备战2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题36 数列求和问题.doc

1专题专题 3636 数列求和问题数列求和问题【热点聚焦与扩展热点聚焦与扩展】数列求和问题是高考数列中的一个易考类型，在已知通项公式的前提下，要通过观察通项公式（或者项）的特点决定选择哪种方法进行求和.考查学生的观察能力与辨析能力.本专题举例说明常见几种类型的求和方法.1、根据通项公式的特点求和：（1）等差数列求和公式：1122pqn naaaaSnn pqn 11 2nn nSa nd（2）等比数列求和公式：111,11 ,1nnaqqSq a n q （3）错位相减法：通项公式特点：na 等差等比，比如2nnan，其中n代表一个等差数列的通项公式（关于n的一次函数） ，2n代表一个等比数列的通项公式（关于n的指数型函数） ，那么便可以使用错位相减法方法详解：以212nnan为例，设其前n项和为nS 先将nS写成n项和的形式121 23 2212nnSn 两边同时乘以等比部分的公比，得到一个新的等式，与原等式上下排列121 23 2212nnSn 23121 23 2232212nn nSnn ，发现乘完公比后，对比原式项的次数，新等式的每项向后挪了一位. 然后两式相减：12311 22 222212nn nSn 除了首项与末项，中间部分呈等比数列求和特点，代入公式求和，再解出nS即可12311 22 222212nn nSn 1 14 212221221n nn 213226nn 所以12326n nSn 对“错位相减法”的深层理解：通项公式的特点在错位相减法的过程中体现了怎样的作用？通过解题过程我们可以发现：等比的部分使得每项的次数逐次递增，才保证在两边同乘公比时实现了“错位”的效果.而等差的部分错位部分“相减”后保持系数一致（其系数即为等差部分的公差） ，从而可圈在一起进行等比数列求和.体会到“错位”与“相减”所需要的条件，则可以让我们更灵活的使用这一方法进行数列求和（4）裂项相消：通项公式特点：na的表达式能够拆成形如 naf nf nk的形式（=1,2,k） ，从而在求和时可以进行相邻项（或相隔几项）的相消.从而结果只存在有限几项，达到求和目的.其中通项公式为分式和根式的居多.常见的裂项技巧：； ； ； ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，一般来说，裂开的2n项中有n个正项，n个负项，且由于消项的过程中是成对消掉.所以保留项中正负的个数应该相同.(5）分类（组）求和：如果通项公式是前几种可求和形式的和与差，那么在求和时可将通项公式的项分成这几部分分别求和后，再将结果进行相加.例：61118231nSn 可知通项公式为231n nan，那么在求和的过程中可拆成 3 部分：2 ,3 ,1nn分别求和后再相加122 2112223 123212n n nn nSnnn 12352222nnn 2、根据项的特点求和：如果数列无法求出通项公式，或者无法从通项公式特点入手求和，那么可以考虑观察数列中的项，通过合理的分组进行求和3（1）利用周期性求和：如果一个数列的项按某个周期循环往复，则在求和时可将一个周期内的项归为一组求和，再统计前n项和中含多少个周期即可（2）通项公式为分段函数（或含有 1n ，多为奇偶分段.若每段的通项公式均可求和，则可以考虑奇数项一组，偶数项一组分别求和，但要注意两点：一是序数的间隔（等差等比求和时会影响公差公比） ，二是要对项数的奇偶进行分类讨论（可见典型例题） ；若每段的通项公式无法直接求和，则可以考虑相邻项相加看是否存在规律，便于求和（3）倒序相加：若数列 na中的第k项与倒数第k项的和具备规律，在求和时可以考虑两项为一组求和，如果想避免项数的奇偶讨论，可以采取倒序相加的特点，即：12nnSaaa 11nnnSaaa 两式相加可得： 121112nnnnnSaaaaaan aa 1 2n nn aaS 【经典例题经典例题】例 1.【2017 课标 II，理 15】等差数列 na的前n项和为nS，33a ，410S ，则11nkkS。【答案】2 1n n【解析】4【名师点睛】等差数列的通项公式及前 n 项和公式，共涉及五个量 a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题。数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而 a1和 d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的.例 2.【2019 届辽宁省沈阳市监测一】在推导等差数列前n项和的过程中，我们使用了倒序相加的方法，类比可求得222sin 1sin 2sin 89_【答案】44.5【解析】令222sin 1sin 2sin 89S ，则： 222sin 89sin 88sin 1S ，两式相加可得： 2222222sin 1sin 89sin 2sin 88sin 89sin 189S ,故： 44.5S ，即222128944.5sinsinsin.例 3. 【2019 年 4 月 2019 届高三第二次全国大联考】已知等差数列是单调增数列，且是方程的两个根（）求数列的通项公式；5（）若，求数列的前 项和【答案】 （）；（） .（）由（）可得， 所以 例 4.【2019 届江西省景德镇市第一中学等盟校第二次联考】已知数列首项为 1，其前 项和为，且. （1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前 项和.【答案】(1) .(2) .【解析】分析：（1）由 ，两式相减可得，又 为等比数列.；（2）结合（1）可得，结合等比数列求和公式，利用错位相减法求和即可. 详解：（1） .，又 为等比数列. 6（2）. . 点睛：本题主要考查等比数列的定义、通项公式、求和公式以及错位相减法求数列的前 项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前 项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.例 5.【2019 届河北省武邑中学下期中】已知等差数列的前 项和为，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前 项和为.【答案】 （1）（2）（2），所以，从而得到当 为奇数时，当 为偶数时，所以.点睛：该题属于等差数列求通项问题以及数列求和问题，在求通项公式的时候，只要咬住首项和公差即可求得结果，第二问当把所求的通项公式代入以后，注意裂项这个关键步骤，中间的运算符号是和而不是差，还有就是在运算的过程中，需要对 为奇数还是偶数进行讨论.例 6.【2019 届百校联盟 TOP20 四月联考】已知数列满足，设.7（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前 项和.【答案】() ；() . 【解析】分析：（1）由，可知，从而得到数列的通项公式；（2），利用错位相加法求出数列的前 项和.() 由得，所以，两式相减得所以.例 7. 【2017 天津，理 18】已知na为等差数列，前 n 项和为()nSnN，nb是首项为 2 的等比数列，且公比大于 0，2312bb,3412baa，11411Sb.（）求na和nb的通项公式；8（）求数列221nna b的前 n 项和()nN.【答案】 （1）32nan.2nnb .（2）1328433n nnT.【解析】（II）解：设数列221nna b的前n项和为nT，由262nan，1 212 4nnb ，有221(31) 4nnna bn，故232 45 48 4(31) 4nnTn ，234142 45 48 4(34) 4(31) 4nn nTnn ，上述两式相减，得23132 43 43 43 4(31) 4nn nTn 1112 (1 4 )4(31) 41 4 (32) 48.n nnnn 得1328433n nnT.所以，数列221nna b的前n项和为1328433nn.例 8.【2019 届湖南省长郡中学一模】 已知数列，满足，9（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）令，求数列的前 项和【答案】(1)见解析;(2).详解：（1），由，化简得，即（） ，而，数列是以 1 为首项，1 为公差的等差数列，即，（） （2）由（1）知，两式相减得，故例 9.【2019 届黑龙江省大庆市第二次检测】已知为等差数列的前 项和，且.记,其中表示不超过 的最大整数，如.(I)求(II)求数列的前 200 项和.10【答案】 （) ；.()524.由已知，根据等差数列性质可知：.，所以，.()当时， ，共 2 项；当时，共 10 项；当时，共 50 项；当时，共 138 项.数列的前 200 项和为.例 10. 已知nS是数列 na的前n项和，且2232,1,2,3nnSannn（1）求证：数列2nan为等比数列（2）设cosnnban，求数列 nb的前n项和nT【答案】 （1）见解析；（2） 2121111342nnnn 11（2）思路：若要求和，需要先求出nb的通项公式.所以先利用（1）构造等比数列求出na，从而得到nb，对于 cos1nn ，处理方式既可以将nb进行奇偶分类，进而分组求和，也可放入到通项公式中进行求和解：由（1）可得：1 1222nnana令1n 代入2232nnSann1124Sa 14a22nnan 22n nan22cosn nbnn方法一：直接求和 12 21( 1) 11 2111111 ( 1)nnnn nPnn 111142nn nnP 2121111342nnn nnT 方法二：分组求和 22 ,2122cos22122 ,2n nnn nnn nkbnnnn nk 当n为偶数时 11 12212222nnn nnbbnn 12341nnnTbbbbbb2 14 1122222nn 22 412214 13nnnn当n为奇数时1 12211223nn nnnTTbnn 25233nn 221,23 252,2133nn nn nk T nnk 点睛：本题在分组求和时要注意以下几点（1）相邻两项一组，如果项数为奇数，那么会留出一项，项数为偶数，那么刚好分组.所以要对项数进行奇偶的分类讨论（2）在项数为偶数的求和过程中要注意n的取值变化不再是1,2,3,，而是2,4,6,所以求和时的公比和求和的项数会对应发生改变.（3）在项数为奇数的求和中可利用前面的结论，简化求和过程.（4）本题虽然可以直接求和，但是过程和结果相对形式比较复杂.13方法三：分奇数项偶数项分别求和 22 ,2122cos22122 ,2n nnn nnn nkbnnnn nk 当n为偶数时： 1351246nnnTbbbbbbbb131 1312222 131n nbbbn 2 122 41112224122332nnnnn 24 242222 24n nbbbn2 24 41222424122332nnn nn n122 33nnTn 同理：当n为奇数时1 12211223nn nnnTTbnn 25233nn 221,23 252,2133nn nn nk T nnk 【精选精练精选精练】1 【2019 届江西省莲塘一中、临川二中第一次联考】已知 11 221xxf xee，数列 na满足 12101nnafffffnnn，则2017a_【答案】2018142 【2019 届河南省六市第二次联考（4 月） 】已知数列b,满足 b1=1,b2=4,bn+2=(1+sin2)bn+cos2,则该数列的前 11 项的和为_.【答案】93【解析】分析：首先应用题中所给的递推公式确定好数列的项之间的关系，根据式子得到该数列的奇数项成等比数列，偶数项成等差数列，之后应用等比数列与等差数列的求和公式求得该数列的前 11 项和即可.详解：根据题中所给的递推公式，可以求得， ，从而可以得到该数列的奇数项成等比数列，偶数项成等差数列，所以其前 11 项和为 6 项奇数项，5 项偶数项，所以，故答案是 93.点睛：该题考查的是借助于数列的递推公式找出数列的项与项之间的关系，需要对奇数项与偶数项分开来讨论，奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，这个结论是最关键的一步，之后应用求和公式求得结果.3.【2019 年 4 月 2019 届高三第二次全国大联考】已知数列的前 项和为，数列的前 n 项和为，=1， ，.若对于任意正整数，都有成立，则的最大值为_.【答案】【解析】=1，=,当时，=,=,=,=,当时，=+=+=，15当时，；当时，,对于任意正整数，.，的最大值为 .4 【2019 届福建省漳州市 5 月测试】已知数列的前 项和为，满足，是等比数列，（1）求数列的通项公式； （2）若，设，求数列的前 项和【答案】 （1），或；（2）【解析】分析：（1）根据，列出关于首项 ，公比 的方程组，解得、 的值，即可得的通项公式，从而可得结果；（2）结合（1）可得，利用裂项相消法求和即可.16即，或 （2）因为，所以，所以，所以数列的前项和为5 【2019 届安徽省芜湖市高三 5 月模拟】已知数列的前 项和为，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前 项和.【答案】 （1）；（2）【解析】分析：(1)由 ，分类讨论得到数列的通项公式；(2) 由题意，利用裂项相消法求出数列的前 项和.详解：17(1)，；当时，；6 【2019 年 4 月 2019 届高三第二次全国大联考】已知等差数列满足，公比为正数的等比数列满足，.（）求数列，的通项公式；（）设，求数列的前 项和.【答案】 （），；（）.18所以.又公比为正数，解得. 所以. （）由（）知， 则 .，得. 所以.7 【2019 年 5 月 2019 届高三第三次全国大联考】已知等比数列的各项均为正数,若是与的等差中项,且（1）求数列的通项公式；（2）设,求数列的前 项和19【答案】(1)；(2).【解析】 （1）设等比数列的公比为 ,则由题意,得,且,化简得,解得或 又因为,即,所以，所以,所以8. 【2019 年 5 月 2019 届高三第三次全国大联考】已知等差数列满足，数列满足.（1）求数列、的通项公式；（2）求数列的前 项和.【答案】 （1），；（2）【解析】 （1）依题意，即，所以，则，故.因为，所以，当时，得，即.当时，满足上式. 20数列的通项公式为.（2）由（1）知， 9.【2019 年 5 月 2019 届高三第三次全国大联考】已知数列的前 项和为，点（）是曲线上的点数列是等比数列，且满足（）求数列的通项公式；（）记，求数列的前 n 项和【答案】(1) ,;(2)见解析.【解析】 （）由已知.当时，；当时， .显然，当时，上式也成立，所以.故，.所以等比数列的公比.故.（）数列的前 项和.21所以数列的前 项和.10 【2019 届陕西省咸阳市三模】在中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，三边 ， ，成等比数列，且面积为，在等差数列中，公差为 （1）求数列的通项公式；（2）数列满足，设为数列的前 项和，求【答案】(1);(2).所以是以 4 为首项，以 4 为公差的等差数列，解得22（2）由（1）可得，11 【2019 届福建省泉州市 5 模拟】已知等差数列中，.（1）设，求证：数列是等比数列；（2）求的前 项和.【答案】 （1）见解析；（2）.【解析】分析：第一问首先根据题中条件将等差数列公差求出，然后应用等比数列的定义求得（常数） ，从而证得是首项为 4，公比的等比数列.第二问，根据条件可以判断数列是由一个等差数列和一个等比数列对应项和所构成的新数列，所以求和时采用分组求和法求得结果.详解：（1）设的公差为 ，由，可得，即又，可得故依题意，因为（常数）12 【2019 届华大新高考联盟 4 月检测】已知数列为单调递增数列，其前 项和为，且满足23.（1）求数列的通项公式；（2）若数列，其前 项和为，若成立，求 的最小值.【答案】 （1）；（2）10【解析】试题分析：（1）先根据和项与通项关系得项之间递推关系，再根据等差数列定义及其通项公式得数列的通项公式；（2）先根据裂项相消法求，再解不等式得，即得 的最小值.试题解析：（1）由知：，两式相减得: ，即，又数列为单调递增数列，又当时，即，解得或 (舍） ，符合，是以 1 为首项，以 2 为公差的等差数列，