通过 把一些新特性加入 到某一概念中去 而形成新概念的抽象过程。14 .菱形概念的抽象过程就是把一个新的特 性:一组邻边相等相口入到平行四边形概念中去,使平 行四边形概念得到了强化。15 .演绎法与归纳法被认为是理性思维中两种 最重要的推理方法。16 .所谓类比,是指由一类事物所具有的某种 属性,可以推测与其类似的事物也具有该属性的一种 推理方法;常称这种方法为类比法,也称类比推理。17 .反例辩驳的理论依据是形式逻辑的王盾 建。18 .在反例辩驳中,构造一个反例必须满足条 件反例满足构成猜想的所有条件(2 )反例与构 成猜想的结论矛盾。19 .猜想具有两个显著特点:具有一定的科 学性,具有一定的推测性。20 .三段论是演绎推理的重要形式。三段论由 大前提、小前提、结论 三部分组成。21 .化归方法是指,把待解决的问题,通过某种转化过程,归结到一类已经能解决或较易解决的问题 中,最终获得原问题解答的一种方法。22 .化归方法的三个要素是化归对象,化归目 的,化归途径。23 .在化归过程中应遵循的原则是简朴化原 则、熟悉化原则、和谐化原则。24 .在计算机时代,计算方法已成为与理论方 法、实验方法并列的第三种科学方法。25 .算法具有下列特点:有限性,拟定性, 有效性。26 .算法大体可以分为多项式算法和指数型 算法两大类。27 .匀速直线运动的数学模型是一次函数28 .所谓数学模型方法是运用数学模型解决 问题的一般数学方法。29 .分类必须遵循的原则是 不反复,无漏 掉,标准同一,按层次逐步划分。30 .所谓数形结合方法,就是在研究数学问题 时,由数思形、见形思数、数形结合考虑问题 的一种思想方法。31 .所谓特殊化是指在研究问题时,从对象的 一个给定集合出发,进而考虑某个包含于该集合的较 小集合的思想方法。32 .面对一个问题,通过认真的观测和思考,通 过归纳或类比提出猜想,然后从两个方面入手:演绎 证明此猜想为真;或者寻找反例说明此猜想为假,并33 .化归方法的三个要素是:化归对象、化归目 的、化归途径。34 .根据学生掌握数学思想方法的过程有潜意 识、明朗化、深刻理解三个阶段,可相应地将小学数 学思想方法教学设计成多次孕育、初步理解、简朴应 用三个阶段。35 .数学思想方法是联系数学知识与数学能 力的纽带,是数学科学的灵魂,它对发展学生的数学 能力,提高学生的思维品质都具有十分重要的作用。36 . 一个概括过程涉及 比较、区分、扩张和分 近等几个重要环节。37 .算法的有效性是指假如使用该算法从它 的初始数据出发,可以得到这一问题的对的解。38 .数学的研究对象大体可以提成两类研究 数量关系,研究空间形式。二、判断题(只要答“是"或“否”)1 .中国古代数学中使用的数学方法是演绎的方法。否2 .几何原本是人类历史上最早的演绎的公理化体 系。是3 .微积分的建立标志着变量数学的诞生。是4 、计算机是数学的发明物,又是数学的发明者。是5 、抽象得到的新概念与表述本来的对象的概念之间一 定有种属关系。否6.抽象和概括是两种完全不同的方法。否7、一个数学理论体系内的每一个命题都必须给出证 明。否且进一步修正或否认此猜想。8、九章算术不涉及代数、几何内容。否9、既没有脱离数学知识的数学思想方法,也没有不涉 及数学思想方法的数学知识。是10、数学模型方法在生物学、经济学、军事学等领域 没应用。否11、在解决数学问题时,往往需要综合运用多种数学 思想方法才干取得效果。是12、假如某一类问题存在算法,并且构造出这个算法, 就一定能求出该问题的精确解。否13、对同一数学对象,若选取不同的标准,可以得到 不同的分类。是14、数学思想方法教学从属数学教学范畴,只要贯彻 通常的数学教学原则就可实现数学思想方法教学目的。否15、由类比法推得的结论必然对的。否16、有时特殊情况能与一般情况等价。是17、完全归纳法实质上属于演绎推理的范畴。是18、古希腊的柏拉图曾在他的学校门口张榜声明:不 懂几何的人不得入内。这是由于他的学校里所学习的课程 要用到很多几何知识。否19、完全归纳法的一般推理形式是:设5=人, A2, , An, 由于A1具有 属性p, A2具有属性p,An具有属性p,因此推断集合S中 的每一个对象都具有属性p。否三、简答题1、为什么说几何原本是一个封闭的演绎体系?几何原本以少数原始概念和公设、公理为基础, 运用逻辑规则将当时所知的几何学中的重要命题(定理)全 都推出来,从而形成一个井然有序的整体.在这个体系中, 除了逻辑规则外,每个定理的证明所采用的论据均是公设、 公理或前面已证明的定理,并且引入的概念(除原始概念) 也基本上符合逻辑上对概念下定义的规定,原则上不再依 赖其它东西.此外.几何原本)回避任何与社会生产现实生括有 关的应用问题,对社会生活的各个领域来说也是封闭的.因 此,(几何原本)是一个相对封闭的演绎体系.2、试对九章算术思想方法的一个特点“算法化的 内容”加以说明。九章算术在每一章内先列举若干个实际问题,并对 每一个问题都给出答案,然后再给出“术”,作为一类问题 的共同解法。因此,内容的算法化是九章算术思想方 法上的特点之一。3、简述拟定性现象、随机现象的特点以及拟定性数学 的局限性。答:拟定性现象特点:在一定条件下,其结果完全 被决定,或者完全肯定,或者完全否认,不存在其他也 许。即这种现象在一定的条件下必然会发生某种结果, 或者必然不会发生某种结果。随即现象的特点:在一定条件下,也许发生某种结果, 也也许不发生某种结果。拟定数学的局限性:随机现象并不是杂乱无章的现象, 就个体而言,似乎没什么规律存在,但当同类现象大量出现 时,在总体上却呈现出一种规律性,但是拟定数学无法定量 地揭示这种规律性。4、简述计算机在数学方面的三种新用途。答:第一,用来证明一些数学命题;第二,用来预测某些 数学问题的也许结果,第三,用来验证某些数学问题的结果 的对的性.5、什么是数学的统一性?法国的布尔巴基学派是如何实现数学的统一答:所谓统一性,就是部分与部分、部分与整体之间的 协调一致。客观世界具有统一性,数学作为描述客观世界 的语言必然具有统一性。数学的统一性时客观世界统一性 的反映是数学中各个分支固有的内在联系的体现。布尔巴基学派在集合论的基础上建立了三个基本结构 (即代数结构、序结构、拓扑结构),然后根据不同条件,由 这三个基本结构交叉产生新的结构。他们认为整个数学或 大部分数学都可以按照结构的不同加以分类,用数学结构 能统一整个数学,各个数学分支只是数学结构由简朴道复 杂,由一般向特殊发展的产物。数学的不同分支是这些不同 的结构组成的,而这些结构之间的错综复杂的联系又把所 有的分支连成一个有机整体。因此可以说,布尔巴基学派用 数学结构现实数学的统一性。6、简述数学抽象的特性。答:数学抽象有以下特性:数学抽象具有无物质性;数学抽象具有层次性;(3)数学抽象过程要凭借分析或直觉;(4)数学抽象不仅 有概念抽象尚有方法抽象。7、简述化归方法在数学教学中的应用。答:化归方法在数学教学中的应用至少有以下三个方 面:(1) 运用化归方法学习新知识,(2)运用化归方法指导解题,(3)运用化归方法整理知识结构.8、简述用MM方法解决实际问题的基本环节,并用框 图加以表达。MM方法解题的基本环节可用框图表达为:说明9、简述数学建模的基本环节。答:数学建模的方法和环节是:弄清实际问题:涉及了解问题的实际背景知识,从 中提取有关的信息,明确要达成的目的。化简问题:根据问题的特点和目的,做出某种核力的 假设,舍弃一些次要因素,从而使问题得以化简。建模:在假设的基础上,抓住重要因素和有关量之间 的关系进行抽象概括,运用适当的数学工具刻画变量之 间的数量关系,建立起相应的数学结构求解:对所得的模型在数学上进行推理或演算,求出 数学上的结果检查:把数学上的结论返回到实际问题中。若模型与 实际比较温和,则对所得结果给出实际含义,并进行解 释。倘若通过检查与实际不符,就必须对所得模型加以 修正,反复前面的建模过程。10、试用框图表达用特殊化方法解决问题的一般过程。幺士/R1 1、简述化归方法的和谐化原则。答:和谐化是数学内在美的重要内容之一。美与 真在数学命题中一般是统一的。因此,我们在解题过 程中,可根据数学问题的条件或结论以及数、式、形 等的结构特性,运用和谐美去思考问题,获得解题信 息,从而确立解题的总体思绪,达成以美启真的作用。 12、什么是算法的有限性特点?试举一个不符合算法 有限性特点的例子。答:算法的有限性是指:一个算法必须在有限步之内终 止.以十进制小数的除法这个算法为例,如取数2和 3作为初始数据,则有2 3=0.6 6 66-无论如何延续这个过程都不能结束,同时也不会 出现中断.因此,除法对于2和3这组数不符合算法 有限性特点.1 3、简述培养数学猜想能力的途径。答:数学猜想能力的培养可以从以下三方面入手:(1)用猜想学习新知识;(2)用猜想探究数学规律; (3)用猜想探索解题思绪。1 4、简述特殊化方法在数学教学中的应用。答:特殊化方法在数学教学中的应用大体有以下四方面: (1)运用特殊值(图形)解选择题;(2)运用特殊化探求问题结论;(3)运用特例检查一般 结果;运用特殊化探索解题思绪。15、什么是类比猜想?并举一个例子说明。种属性,得出其类似的事物也具有这种属性的一种推 测性的判断,即猜想,这种思想方法称为类比猜想。分式与分数非常相似,只但是是用字母替代数而 已,因此,我们可以猜想,分式与分数在定义、基本性 质、约分、通分、四则运算等方面都是相应相似的。 事实也如此。16、什么是归纳猜想?并举一个例子说明。答:人们运用归纳法,得出对一类现象的某种一般性结 识的一种推测性的判断,即猜想,这种思想方法称为归纳猜 想。例如:人们在度量了很多圆的周长和半径以后,发现他 们的比值总是近似等于3 .14,于是提出了圆周率是3 .14 的猜想。这就是归纳猜想。17、简述将“化隐为显”列为数学思想方法教学的一 条原则的理由。答:由于数学思想方法往往隐含在知识的背后,知识 教学虽然蕴含着思想方法,但是假如不是故意识地把数学 思想方法作为教学对象,在数学学习时,学生经常只注意 到处在表层的数学知识,而注意不到处在深层的思想方法。 因此,进行数学思想方法教学时必须以数学知识为载体,把 隐藏在知识背后的数学思想方法显示出来,使之明朗化,才 干通过知识教学过程达成思想方法教学之目的。四、解答题答:人们运用类比法,根据一类事物所具有的某述你的理解。1、运用方程模型解应用题时,其中最重要的是“设想 问题已经解出”、“用两种不同方式表达同一个量”、“方程 个数和未知量个数相等”这三个要点。这是为什么?请阐解答:“设想问题已经解出”,即在列式时将未知量与 已知量同等对待。这是列方程中的一个重要思想,也是它 优于算术之处。在算术列式中,未知量只能列在等号左边, 且系数必须为1,已知量只能在等号右边出现。已知量与未 知量的地位截然不同,因此列式比较困难。而在方程列式 中,已知量与未知量处在同等地位,都可以在等号两边出现, 于是列式就容易多了。“用两种不同方式表达同一量”,这是列方程的关键。 所谓方程,其实就是用两种不同的方法表达同一个量,并用 等号联结起来。“方程个数和未知量个数相等”,是为了得到拟定的 解。这里有个自由度的思想。当方程个数少于未知量个数 时,就会出现不定方程(组)。这时方程(组)的解一般会有无 穷多个。2、(1)什么是类比推理?(2)写出类比推理的表达形 式。(3)如何才干增长由类比得出的结论的可靠性?解答:(1)类比推理是指,由一类事物所具有的某种 属性,可以推测与其类似的事物也具有这种属性的一种推 理方法。(2)类比推理的表达形式为:A具有性质ai, a2., an及d;B 具有性质 a/, a/, .anz ;因此,B也也许具有性质d' o其中,a1与 a/ , a2a2z , 引与a/ ,d与d 分 别相同或相似。(3)尽量满足下列条件可增长类比结论的可靠性:这些共同(或相似)的属性应是类比对象A与B的重 要属性;这些共同(或相似)的属性应涉及类比对象的不同方 面,并且尽也许是多方面的;可迁移的属性d应是和a1,a2-, an属于同一类型。3、圆周角定理证明思绪如下:将圆周角的两边所处的位置提成三种情况:角的一 边落在直径上;角的两边在某一宜径的两侧;角的两边 在某一直径的同侧。如上图所示。先对情况进行证明, 然后将情况、转化为情况分别进行证明。最后得出 圆周角定理对任意圆周角都成立的结论。试具体分析上述证明中需要用到哪些数学思想方法。解答:该证明中用到下面几种数学思想方法:将圆周角提成三种情况,用到分类方法;先证明角恰有一边在直径上的特殊情况,用到特 殊化方法;将其他两种情况转化为角恰有角恰有一边在直 径上的情况,用到化归方法;通过对所有三种情况的证明,然后得出圆周角定理 的结论,用到完全归纳法;在证明过程中需要进行演绎推理,因此用到演绎方 法。4、以“结识长方形的对边相等”为内容,设计一个教 学片断。A与B共同(或相似)的属性尽也许多些;学思想方法教学内容;不少于3 0 0字)(规定:教学过程要比较具体、合理,且有一定的层 次;要有与数学知识教学相联系的本课程中所学习的数解答:将教学过程设计成四个层次: 操作,确信长方形相对的两条边长短相等。教师板书:长方让学生说一说:我们周边有哪些长方形物体?学生 会举出黑板、桌面、教室的门、课本的封面等例子。规定学生仔细观测:看一看、想一想,这些长方 形的四条边的长短有什么关系?学生通过观测后,会猜想: 长方形相对的两条边长度相等。教师进一步提出问题:同学们敢于大胆猜想的精 神值得鼓励!我们如何才干验证长方形相对的两条边的长 短相等呢?这时,学生会想出许多办法,如:用尺量、将图 形对折等方法。教师顺势引导学生通过量量、折折的具体 形对边相等。接着,师生讨论长方形“对边”的含义,以及 一个长方形有几组对边的问题。巩固长方形对边相等的结识。运用多媒体展示下面的长方形:师:如何填写括号内的数字?为什么?规定学生会用“由于所以”句式回答。如“由于长方形的对边相等,已知长方形的一条边是4厘米, 所以它的对边也是4厘米J

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