2022届高考数学一轮复习一元二次不等式及其解法ppt课件 .pptx
第五节一元二次不等式及其解法第五节一元二次不等式及其解法学习要求学习要求:1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.3.会解一元二次不等式.1.“三个二次三个二次”的关系的关系必备知识整合判别式=b2-4ac0=00)的图象一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根有两个相异实根x1,x2(x10(a0)的解集x|xx2x|xx1Rax2+bx+c0)的解集x|x1x0和和(x-a)(x-b)0型不等式的解集型不等式的解集不等式解集ab(x-a)(x-b)0 x|xbx|xax|xa(x-a)(x-b)0 x|axbx|bx0对任意实数x恒成立(2)一元二次不等式ax2+bx+c0(0(0).(2)0(0)f(x)g(x)0(0)且g(x)0.以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式.1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”).(1)若不等式ax2+bx+c0.()(2)若不等式ax2+bx+c0的解集是(-,x1)(x2,+),则方程ax2+bx+c=0的两个根是x1和x2.()(3)若方程ax2+bx+c=0(a0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c0的解集为R.()(4)不等式ax2+bx+c0在R上恒成立的条件是a0且=b2-4ac0.()(5)若二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,则不等式ax2+bx+c0的解集一定不是空集.()2.已知A=x|-4x1,B=x|x2-x-60,则AB等于()A.(-3,1)B.(-2,1)C.(-4,2)D.(-4,3)D解析解析因为A=x|-4x1=(-4,1),B=x|x2-x-60的解集为()A.(-,0)B.C.D.A解析解析原不等式等价于解不等式组可得实数x的取值范围是(-,0).4.设不等式ax2+bx+10的解集为,则ab的值为.6解析解析由不等式ax2+bx+10的解集为,知a0且ax2+bx+1=0的两根为x1=-1,x2=,由根与系数的关系知所以a=-3,b=-2,即ab=6.5.若不等式x2+ax+40的解集不是空集,则实数a的取值范围是.(-,-4)(4,+)解析解析因为不等式x2+ax+40,即a216,所以a4或a3.考点一一元二次不等式的解法考点一一元二次不等式的解法关键能力突破解析解析(1)不等式两边同乘-1,则原不等式可化为x2+2x-30.方程x2+2x-3=0的解为x1=-3,x2=1.而y=x2+2x-3的图象开口向上,所以原不等式-x2-2x+30的解集是x|-3x1.(2)由题意得或解得x1,故原不等式的解集为x|x1.角度二解含参数的一元二次不等式角度二解含参数的一元二次不等式典例典例2解关于x的不等式:12x2-axa2(aR).解析解析因为12x2-axa2,所以12x2-ax-a20,即(4x+a)(3x-a)0.令(4x+a)(3x-a)=0,解得x1=-,x2=.当a0时,-0,不等式的解集为x|xR,且x0;当a,不等式的解集为.综上所述,当a0时,不等式的解集为;当a=0时,不等式的解集为x|xR,且x0;当a0,N=x|x2-4x+30,则MN=()A.(0,1)B.(1,3)C.(0,3)D.(3,+)A解析解析将M中不等式变形,得x(x-3)0,解得0 x0,解得x3,即N=(-,1)(3,+),则MN=(0,1).故选A.2.解不等式ax2-(a+1)x+10).解析解析因为a0,所以原不等式等价于(x-1)0.当a=1时,=1,(x-1)1时,1,解(x-1)0,得x1;当0a1,解(x-1)0,得1x.综上所述,当0a1时,不等式的解集为.角度一形如角度一形如f(x)0(f(x)0)(xR)确定参数的范围确定参数的范围典例典例3若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-40对一切xR恒成立,则实数a的取值范围是.考点二一元二次不等式恒成立问题考点二一元二次不等式恒成立问题(-2,2解析解析当a-2=0,即a=2时,不等式为-40,对一切xR恒成立.当a2时,则即解得-2a0,则实数a的取值范围是.(1,5解析解析设f(x)=x2-2(a-2)x+a.因为对于任意的x(-,1)(5,+),都有f(x)=x2-2(a-2)x+a0,所以0或解得1a4或4a5,即10,|a|1恒成立的x的取值范围.解析解析将原不等式整理为形式上是关于a的不等式(x-3)a+x2-6x+90.令f(a)=(x-3)a+x2-6x+9,-1a1.因为f(a)0在|a|1时恒成立,所以若x=3,则f(a)=0,不符合题意,舍去.若x3,则由一次函数的单调性,可得即解得x4.故实数x的取值范围为(-,2)(4,+).名师点评名师点评形如f(x)0(f(x)0)恒成立问题的求解思路(1)xR的不等式确定参数的范围时,结合二次函数的图象,利用判别式来求解.(2)xa,b的不等式确定参数的范围时,根据函数的单调性求其最值,让最值大于等于或小于等于0,从而求出参数的范围;数形结合,利用二次函数在端点a,b处的取值特点确定不等式,求参数的取值范围.(3)已知参数ma,b的不等式确定x的范围,要注意变换主元,一般地,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数.提醒解决恒成立问题一定要搞清楚谁是主元,谁是参数.1.若函数y=的定义域为R,则m的取值范围是.解析解析y=的定义域为R,即mx2-(1-m)x+m0对任意xR恒成立,则解得m.2.设函数f(x)=mx2-mx-1.若对于任意x1,3,f(x)-m+5恒成立,求m的取值范围.解析解析要使f(x)-m+5在x1,3上恒成立,即m+m-60时,g(x)在1,3上是增函数,所以g(x)max=g(3)7m-60,所以m,所以0m;当m=0时,-60恒成立;当m0时,g(x)在1,3上是减函数,所以g(x)max=g(1)m-60,所以m6,所以m0.综上所述,m的取值范围是.典例典例6(1)不等式1的解集为()A.(-,-12,+)B.(-,-1C.(-,-1考点三其他不等式的解法考点三其他不等式的解法D.2,+)(2)解关于x的不等式:|x-1|5-2x|.(3)解关于x的不等式:3|2x-3|5.D解析解析(1)由题意得-10,所以0,所以0,所以解得-1x或x2,所以不等式的解集为2,+).(2)由原不等式得(x-1)2(5-2x)2,(x-1)2-(5-2x)20,x4,原不等式的解集是x|x4.(3)原不等式的解集是x|-1x0或3x4.名师点评名师点评1.去绝对值的方法(1)分类讨论(通过绝对值的定义);(2)数形结合(通过绝对值的几何意义);(3)平方去绝对值.2.分式不等式的解法解分式不等式的基本思想是等价转化,即采用正确的方法将分式不等式转化为整式不等式或不等式组来解决.3.高次不等式的解法高次不等式通常是化为不等式组或用列表法或用数轴标根法求解.1.不等式x+1的解集是()A.(-3,-2)(0,+)B.(-,-3)(-2,0)C.(-3,0)D.(-,-3)(0,+)A解析解析不等式0,等价于x(x+3)(x+2)0,如图,把x(x+3)(x+2)=0的各个根排列在数轴上,用穿根法求得不等式的解集为(-3,-2)(0,+).2.解关于x的不等式:|x-2|+|x+3|7.解析解析当x7,解得x-4.当-3x7,解集为.当x2时,原不等式变成(x-2)+(x+3)7,解得x3.综上,原不等式的解集是(-,-4)(3,+).微专题微专题转化与化归思想在不等式中的应用转化与化归思想在不等式中的应用典例典例(2020福清模考)已知一元二次不等式ax2+bx+c0的解集为x|2x0的解集为()A.B.C.D.学科素养提升B解析解析一元二次不等式ax2+bx+c0的解集为x|2x5,所以a0,且2,5是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根,所以-=2+5=7,=25=10,所以b=-7a,c=10a,且a0化为10ax2-7ax+a0,即10 x2-7x+10,解得x0(a0)的解集的端点值是一元二次方程ax2+bx+c=0的根,也是函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标.(2)二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象在x轴上方的部分,是由不等式ax2+bx+c0的x的值构成的;图象在x轴下方的部分,是由不等式ax2+bx+c0的x的值构成的,三者之间相互依存、相互转化.设a,b是关于x的一元二次方程x2-2mx+m+6=0的两个实根,则(a-1)2+(b-1)2的最小值是()A.-B.18C.8D.-6C解析解析因为关于x的一元二次方程x2-2mx+m+6=0的两个根为a,b,所以且=4(m2-m-6)0,解得m3或m-2.所以y=(a-1)2+(b-1)2=(a+b)2-2ab-2(a+b)+2=4m2-6m-10=4-.由二次函数的性质知,当m=3时,函数y=4m2-6m-10取得最小值,最小值为8.故选C.
