中考复习专题：最短路径问题课件.ppt

20172017年中考复习专题：年中考复习专题：澄江六中澄江六中 陈家荣陈家荣2017年年6月月 中考题中出现最短路径问题，往往都涉中考题中出现最短路径问题，往往都涉及具体的计算和求值，需要结合勾股定理、及具体的计算和求值，需要结合勾股定理、平面直角坐标系、函数与方程知识，从而得平面直角坐标系、函数与方程知识，从而得出定量的结果。解决这类问题的关键，首先出定量的结果。解决这类问题的关键，首先要牢固掌握基础知识、基本思想方法和基本要牢固掌握基础知识、基本思想方法和基本问题模型，熟悉最短路径问题的常考题型。问题模型，熟悉最短路径问题的常考题型。中考导航中考导航【教学知识点教学知识点】：1、两点之间，线段最短；、两点之间，线段最短；2、垂线段最短（构建、垂线段最短（构建“对称模型对称模型”实现转化）；实现转化）；3、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边。、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边。【能力要求能力要求】：1.学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念.2.在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想力及渗透数学建模的思想.【情感要求情感要求】：1.通过有趣的问题提高学习数学的兴趣通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.2.在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性，体现人人都学有在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性，体现人人都学有用的数学用的数学 教学目标教学目标教学过程教学过程 一、基础知识一、基础知识1、两点之间，线段最短、两点之间，线段最短问题问题1：如图：如图1，定点，定点A,B之间有之间有4条路径条路径L1、L2、L3、L4，问哪条路径，问哪条路径最短？为什么？最短？为什么？理由：显然，理由：显然，L3最短。因为，两点之间，最短。因为，两点之间，线段最短（公理）。线段最短（公理）。问题问题2：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，为什么？为什么？理由：理由：“三角形两边之和大于第三边三角形两边之和大于第三边”事实上就是事实上就是“两点之间，两点之间，线段最短线段最短”这一公理的直接应用。在这一公理的直接应用。在“三角形两边之和大于第三角形两边之和大于第三边三边”的不等式两端同时减去一边，可得到的不等式两端同时减去一边，可得到“三角形两边之差三角形两边之差小于第三边小于第三边”。2、点到线的最短路径问题、点到线的最短路径问题问题问题1：如图：如图2，P点到线段点到线段AB有三条路径有三条路径L1、L2、L3，问哪条路径最短？为什么？，问哪条路径最短？为什么？理由：显然，理由：显然，L2最短。因为，垂线段最短（公理）最短。因为，垂线段最短（公理）二、基本思想方法：化归二、基本思想方法：化归（一）、平面问题中的最短路径问题常用轴对称、平移、旋转（一）、平面问题中的最短路径问题常用轴对称、平移、旋转（包括中心对称）等保距变换，化折为直，化曲为直加以解决。（包括中心对称）等保距变换，化折为直，化曲为直加以解决。（二）、立体问题平面化（二）、立体问题平面化1、多面体表面上两点间的最短路径问题，将其转化为平面内、多面体表面上两点间的最短路径问题，将其转化为平面内两点间的最短路径问题加以解决。两点间的最短路径问题加以解决。2、旋转体表面上两点间的最短路径问题，常将旋转体表面展、旋转体表面上两点间的最短路径问题，常将旋转体表面展开成平面图形，用平面内两点间的最短路径问题加以解决。开成平面图形，用平面内两点间的最短路径问题加以解决。三、基本问题模型三、基本问题模型1、抽水站选址问题、抽水站选址问题:（1）、两点在直线异侧（）、两点在直线异侧（原理：两点之间，线段最短原理：两点之间，线段最短）例例1、如图、如图3：点：点A,B在直线在直线L的两侧，在的两侧，在L上求一点上求一点P，使得，使得PA+PB最小。最小。解：连接解：连接AB交直线交直线L于点于点P,点点P为所求点。此时，为所求点。此时，PA+PB的最小值是的最小值是AB线段的长。线段的长。理由：理由：“两点之间，线段最短两点之间，线段最短”。（2）、两点在直线同侧（）、两点在直线同侧（原理：线段最短原理：线段最短+1次轴对称次轴对称）练习练习1、如图、如图4：A、B在直线在直线L同侧，在同侧，在L上求一点上求一点P，使，使PA+PB最小。最小。解：作点解：作点B关于直线关于直线L的对称点的对称点B，连接，连接AB交直线交直线L于于P点，点，P点即为所求点。点即为所求点。理由：理由：B、B关于直线关于直线L对称，有对称，有PB=PB PA+PB=PA+PB=AB(线段最短）段最短）PA+PB最小。（两点之间，线段最短）最小。（两点之间，线段最短）2、造桥修路问题、造桥修路问题（1）、）、两点之间，线段最短两点之间，线段最短+平移平移例例2、如图、如图5，村庄，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸位于一条小河的两侧，若河岸m n，现在要建设一，现在要建设一座与河岸垂直的桥座与河岸垂直的桥MN，问桥址应如何选择，才能使，问桥址应如何选择，才能使A村到村到B村的路程最短？村的路程最短？解：将解：将A点向下平移至点向下平移至A，使，使AA=河宽，连接河宽，连接AB交直线交直线n于于N,过过N作作NM直线直线m于于M,连连AM，线段，线段MN即为所架桥的位置。即为所架桥的位置。理由：理由：“两点之间，线段最短两点之间，线段最短”。AM+MN+NB的值最小，最小值为的值最小，最小值为AB+MN.（2）、）、平移平移+轴对称轴对称练习练习2、如图，在直线、如图，在直线L上求两点上求两点M、N，使，使MN=a，且使，且使 AM+MN+NB的值最小。的值最小。M、N即为所求点，此时即为所求点，此时AM+MN+NB最短。最短。理由：理由：由作图知由作图知AM=AN=AN,AM+MN+NB=AB+MN最小最小（两点之间，线段最短）（两点之间，线段最短）ABCD3、立体图形中的最短路径问题：、立体图形中的最短路径问题：例例3、如图是一个长方体木块，已知、如图是一个长方体木块，已知AB=5,BC=3,CD=4，假设一只蚂蚁在点假设一只蚂蚁在点A处，它要沿着木块侧面爬到点处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则处，则蚂蚁爬行的最短路径是蚂蚁爬行的最短路径是 。理由理由：所以，蚂蚁爬行的最短路径是所以，蚂蚁爬行的最短路径是练习练习3、有一个圆柱，它的高等于、有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于厘米，底面半径等于3厘米在圆柱的底面厘米在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是多少？点处的食物，需要爬行的最短路程是多少？(的值取的值取3)。解：解：将圆柱的侧面展开如右图，可知蚂蚁爬行的最短路径是线段将圆柱的侧面展开如右图，可知蚂蚁爬行的最短路径是线段AB。BB=圆柱高圆柱高=12cm，AB=底面周长的一半底面周长的一半=3。AB 15答：蚂蚁爬行的最短路程约为答：蚂蚁爬行的最短路程约为15厘米。厘米。四、中考题型训练四、中考题型训练1、正方形、正方形ABCD的边长为的边长为8，M在在DC上，且上，且DM2，N是是AC上的一动点，上的一动点，DNMN的最小值为的最小值为 。解：解：DN+MN=BM,DM=2，则，则CM=6在在RTBCMBCM中，中，所以，所以，DN+MN的最小值是的最小值是10102、如图，点、如图，点P关于关于OA、OB的对称点分别为的对称点分别为C、D，连接，连接CD交交OA于于M，交，交OB于于N，若，若CD18cm，则，则PMN的周长的最小值为的周长的最小值为_。解：解：P、C关于直线关于直线OA对称，对称，P、D关于直线关于直线OB对称对称 CM=PM,DN=PN PMNPMN周长周长 =PM+MN+PN=CM+MN+DN=CD=18cm=PM+MN+PN=CM+MN+DN=CD=18cm PMNPMN周长的最小值是周长的最小值是18cm 18cm（两点之间，线段最短）（两点之间，线段最短）18cm3、已知，如图、已知，如图DE是是ABC的边的边AB的垂直平分线，的垂直平分线，D为垂足，为垂足，DE交交BC于于E，且，且AC5，BC8，则，则AEC的周长为的周长为_。4、如图，直线、如图，直线l是第一、三象限的角平分线是第一、三象限的角平分线实验与探究：实验与探究：（1）、由图观察易知）、由图观察易知A（0，2）关于直线）关于直线l的对称点的对称点A的坐标为（的坐标为（2，0），请在图中分），请在图中分别标明别标明B（5，3）、）、C（2，5）关于）关于直线直线l的对称点的对称点B、C的位置，并写出他们的的位置，并写出他们的坐标：坐标：B 、C ；归纳与发现：归纳与发现：（2）、结合以上三组点的坐标，你会发现：）、结合以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点坐标平面内任一点P（a，b）关于第一、三）关于第一、三象限的角平分线象限的角平分线l的对称点的对称点P的坐标的坐标为为 ；BB解：解：DE垂直平分垂直平分AB BE=AEAECAEC的周长的周长=AE+CEAE+CE+AC=+AC=BE+CEBE+CE+AC=+AC=BCBC+AC=8+5=13+AC=8+5=1313 CC(5,-2)(3,5)(b,a)运用与拓广运用与拓广（3）已知两点）已知两点D（1，3）、）、E（1，4），试在直线），试在直线l上确定一点上确定一点Q，使点使点Q到到D、E两点的距离之和最小，并求出两点的距离之和最小，并求出Q点坐标。点坐标。解：作点解：作点E关于直线关于直线L的对称点的对称点E,连接接ED交直交直线L于点于点Q,点点Q即即为所求点。所求点。EE Q Q此时，此时，QD+QE=ED(两点之间，两点之间，线段最短）线段最短）点点Q的坐标为（的坐标为（-2，-2)5、如图，抛物线、如图，抛物线 的对称轴是直线的对称轴是直线X=-1 且经过且经过A（1,0）和）和C（0,3）两点，与）两点，与x轴的另一个交点为轴的另一个交点为B。（1）、在对称轴）、在对称轴x=-1上找一点上找一点N，使点，使点N到点到点A、C的距离之和最小，的距离之和最小，求点求点N的坐标，并求出的坐标，并求出NA+NC的最小值。的最小值。解：抛物线的对称轴是直线解：抛物线的对称轴是直线X=-1，A(1，0)知知B(-3，0),A、B关于直线关于直线X=-1对称，连接对称，连接BC交对交对称轴于称轴于N,点点N即为所求点。即为所求点。N连接连接AN,NA+NC=BC最短。最短。设设BC解析式为解析式为y=kx+b过过B、C-3k+b=0b=3-3k+b=0b=3-3k+b=0解得解得k=1，b=3所以，所以，BC解析式为解析式为y=x+3当当x=-1时，时，y=2，所以，所以，N点坐标为（点坐标为（-1,2）NA+NC的最小值是的最小值是 NA+NC的最小值是的最小值是五、课时小结五、课时小结 这节课我们利用这节课我们利用“两点之间，线段最短两点之间，线段最短”、“垂线段最短垂线段最短”、“勾股定理和它的逆定理勾股定理和它的逆定理”解决了生活中的几个最短路径解决了生活中的几个最短路径问题。更重要的是通过平移、旋转、轴对称等图形变换把实际问题。更重要的是通过平移、旋转、轴对称等图形变换把实际问题抽象成数学模型，用数学建模思想提高解决实际问题的能问题抽象成数学模型，用数学建模思想提高解决实际问题的能力。力。六、课后作业：完成中考训练题六、课后作业：完成中考训练题4、5两题。两题。