2019高考数学二轮复习 专题四 解析几何 第3讲 圆锥曲线的综合问题学案.doc

1第第 3 3 讲讲 圆锥曲线的综合问题圆锥曲线的综合问题考情考向分析 1.圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，考查范围、最值问题，定点、定值问题，探索性问题.2.试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类讨论等多种思想方法，对计算能力也有较高要求，难度较大热点一 范围、最值问题圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解例 1 (2018·浙江省稽阳联谊学校联考)已知离心率为的椭圆C：1(a>b>0)过点32x2 a2y2 b2P，与坐标轴不平行的直线l与椭圆C交于A，B两点，其中M为A关于y轴的对称(1，32)点，N(0，)，O为坐标原点2(1)求椭圆C的方程；(2)分别记PAO，PBO的面积为S1，S2，当M，N，B三点共线时，求S1·S2的最大值解 (1) ，a2b2c2，a2b.c a32把点P代入椭圆方程可得1，(1，32)1 a23 4b2解得a2，b1，椭圆方程为y21.x2 4(2)设点A坐标为(x1，y1)，点B坐标为(x2，y2)，则M为(x1，y1)，设直线l的方程为ykxb，联立椭圆方程可得(4k21)x28kbx4b240，x1x2，x1x2，>0，8kb 4k214b24 4k212M，N，B三点共线，kMNkBN，即0，y1 2x1y2 2x2化简得 8k(1b)0，2解得b或k0(舍去)22设A，B两点到直线OP的距离分别为d1，d2.直线OP的方程为x2y0，|OP|，372S1·S2|(x12y1)(x22y2)|，1 1633化简可得S1·S2|(2k)2x1x2(2k)(x1x2)2|1 16323.|1 43k4k21|又，3k4k2134，0) (0，34当k 时，S1·S2的最大值为.1 2314思维升华 解决范围问题的常用方法(1)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后，利用数形结合法求解(2)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解(3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域跟踪演练 1 (2018·绍兴市柯桥区模拟)已知抛物线C：y24x的焦点为F，直线l：ykx4(1，得 4217·4>0，S1 S2S2 S117 4(S1 S2)S1 S2解得>4 或0，解得k0)的焦点F，与抛物线 4相交于A，B两点，且|AB|8.(1)求抛物线的方程；(2)过点P(12,8)的两条直线l1，l2分别交抛物线于点C，D和E，F，线段CD和EF的中点分别为M，N.如果直线l1与l2的倾斜角互余，求证：直线MN经过一定点(1)解 由题意可设直线AB的方程为yx ，p 2由Error!消去y整理得x23px0，p2 49p24×8p2>0，p2 4令A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x23p，由抛物线的定义得|AB|x1x2p4p8，p2.抛物线的方程为y24x.(2)证明 设直线l1，l2的倾斜角分别为，由题意知，. 2直线l1的斜率为k，则ktan .直线l1与l2的倾斜角互余，tan tan( 2)sin(2)cos(2)，cos sin 1 sin cos 1 tan 直线l2的斜率为 .1 k6直线CD的方程为y8k(x12)，即yk(x12)8.由Error!消去x整理得ky24y3248k0，设C(xC，yC)，D(xD，yD)，yCyD ，4 kxCxD24，4 k216 k点M的坐标为.(122 k28 k，2 k)以 代替点M坐标中的k，1 k可得点N的坐标为(122k28k,2k)，kMN.2(1kk)2(1 k2k2)8(1 kk)1 1 kk4直线MN的方程为y2kx(122k28k)，1 1 kk4即yx10，(1 kk4)显然当x10 时，y0，故直线MN经过定点.(10，0)热点三 探索性问题1解析几何中的探索性问题，从类型上看，主要是存在类型的相关题型，解决这类问题通常采用“肯定顺推法” ，将不确定性问题明确化其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在2反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法例 3 已知椭圆C：1(a>b>0)的上、下焦点分别为F1，F2，上焦点F1到直线y2 a2x2 b24x3y120 的距离为 3，椭圆C的离心率e .1 2(1)求椭圆C的方程；7(2)椭圆E：1，设过点M(0,1)，斜率存在且不为 0 的直线交椭圆E于A，B两点，y2 a23x2 16b2试问y轴上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，PM(PA|PA|PB|PB|)说明理由解 (1)由已知椭圆C的方程为1(a>b>0)，y2 a2x2 b2设椭圆的焦点F1(0，c)，由F1到直线 4x3y120 的距离为 3，得3，|3c12| 5又椭圆C的离心率e ，所以 ，1 2c a1 2又a2b2c2，求得a24，b23.椭圆C的方程为1.y2 4x2 3(2)存在理由如下：由(1)得椭圆E：1，x2 16y2 4设直线AB的方程为ykx1(k0)，联立Error!消去y并整理得(4k21)x28kx120，(8k)24(4k21)×12256k248>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.8k 4k2112 4k21假设存在点P(0，t)满足条件，由于，PM(PA|PA|PB|PB|)所以PM平分APB.所以直线PA与直线PB的倾斜角互补，所以kPAkPB0.即0，y1t x1y2t x2即x2(y1t)x1(y2t)0.(*)将y1kx11，y2kx21 代入(*)式，8整理得 2kx1x2(1t)(x1x2)0，所以2k·0，12 4k211t × 8k4k21整理得 3kk(1t)0，即k(4t)0，因为k0，所以t4.所以存在点P(0,4)，使得.PM(PA|PA|PB|PB|)思维升华 解决探索性问题的注意事项存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在(1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径跟踪演练 3 已知椭圆C：1(a>b>0)经过点M(2，)，且离心率为.x2 a2y2 b2222(1)求a，b的值，并写出椭圆C的方程；(2)设A，B分别为椭圆C的左、右顶点，在椭圆C上有异于A，B的动点P，若直线PA，PB与直线l：xm(m为常数)分别交于不同的两点M，N，则当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过定点？解 (1)由题知，1， ，a2b2c2，4 a22 b2c a22解得a2，b2，2椭圆C的方程为1.x2 8y2 4(2)由(1)知，A(2，0)，B(2，0)，22设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则直线PA，PB的方程分别为yk1(x2)，2yk2(x2)，2M(m，k1(m2)，N(m，k2(m2)，22根据射影定理知，以MN为直径的圆的方程为(xm)2yk1(m2)yk2(m2)220，即(xm)2y2k1(m2)k2(m2)yk1k2·(m28)0，22设点P(x0，y0)，则1，y4，x2 0 8y2 0 42 0(1x2 0 8)9k1k2· ，y0x02 2y0x02 2y2 0 x2 081 2(xm)2y2k1(m2)k2(m2)y (m28)0，221 2由y0，得(xm)2 (m28)0，1 2(xm)2 (m28)1 2当m280.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x21，2k24 k210所以|AB|·|x1x2|1k2·1k2x1x224x1x2·1k2(2k24 k2)24.41k2k2同理可得|DE|4(1k2)所以|AB|DE|4(1k2)41k2k24(1 k211k2)8484×216，(k21 k2)当且仅当k2，即k±1 时，取得等号1 k22(2018·浙江)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y24x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；(2)若P是半椭圆x21(x0)与抛物线C2：y22ax相交于A，B两点，且两曲线的焦点Fx2 a2y2 3重合(1)求C1，C2的方程；(2)若过焦点F的直线l与椭圆分别交于M，Q两点，与抛物线分别交于P，N两点，是否存在斜率为k(k0)的直线l，使得2？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由|PN| |MQ|押题依据 本题将椭圆和抛物线联合起来设置命题，体现了对直线和圆锥曲线位置关系的综合考查关注知识交汇，突出综合应用是高考的特色解 (1)因为C1，C2的焦点重合，所以 ，a23a 2所以a24.又a>0，所以a2.于是椭圆C1的方程为1，x2 4y2 3抛物线C2的方程为y24x.(2)假设存在直线l使得2，|PN| |MQ|当lx轴时，|MQ|3，|PN|4，不符合题意，直线l的斜率存在，可设直线l的方程为yk(x1)(k0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x3，y3)，N(x4，y4)由Error!可得k2x2(2k24)xk20，则x1x4，x1x41，且16k216>0，2k24 k2所以|PN|·1k2x1x424x1x4.41k2k2由Error!可得(34k2)x28k2x4k2120，12则x2x3，x2x3，8k2 34k24k212 34k2且144k2144>0，所以|MQ|·.1k2x2x324x2x3121k234k2若2，则2×，|PN| |MQ|41k2k2121k234k2解得k±.62故存在斜率为k±的直线l，使得2.62|PN| |MQ|A A 组组 专题通关专题通关1已知椭圆1(a>b>0)的离心率e，左、右焦点分别为F1，F2，且F2与抛物线x2 a2y2 b233y24x的焦点重合(1)求椭圆的标准方程；(2)若过F1的直线交椭圆于B，D两点，过F2的直线交椭圆于A，C两点，且ACBD，求|AC|BD|的最小值解 (1)抛物线y24x的焦点坐标为(1,0)，所以c1，又因为e ，所以a，c a1 a333所以b22，所以椭圆的标准方程为1.x2 3y2 2(2)当直线BD的斜率k存在且k0 时，直线BD的方程为yk(x1)，代入椭圆方程1，x2 3y2 2并化简得x26k2x3k260.(3k22)36k44(3k22)(3k26)48(k21)>0 恒成立设B(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1x2，x1x2，6k2 3k223k26 3k22|BD|·|x1x2|1k2.(1k2)·x1x224x1x24 3(k21)3k2213由题意知AC的斜率为 ，1 k所以|AC|.4 3(1 k21)3 ×1 k224 3(k21)2k23|AC|BD|43(k21)(1 3k221 2k23)20 3(k21)2(3k22)(2k23)20 3(k21)2(3k22)(2k23)22.20 3(k21)225k212416 35当且仅当 3k222k23，即k±1 时，上式取等号，故|AC|BD|的最小值为.16 35当直线BD的斜率不存在或等于零时，可得|AC|BD|>.10 3316 35综上，|AC|BD|的最小值为.16 352(2018·诸暨市适应性考试)已知F是抛物线C：x22py(p>0)的焦点，过F的直线交抛物线C于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x21.(1)求抛物线C的方程；(2)过点B作x轴的垂线交直线AO(O为坐标原点)于点D，过点A作直线DF的垂线与抛物线C的另一交点为E，AE的中点为G.求点D的纵坐标；求的取值范围|GB| |DG|解 (1)设AB：ykx ，p 2联立Error!得x22p，(kxp 2)即x22pkxp20，x1x2p21，p1，抛物线C的方程为x22y.14(2)直线OA的方程为yxx，y1 x1x1 2D，即D，(x2，x1x2 2)(x2，1 2)点D的纵坐标为 .1 2kDF，kAEx2，1 x2即直线AE的方程为yy1x2(xx1)，联立Error!得x2xy110，x2 2xE2x2x1，G(x2,2y2y11)G，B，D三点共线，|GB| |DG|y2y112y2y132y1·y2 ，1 422|DG| |GB|y112 1 4y1y11y1y1122(1,2)，111 2y1.|GB| |DG|(1 2，1)3(2018·全国)已知斜率为k的直线l与椭圆C：1 交于A，B两点，线段AB的x2 4y2 3中点为M(1，m)(m>0)(1)证明：kb>0)的上顶点为点D，右焦点为F2(1,0)，延长DF2交椭圆Cx2 a2y2 b2于点E，且满足|DF2|3|F2E|.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点F2作与x轴不重合的直线l和椭圆C交于A，B两点，设椭圆C的左顶点为点H，且直线HA，HB分别与直线x3 交于M，N两点，记直线F2M，F2N的斜率分别为k1，k2，则k1与k2之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由解 (1)椭圆C的上顶点为D，右焦点F2(1,0)，点E的坐标为(x，y)(0，b)|DF2|3|F2E|，可得3，DF2F2E又，DF2(1，b)F2E(x1，y)Error!代入1，x2 a2y2 b217可得1，(4 3)2 a2(b 3)2 b2又a2b21，解得a22，b21，即椭圆C的标准方程为y21.x2 2(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，H，M，( 2，0)(3，yM)N.(3，yN)由题意可设直线AB的方程为xmy1，联立Error!消去x，得y22my10，(m22)4m24(m22)>0 恒成立Error!根据H，A，M三点共线，可得，yM3 2y1x1 2yM.y1(3 2)x1 2同理可得yN，y2(3 2)x2 2M，N的坐标分别为，(3，y1(3 2)x1 2) (3，y2(3 2)x2 2)k1k2·yMyNyM0 31yN0 311 4 ··1 4y1(3 2)x1 2y2(3 2)x2 2y1y23 224(my11 2)(my21 2)y1y23 224m2y1y2(1 2)m(y1y2)(1 2)2116 2m224m2 m222(1 2)m2m2232 2.116 2m224 ×64 2m224 29818k1与k2之积为定值，且该定值是.4 2986已知平面上动点P到点F的距离与到直线x的距离之比为，记动点P的轨(3，0)4 3332迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)设M是曲线E上的动点，直线l的方程为mxny1.(m，n)设直线l与圆x2y21 交于不同两点C，D，求|CD|的取值范围；求与动直线l恒相切的定椭圆E的方程，并探究：若M是曲线：Ax2By21(m，n)上的动点，是否存在与直线l：mxny1 恒相切的定曲线？若存在，直接(A·B 0)写出曲线的方程；若不存在，说明理由解 (1)设P(x，y)，由题意，得.(x 3)2y2|x4 33|32整理，得y21，曲线E的方程为y21.x2 4x2 4(2)圆心到直线l的距离d，1m2n2直线与圆有两个不同交点C，D，|CD|24.(11 m2n2)又n21(m0)，m2 4|CD|24.(14 3m24)|m|2，0<m24，0<1 .4 3m243 4|CD|2，|CD|，(0，3(0， 3即|CD|的取值范围为.(0， 3当m0，n1 时，直线l的方程为y1；当m2，n0 时，直线l的方程为x .1 2根据椭圆对称性，猜想E的方程为 4x2y21.下面证明：直线mxny1与 4x2y21 相切，(n 0)其中n21，即m24n24.m2 419由Error!消去y得x22mx1n20，(m24n2)即 4x22mx1n20，4m21640 恒成立，从而直线mxny1 与椭圆(1n2)(m24n24)E：4x2y21 恒相切若点 M是曲线：Ax2By21上的动点，则直线 l：mxny1 与定曲线(m，n)(A·B 0)：1恒相切x2Ay2B(A·B 0)