数学教育概论-第十一章02.ppt

第十一章第十一章 数学教学设计数学教学设计数学问题情境及数学概念的教学设计数学问题情境及数学概念的教学设计一、数学问题的教学设计在教学中如何设计数学问题以创设情境在教学中如何设计数学问题以创设情境如何进行针对教学内容为如何进行针对教学内容为“解决数学问题解决数学问题”的的教学设计教学设计数学问题情境的教学设计20062006年年1 1月月2424日，日，CERSPCERSP教育论坛邀请刘兼、孙晓天、吕传汉、教育论坛邀请刘兼、孙晓天、吕传汉、汪秉彝、张丹等就汪秉彝、张丹等就“数学教学中的问题情境设计数学教学中的问题情境设计”为题，与网为题，与网友进行了一次对话研讨。友进行了一次对话研讨。刘兼：刘兼：教育部教育部基础教育司课程教材发展中心主任助理，教育部教育部基础教育司课程教材发展中心主任助理，教授，国家义务教育数学课程标准研制组负责人教授，国家义务教育数学课程标准研制组负责人孙晓天：孙晓天：中央民族大学教授，教务处长，国家义务教育数学中央民族大学教授，教务处长，国家义务教育数学课程标准研制组负责人课程标准研制组负责人吕传汉：吕传汉：教授，贵州师范大学副校长，国家教委第二届数学教授，贵州师范大学副校长，国家教委第二届数学与力学教学指导委员会委员。与力学教学指导委员会委员。汪秉彝：汪秉彝：贵州师范大学教授贵州师范大学教授张丹：张丹：北京教育学院副教授北京教育学院副教授,教育部教育部“义务教育阶段国家数学义务教育阶段国家数学课程标准课程标准”研制组核心成员研制组核心成员一、数学问题的教学设计数学问题情境的教学设计什么是数学问题情境？什么是数学问题情境？数学情境是一种激发学生问题意识为价值取向的刺激性数学情境是一种激发学生问题意识为价值取向的刺激性的数据材料和背景信息。是从事数学活动的环境，产的数据材料和背景信息。是从事数学活动的环境，产生数学行为的条件。生数学行为的条件。（汪秉彝、杨孝斌）（汪秉彝、杨孝斌）一、数学问题的教学设计数学问题情境的教学设计什么样的情境是好的数学问题情境？什么样的情境是好的数学问题情境？好的数学问题的特点：好的数学问题的特点：问题具有较强的探索性；问题具有较强的探索性；问题有现实意义或与学生的实际相关，有趣味性和魅问题有现实意义或与学生的实际相关，有趣味性和魅力；力；问题具有开放性；问题具有开放性；问题能推广或扩充到多种情形。问题能推广或扩充到多种情形。一、数学问题的教学设计数学问题情境的教学设计什么样的情境是好的数学问题情境？什么样的情境是好的数学问题情境？一个好的问题情境对于理解新的数学概念、形成新的数学原理、一个好的问题情境对于理解新的数学概念、形成新的数学原理、产生新的数学公式，或蕴含新的数学思想会有积极的促进作用；产生新的数学公式，或蕴含新的数学思想会有积极的促进作用；能够充分调动起学生原有的生活经验或数学背景，更能激发起由能够充分调动起学生原有的生活经验或数学背景，更能激发起由情境引起的数学意义的思考，从而让学生有机会经历情境引起的数学意义的思考，从而让学生有机会经历“问题情境问题情境建立模型建立模型解释或应用解释或应用”这一重要的数学活动过程。这一重要的数学活动过程。（刘兼教授）（刘兼教授）案例案例1 1：对数函数的引入：对数函数的引入案例案例2 2：巢晖的：巢晖的“曲线的参数方程曲线的参数方程”一、数学问题的教学设计数学问题情境的教学设计什么样的情境是好的数学问题情境？什么样的情境是好的数学问题情境？一个好的情境其实是很简单的。（孙晓天教授）一个好的情境其实是很简单的。（孙晓天教授）如：如：一架梯子，靠在墙上，太陡了不行，太平了一架梯子，靠在墙上，太陡了不行，太平了也不行，这个也不行，这个“陡陡”不不“陡陡”是生活中的事，这里又是生活中的事，这里又是数学的事，是数学的事，“陡陡”不不“陡陡”其实就是梯子长度和梯其实就是梯子长度和梯子的影子这两条子的影子这两条“边边”的比的大小问题，这个的比的大小问题，这个“比比”的大小就是数学问题了。伴随着思考和讨论，的大小就是数学问题了。伴随着思考和讨论，“正切正切”就出来了。就出来了。一、数学问题的教学设计数学问题情境的教学设计什么样的情境是好的数学问题情境？什么样的情境是好的数学问题情境？数学问题情境并不只是学生真实的生活情境，可以数学问题情境并不只是学生真实的生活情境，可以是虚拟的，也可以是数学等知识的。重要的是看其与是虚拟的，也可以是数学等知识的。重要的是看其与数学的联系，使学生理解数学、获得数学并得到进一数学的联系，使学生理解数学、获得数学并得到进一步的发展方面所起的作用。步的发展方面所起的作用。一、数学问题的教学设计数学问题情境的教学设计创设数学问题情境应遵循的原则：创设数学问题情境应遵循的原则：（1 1）合理性。即情境创设中的背景信息应符合现实生活）合理性。即情境创设中的背景信息应符合现实生活场景和事物运动的客观规律，其数学信息应符合学生场景和事物运动的客观规律，其数学信息应符合学生的认知发展规律；的认知发展规律；（2 2）问题导向性。即数学情境的创设应以激发学生问题）问题导向性。即数学情境的创设应以激发学生问题意识为价值取向。意识为价值取向。（3 3）有效性。即数学情境的创设应以教学目标的有效实）有效性。即数学情境的创设应以教学目标的有效实现为着力点。现为着力点。吕传汉、夏小刚吕传汉、夏小刚一、数学问题的教学设计讲两点确定一条直线时，选用木匠使用的墨斗来创设情景。讲两点确定一条直线时，选用木匠使用的墨斗来创设情景。同样是讲两点确定一条直线，教师先请班里的一位同学站起，再同样是讲两点确定一条直线，教师先请班里的一位同学站起，再让和站在一条直线上的同学站起来让和站在一条直线上的同学站起来一位教师在讲四边形内角和时，请一位同学从四边形的一边的某一位教师在讲四边形内角和时，请一位同学从四边形的一边的某点出发，逆时针沿边走完一周，老师问这位同学左手一方经过的点出发，逆时针沿边走完一周，老师问这位同学左手一方经过的角度？角度？在美国，小学生学习集合，教师说男生集合站起来，男生站起，在美国，小学生学习集合，教师说男生集合站起来，男生站起，女生集合站起，女生站起，黑人学生集合站起，白人学生集合站女生集合站起，女生站起，黑人学生集合站起，白人学生集合站起起，小学生学会了，回家家长问今天学了什么？孩子说集合，小学生学会了，回家家长问今天学了什么？孩子说集合，家长又问学会了吗？学会了。家长正在做饭，就指着洗好的土豆，家长又问学会了吗？学会了。家长正在做饭，就指着洗好的土豆，番茄和其他菜问有怎样的集合，小学生想了想说番茄和其他菜问有怎样的集合，小学生想了想说请对以下教学中的情境创设效果作预测：请对以下教学中的情境创设效果作预测：一、数学问题的教学设计数学问题情境的教学设计创设数学问题情境应遵循的原则：创设数学问题情境应遵循的原则：设计情境首先要考虑设计情境的目的。即要考虑设计情境首先要考虑设计情境的目的。即要考虑通过情境的创设希望学生获得什么数学？情境所服从通过情境的创设希望学生获得什么数学？情境所服从的内容的数学核心是什么的内容的数学核心是什么?同时同时,情境的设计还要基于情境的设计还要基于学生的现实。学生的现实。张丹张丹 我们应该追求一些更能表现我们应该追求一些更能表现“数学的文化价值数学的文化价值”的的数学情境。数学情境。马岷兴马岷兴一、数学问题的教学设计数学问题情境的教学设计如何创设好的数学问题情境：如何创设好的数学问题情境：以数学故事创设问题情境；以数学故事创设问题情境；以数学知识的产生、发展过程创设情境；以数学知识的产生、发展过程创设情境；以数学知识的现实价值创设情境；以数学知识的现实价值创设情境；以数学悬念来创设问题；以数学悬念来创设问题；以数学活动和数学实验创设问题情境；以数学活动和数学实验创设问题情境；充分发挥现代教育技术的创新教育功能。充分发挥现代教育技术的创新教育功能。一、数学问题的教学设计数学问题情境的教学设计如何创设好的数学问题情境：吕传汉、汪秉彝先生主编的吕传汉、汪秉彝先生主编的数学情境与数学问题数学情境与数学问题 案例案例3 3：等差数列前：等差数列前n n项和公式项和公式案例案例5 5：函数的概念：函数的概念案例案例6 6：函数的单调性：函数的单调性案例案例7 7：指数函数：指数函数案例案例4 4：等比数列前：等比数列前n n项和公式项和公式案例案例8 8：函数：函数y=sin(Ax+y=sin(Ax+)的图象的图象一、数学问题的教学设计数学问题情境的教学设计具体设计时要注意：具体设计时要注意：选择在学生能力的选择在学生能力的“最近发展区最近发展区”内的问题；内的问题；问题的提出要有艺术性、新颖性、趣味性和现实性问题的提出要有艺术性、新颖性、趣味性和现实性问题的安排要有层次性问题的安排要有层次性可以引起学生探索可以引起学生探索案例案例6 6：函数的单调性：函数的单调性一、数学问题的教学设计 良好的问题情境可以使教学内容触及学生的情绪和意志领域，成为提高数学效率的重要手段。一、数学问题的教学设计 国际象棋的棋盘上共有国际象棋的棋盘上共有8 8行行8 8列，构成列，构成6464个格子。国际个格子。国际象棋起源于古代印度，关于国际象棋有这样一个传说。国象棋起源于古代印度，关于国际象棋有这样一个传说。国王要奖励国际象棋的发明者，问他有什么要求，发明者说：王要奖励国际象棋的发明者，问他有什么要求，发明者说：“请在棋盘的第一个格子里放上请在棋盘的第一个格子里放上1 1颗麦粒，在第二个格子颗麦粒，在第二个格子里上里上2 2颗麦粒，在第三个格子里放上颗麦粒，在第三个格子里放上4 4颗麦粒，在第四个格颗麦粒，在第四个格子里放上子里放上8 8颗麦粒，依次类推，每个格子里放的麦粒数都颗麦粒，依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的是前一个格子里放的麦粒数的2 2倍，直到第倍，直到第6464个格子。请个格子。请给我足够的粮食来实现上述的要求给我足够的粮食来实现上述的要求”。国王觉得这并不是。国王觉得这并不是很难办到的事，就欣然同意了他的要求。很难办到的事，就欣然同意了他的要求。你认为国王有能力满足发明者的要求吗？你认为国王有能力满足发明者的要求吗？案例案例4 4：等比数列前：等比数列前n n项和公式项和公式一、数学问题的教学设计1 1、让让学学生生指指出出下下面面例例子子中中的的变变量量以以及及变变量量之之间间关关系系的的表表达方式。达方式。以每小时以每小时8080kmkm匀速前进的火车，所驶过的路程和时间；匀速前进的火车，所驶过的路程和时间；用表格绘出某水库的水量和水深；用表格绘出某水库的水量和水深；由某天气温变化的曲线所揭示的气温和时刻。由某天气温变化的曲线所揭示的气温和时刻。2 2、找出上述各例中二变量关系的共同属性；、找出上述各例中二变量关系的共同属性；3 3、抽象出共同属性之间的各种假设；、抽象出共同属性之间的各种假设；4 4、让让学学生生举举例例，将将上上述述本本质质属属性性推推广广到到同同类类事事物物，形形成成函函数数概念，并用定义表示。概念，并用定义表示。案例案例5 5：函数的概念：函数的概念一、数学问题的教学设计1 1、出出于于防防洪洪灌灌溉溉的的需需要要，某某水水库库常常需需要要知知道道它它的的实实际际储储水水量量，你你能能设设计计出出一一个个简简单单易易行行的的测测量量储储水水量量的的方方案案吗吗？具体地应该做哪些工作？具体地应该做哪些工作？2 2、能不能通过测量水深来间接地测量储水量呢？、能不能通过测量水深来间接地测量储水量呢？3 3、当当两两个个变变量量具具有有什什么么样样的的关关系系时时，才才能能实实现现用用一一个量表示另一个变量的目的呢？个量表示另一个变量的目的呢？案例案例5 5：函数的概念：函数的概念一、数学问题的教学设计 如图为宿迁市如图为宿迁市20062006年元旦年元旦2424小时内的气温变化图观小时内的气温变化图观察这张气温变化图：察这张气温变化图：问题问题1 1 怎样描述气温随时间增大的变化情况？怎样描述气温随时间增大的变化情况？问题问题3 3 在区间在区间4 4，1616上，气温是否随时间增大而增大？上，气温是否随时间增大而增大？问题问题2 2 怎样用数学语言来刻画上述时段内怎样用数学语言来刻画上述时段内“随着时间的增大随着时间的增大气温逐渐升高气温逐渐升高”这一特征这一特征？t1t2f(t1)f(t2)案例案例6 6：函数的单调性：函数的单调性一、数学问题的教学设计以以“叠纸叠纸”引入：引入：学生分成小组，动手折纸学生分成小组，动手折纸 ,观察对折次数与所观察对折次数与所得纸的层数的关系。问折叠得纸的层数的关系。问折叠3030次后，这叠纸大概有次后，这叠纸大概有多厚？多厚？设一张报纸为设一张报纸为0.10.1毫米，则对折毫米，则对折3030次后厚度为次后厚度为h=0.12h=0.123030毫米，远高于珠穆琅玛峰毫米，远高于珠穆琅玛峰案例案例7 7：指数函数：指数函数一、数学问题的教学设计二、数学概念的教学设计1.1.数学概念及其产生数学概念及其产生2.2.数学概念的结构数学概念的结构3.3.数学概念的教学设计过程数学概念的教学设计过程引入引入形成形成巩固巩固运用运用1.1.数学概念及其产生数学概念及其产生 数学概念是反映现实世界空间形式与数量关系本质属数学概念是反映现实世界空间形式与数量关系本质属性的思维形式。数学概念的产生与发展有不同的途径：性的思维形式。数学概念的产生与发展有不同的途径：直接从客观事物的空间形式或数量关系反映得到；直接从客观事物的空间形式或数量关系反映得到；在已有数学概念的基础上经过多层次的抽象概括而形成。在已有数学概念的基础上经过多层次的抽象概括而形成。根据理论上有存在的可能而提出来根据理论上有存在的可能而提出来 不管形成如何，它们总是在一定的感性认识的基础不管形成如何，它们总是在一定的感性认识的基础上或在一定理性认识的基础上产生并逐步发展的。上或在一定理性认识的基础上产生并逐步发展的。二、数学概念的教学设计2.2.数学概念的结构数学概念的结构每一数学概念都反映某一数学对象的本质属性，同时人每一数学概念都反映某一数学对象的本质属性，同时人们通过它所反映的属性去指称具有该属性的数学对象，们通过它所反映的属性去指称具有该属性的数学对象，这两方面分别构成了数学概念的内涵和外延。每一数学这两方面分别构成了数学概念的内涵和外延。每一数学概念都是由概念的内涵和外延两方面构成的。概念都是由概念的内涵和外延两方面构成的。内涵指的是概念所反映的本质属性；外延指的是概内涵指的是概念所反映的本质属性；外延指的是概念所反映的对象范围，即具有概念内涵的对象的全体。念所反映的对象范围，即具有概念内涵的对象的全体。一般地，当集合一般地，当集合x|x|表示一个概念的外延时，表示一个概念的外延时，那么那么 就表示这个概念的内涵。就表示这个概念的内涵。二、数学概念的教学设计教学案例：函数概念的教学设计教学案例：函数概念的教学设计3.3.数学概念的教学设计过程数学概念的教学设计过程二、数学概念的教学设计（1 1）函数概念的引入）函数概念的引入回忆初中函数概念：回忆初中函数概念：设设在在一一个个变变化化过过程程中中，有有两两个个变变量量x x和和y y，如如果果对对于于x x的的每每一一个个值值，y y都都有有唯唯一一的的值值与与它它对对应应，那那么么就就说说x x是是自变量，自变量，y y是是x x的函数。的函数。教学案例：教学案例：函数概念的教学设计函数概念的教学设计二、数学概念的教学设计（1 1）函数概念的引入）函数概念的引入引例引例1 1：我国城镇居民恩格尔系数变化情况：我国城镇居民恩格尔系数变化情况 国国际际上上常常用用恩恩格格尔尔系系数数反反映映一一个个国国家家人人民民生生活活水水平平质质量量的的高高底底，所所谓谓恩恩格格尔尔系系数数，就就是是食食物物支支出出金金额额与与总总支支出出金金额额的的比比。恩恩格格尔尔系系数数越越底底，人人民民生生活活的的质质量量就就越越高高。我我国国自自19921992年以来，城填居民恩格尔系数变化情况如下：年以来，城填居民恩格尔系数变化情况如下：年份年份20002001200220032004200520062007恩格恩格尔尔系系数（数（%）39.438.237.737.137.736.735.836.3 你能用数学语言描述出恩格尔系数与年份之间你能用数学语言描述出恩格尔系数与年份之间的关系吗？的关系吗？教学案例：教学案例：函数概念的教学设计函数概念的教学设计二、数学概念的教学设计（1 1）函数概念的引入）函数概念的引入引引例例2 2：某某市市乘乘坐坐地地铁铁计计费费方方法法是是：进进站站收收费费3 3元元，从从第第3 3站站起起以以后后每每坐坐3 3站站多多收收费费1 1元元，每每站站平平均均路路程程为为1 1千千米米，则则乘乘坐坐地铁的收费与乘坐地铁的站数的关系如图所示：地铁的收费与乘坐地铁的站数的关系如图所示：路程（千米）路程（千米）（元元）费费收收 你能用数学语言粗略描述出路程和收费之间的关系吗？你能用数学语言粗略描述出路程和收费之间的关系吗？教学案例：教学案例：函数概念的教学设计函数概念的教学设计二、数学概念的教学设计（1 1）函数概念的引入）函数概念的引入引引例例3 3：某某市市一一月月某某天天从从0000：0000时时到到次次日日2424：0000时时的的温温度度记录如图所示：记录如图所示：你能用数学语言描述出时间与温度之间的关系吗？你能用数学语言描述出时间与温度之间的关系吗？教学案例：教学案例：函数概念的教学设计函数概念的教学设计二、数学概念的教学设计（1 1）函数概念的引入）函数概念的引入引例引例4 4：自由落体运动下落距离与下落时间的关系：自由落体运动下落距离与下落时间的关系 s=1/2gts=1/2gt2 2 函数图象如图函数图象如图t(秒）秒）s(米）米）你能用数学语言描述出时间与下落距离之间的关系吗？你能用数学语言描述出时间与下落距离之间的关系吗？教学案例：教学案例：函数概念的教学设计函数概念的教学设计二、数学概念的教学设计年份20002001200220032004200520062007恩格尔系数（%）39.438.237.737.137.736.735.836.3例例1例例2t(秒）秒）s(米）米）例例2例例3例例4请阅读，观察，分析上述例子，概括请阅读，观察，分析上述例子，概括它们的共同特点。它们的共同特点。（设计意图：让学生体验函数产生于（设计意图：让学生体验函数产生于研究变量之间关系的需要；及函数是研究变量之间关系的需要；及函数是描述数学和现实问题的有效工具。）描述数学和现实问题的有效工具。）（2 2）函数概念的形成）函数概念的形成讲清概念掌握内涵与外延讲清概念掌握内涵与外延问题问题1.1.是否可用集合语言来阐述上述三个问题的共同特点是否可用集合语言来阐述上述三个问题的共同特点?（引导学生用集合的语言准确描述出函数概念。）（引导学生用集合的语言准确描述出函数概念。）引导学生分析构成函数的三要素。引导学生分析构成函数的三要素。总结函数的基本表示方法；总结函数的基本表示方法；理解函数符号的含义理解函数符号的含义教学案例：教学案例：函数概念的教学设计函数概念的教学设计二、数学概念的教学设计（3 3）函数概念的巩固）函数概念的巩固例例1.1.观观察察下下列列几几组组从从A A到到B B的的对对应应,指指出出哪哪些些对对应应是是函函数数?哪些不是哪些不是?是函数的指出其定义域与值域。是函数的指出其定义域与值域。教学案例：教学案例：函数概念的教学设计函数概念的教学设计二、数学概念的教学设计（3 3）函数概念的巩固）函数概念的巩固例例2 2 判断下列对应是否为函数判断下列对应是否为函数:(1)x (1)x (2)x y,(2)x y,其中其中y2=x,y2=x,(3)x y,(3)x y,其中其中 (4)(4)已已知知集集合合A=R,B=-1,1,A=R,B=-1,1,对对应应法法则则f:f:当当x x为为有有理理数数时时,f(x)=-1;,f(x)=-1;当当x x为无理数时为无理数时,f(x)=1,f(x)=1,对应对应 f:A Bf:A B教学案例：教学案例：函数概念的教学设计函数概念的教学设计二、数学概念的教学设计（3 3）函数概念的巩固）函数概念的巩固 例例3 3 在在下下列列图图象象中中，请请指指出出哪哪一一个个是是函函数数图图象象，哪哪一一个个不是，并说明理由不是，并说明理由教学案例：教学案例：函数概念的教学设计函数概念的教学设计二、数学概念的教学设计（3 3）函数概念的巩固）函数概念的巩固例例4 4、下列两个函数是否表示同一个函数、下列两个函数是否表示同一个函数教学案例：教学案例：函数概念的教学设计函数概念的教学设计二、数学概念的教学设计（4 4）函数概念的应用（略）函数概念的应用（略）简单运用：运用函数的集合概念来解释初中所学过的函数。简单运用：运用函数的集合概念来解释初中所学过的函数。灵活运用灵活运用：（略）：（略）教学案例：教学案例：函数概念的教学设计函数概念的教学设计二、数学概念的教学设计