精品解析2022年最新人教版九年级数学下册第二十八章-锐角三角函数章节练习试题(无超纲).docx

人教版九年级数学下册第二十八章人教版九年级数学下册第二十八章-锐角三角函数章节练习锐角三角函数章节练习考试时间：90 分钟；命题人：数学教研组考生注意：考生注意：1、本卷分第 I 卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分 100 分，考试时间 90 分钟2、答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第第 I I 卷（选择题卷（选择题3030 分）分）一、单选题（一、单选题（1010 小题，每小题小题，每小题 3 3 分，共计分，共计 3030 分）分）1、图是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图所示的四边形OABC若1ABBC，AOB，则tanBOC的值为（）AsinBcosCtanD1sin2、如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于O，则AD：AB（）A2 2:3B2:3C3:2D3:2 23、如图，过点O、A(1，0)、B(0，3)作M，D为M上不同于点O、A的点，则ODA的度数为（）A60B60或 120C30D30或 1504、如图，有一个弓形的暗礁区，弓形所含的圆周角50C，船在航行时，为保证不进入暗礁区，则船到两个灯塔A，B的张角ASB应满足的条件是（）Asinsin25ASBBsinsin50ASBCsinsin55ASBDcoscos50ASB5、已知，在矩形ABCD中，DEAC于E，设ADE，且35cos，4AB，则AD的长为（）A3B163C203D1656、如图，用一块直径为 4 的圆桌布平铺在对角线长为 4 的正方形桌面上，若四周下垂的最大长度相等，则桌布下垂的最大长度x为（）A21B22C2 21D217、在正方形网格中，ABC的位置如图所示，点A、B、C均在格点上，则 cosB的值为（）A12B22C32D248、如图，在3 3的网格中，A，B均为格点，以点A为圆心，AB的长为半径作弧，图中的点C是该弧与格线的交点，则tanBAC的值是（）A12B2 55C53D239、若 tanA=2，则A的度数估计在（）A在 0和 30之间B在 30 和 45之间C在 45和 60之间D在 60和 90之间10、如图所示，某村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两棵树之间的水平距离为m（m），那么这两棵树在坡面上的距离AB为（）Amcos（m）Bcoms（m）Cmsin（m）Dsinm（m）第第卷（非选择题卷（非选择题7070 分）分）二、填空题（二、填空题（5 5 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共计分，共计 2020 分）分）1、在ABC中，90ABC，1AB，以BC为斜边作等腰Rt BCD，若1tan2DAB，则BC边的长为_2、如图，ABC中点D为AB的中点，将ADC沿CD折叠至ADC，若4AC73AB，BC1172，cosABA21313，则点D到AC的距离是 _3、如图，在矩形ABCD中，AD3，点E在AB边上，AE4，BE2，点F是AC上的一个动点连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转 90并延长至其 2 倍，得到线段EG，当1tan5GEA时，点G到CD的距离是 _4、如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上的一点，ODAC，垂足为D，延长OD与半圆O交于点E若8,30ABCAB，则图中阴影部分的面积为_5、第 6 号台风“烟花”于 2021 年 7 月 25 日 12 时 30 分前后登陆舟山普陀区，登陆时强度为台风级，中心最大风速38米/秒 此时一艘船以 27nmile/h 的速度向正北航行，在A处看烟花 S在船的北偏东 15方向，航行 40 分钟后到达B处，在B处看烟花 S 在船的北偏东 45方向（1）此时A到B的距离是 _；（2）该船航行过程中距离烟花 S 中心的最近距离为 _（提示：sin15624）三、解答题（三、解答题（5 5 小题，每小题小题，每小题 1010 分，共计分，共计 5050 分）分）1、6tan230sin602tan452、如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边AB在x轴的正半轴上，顶点C，D在第一象限内，正比例函数y13x的图象经过点D，反比例函数2(0)kyxx的图象经过点D，且与边BC交于点E，连接OE，已知AB3（1）点D的坐标是；（2）求tanEOB的值；（3）观察图象，请直接写出满足y23 的x的取值范围；（4）连接DE，在x轴上取一点P，使98DPES，过点P作PQ垂直x轴，交双曲线于点Q，请直接写出线段PQ的长3、如图，平地上两栋建筑物AB和CD相距 30m，在建筑物AB的顶部测得建筑物CD底部的俯角为 26.6，测得建筑物CD顶部的仰角为45 求建筑物CD的高度（参考数据：sin26.60.45，cos26.60.89，tan26.60.50）4、定义：如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值叫做这条边所对角的准对（记作qad）如图 1，在ABC中，AHBC于点H，则qadBACAHBC当qadBAC35时，则称BAC为这个三角形的“金角”已知在矩形ABCD中，AB3，BC6，ACE的“金角”EAC所对的边CE在BC边上，将ACE绕点C按顺时针方向旋转（090）得到ACE，AC交AD边于点F（1）如图 2，当45时，求证：ACF是“金角”（2）如图 3，当点E落在AD边上时，求qadAFC的值5、如图，在ABC中，ACB90，AC4cm，BC3cm，动点P从点A出发，以每秒 2cm 的速度沿折线ABBC向终点C运动，同时动点Q从点C出发，以每秒 1cm 的速度向终点A运动以PQ为底边向下作等腰RtPQR，设点P运动的时间为t秒（0t4）（1）直接写出AB的长；（2）用含t的代数式表示BP的长；（3）当点R在ABC的内部时，求t的取值范围-参考答案-一、单选题1、A【分析】在Rt OABV中，sinABOB，可得OB的长度，在Rt OBC中，tanBCBOCOB，代入即可得出答案【详解】解：1ABBC，在Rt OABV中，sinABOB，1sinOB，在Rt OBC中，1tansin1sinBCBOCOB.故选：A【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法进行计算是解决本题的关键.2、B【分析】过点O作OMBC，ONAD，设圆的半径为r，根据垂径定理可得OBM与ODN是直角三角形，根据三角函数值进行求解即可得到结果【详解】如图，过点O作OMBC，ONAD，设圆的半径为r，OBM与ODN是直角三角形，ODOBr，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于O，30OBM,45ODNDON，2tan 452DNODr，3cos 302BMOBr，22ADDNr，2=3BCBMr，:23r23rAD AB故选 B【点睛】本题主要考查了圆的垂径定理知识点应用，结合等边三角形和正方形的性质，利用三角函数求解是解题的关键3、D【分析】连接AB，先利用正切三角函数可得30OBA，再分点D在x轴上方的圆弧上和点D在x轴下方的圆弧上两种情况，分别利用圆周角定理、圆内接四边形的性质求解即可得【详解】解：如图，连接AB，(1,0),(0,3)AB，1,3OAOB，90AOBQ，在Rt AOB中，13tan33OAOBAOB，30OBA，由题意，分以下两种情况：（1）如图，当点D在x轴上方的圆弧上时，由圆周角定理得：30OBAODA；（2）如图，当点D在x轴下方的圆弧上时，由圆内接四边形的性质得：180150ODBAAO；综上，ODA的度数为30或150，故选：D【点睛】本题考查了正切、圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识点，正确分两种情况讨论是解题关键4、D【分析】本题利用了三角形外角与内角的关系和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半【详解】如图，AS交圆于点E，连接EB，由圆周角定理知，AEB=C=50，而AEB是SEB的一个外角，由AEBS，即当S50时船不进入暗礁区所以，两个灯塔的张角ASB应满足的条件是ASB50cosASBcos50，故选：D【点睛】本题考查三角形的外角的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题5、B【分析】根据同角的余角相等求出ADE=ACD，再根据两直线平行，内错角相等可得BAC=ACD，然后求出AC，再利用勾股定理求出BC，然后根据矩形的对边相等可得AD=BC【详解】解：DEAC，ADE+CAD=90，ACD+CAD=90，ACD=ADE=，矩形ABCD的对边ABCD，BAC=ACD，cos=35，35ABAC，AC=534=203，由勾股定理得，BC=222220()43ACAB=163，四边形ABCD是矩形，AD=BC=163故选：B【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，同角的余角相等的性质，熟记各性质并求出BC是解题的关键6、B【分析】作出图象，把实际问题转化成数学问题，求出弦心距，再用半径减弦心距即可【详解】如图，正方形ABCD是圆内接正方形，4BD，点O是圆心，也是正方形的对角线的交点，作OFBC，垂足为F，直径4BD，2OB，又BOC是等腰直角三角形，由垂径定理知点F是BC的中点，BOF是等腰直角三角形，sin452OFOB，22xEFOEOF故选：B【点睛】此题考查了垂径定理的应用，等腰直角三角形的判定和性质，正方形的性质，特殊角的三角函数值，解题的关键是根据题意作出图像，把实际问题转化成数学问题7、B【分析】如图所示，过点A作AD垂直BC的延长线于点D得出ABD为等腰直角三角形，再根据 45角的余弦值即可得出答案【详解】解：如图所示，过点A作ADBC交BC延长线于点D，AD=BD=4，ADB=90，ABD为等腰直角三角形，B=452cos2B 故选 B【点睛】本题主要考查了求特殊角三角函数值，解题的关键在于根据根据题意构造直角三角形求解8、B【分析】利用CDAB，得到BAC=DCA，根据同圆的半径相等，AC=AB=3，再利用勾股定理求解,CD可得tanACD=22 5=55ADCD，从而可得答案.【详解】解：如图，CDAB，BAC=DCA同圆的半径相等，AC=AB=3，而2,AD 225,CDACAD=-=在RtACD中，tanACD=22 5=55ADCDtanBAC=tanACD=2 55故选 B【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，利用图形的性质进行角的等量代换是解本题的关键9、D【分析】由题意直接结合特殊锐角三角函数值进行分析即可得出答案.【详解】解：tan6032tanA，60A，6090A .故选：D.【点睛】本题考查特殊锐角三角函数值的应用，熟练掌握3tan30,tan451,tan6033是解题的关键.10、B【分析】直接利用锐角三角函数关系得出mcosAB，进而得出答案【详解】由题意可得：mcosAB，则AB=coms故选：B【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆锐角三角函数关系是解题关键二、填空题1、2【解析】【分析】根据题意作出图形，过点D作DEAB于点E，则DEBC，由Rt BCD是等腰直角三角形，45DBC，进而可得DBE是等腰直角三角形，DEBE，根据正切的定义求得BE，进而求得,BD BC【详解】解：如图，过点D作DEAB于点E，90ABCDEBCBDEDBC Rt BCD是等腰直角三角形，45DBC，45BDE，2BCBDBDE是等腰直角三角形2BDBE，BEDE1tan2DEDABAE112DEBE即1DEDE 12解得1DE 22BDDE22BCBD故答案为：2【点睛】本题考查了正切的定义，解直角三角形，根据题意作出图形是解题的关键2、5 7373【解析】【分析】过点D作DF AC交CA的延长线于点F，过点B作BG AC交CA延长线于点G，连接AA交CD于点E，设AB=4m，则AC=73m，将ADC沿CD折叠至ADC，由等边对等角可得AAD=AAD，CAE=CAE，ABA=BAD，根据三角形内角和定理可得AAB=BAD+AAD=90，在直角三角形中利用锐角三角函数可得AB=2 13m，再由勾股定理可得AE=AE=12AA=3m，CD=CE+DE=10m，由相似三角形的判定及性质可得AG=3273m，BG=1273m，再由勾股定理及求解方程可得：m=16，最后根据三角形等面积法进行求解即可得【详解】解：过点D作DF AC交CA的延长线于点F，过点B作BG AC交CA延长线于点G，连接AA交CD于点E，4AC=73AB，设AB=4m，则AC=73m，将ADC沿CD折叠至ADC，AA CD，AC=AC=73m，AD=AD，AE=AE，AAD=AAD，CAE=CAE，点D为AB中点，AD=BD，BD=AD，ABA=BAD，ABA+BAD+AAD+AAD=180，2 BAD+AAD=180，AAB=BAD+AAD=90，cosABA=ABAB=4mAB=21313r，AB=2 13m，AD=BD=12AB=13m，AAB=90，AA=AB2AB2=(2 13m)2(4m)2=6m，AE=AE=12AA=3m，AA CD，CE=AC2AE2=(73m)2(3m)2=8m，DE=AD2AE2=(13m)2(3m)2=2m，CD=CE+DE=10m，BG AC，ABG+BAG=90，AAB=90，CAE+BAG=90，ABG=CAE，CAE=CAE，ABG=CAE，在AGB与CEA中，ABG=CAE，AGB=CEA=90，AGBCEA，AGCE=BGAE=ABAC，AG8m=BG3m=4m73m，AG=3273m，BG=1273m，CG=AG+AC=3273m+73m=10573m，BG AC，CG2+BG2=BC2，(10573m)2+(1273m)2=(1217)2，解得：m2=136，m=16，AA CD，DF AC，SACD=12 CD AE=12 AC DF，DF=CDAEAC=10m3m73m=57373，点D到AC的距离为57373，故答案为：57373【点睛】题目主要考查等腰三角形的性质、利用锐角三角函数解三角形、三角形内角和定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用各个知识点是解题关键3、4111或199【解析】【分析】分两种情况如图 1 和图 2 所示，利用相似三角形的性质与判定分类讨论求解即可【详解】解：如图 1 所示，过点G作NHAD分别交BA，CD延长线于H，N，过点F作FMBC，交AB于M，四边形ABCD是矩形，B=BAD=HAD=ADC=AND=90，H=N=AMF=90，四边形HADH是矩形，1tan=5GHGEAEH，即5HEGH，HN=AD，由旋转的性质可知GEF=90，HEG+NEF=90，又MEF+MFE=90，HEG=MFE，HEGMFE，2HEHGEGMFMEFE，12EMGH，52MFGH，MFBC，AMFABC，AMMFABBC，15422GHGHAEBEBC，1542263GHGH，89GH，199GNHNGH，即点G到CD的距离为199；如图 2 所示，过点G作NHAD分别交直线BA，直线CD于H，N，过点F作FMBC，交AB于M，同理可求出12MEGH，2GMFGH，12MEGH同理可证AMFABC，AMMFABBC，15422GHGHAEBEBC，1542263GHGH，811GH，4111GNHNGH，即点G到CD的距离为4111；综上所述，点G到CD的距离为4111或199【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，矩形的性质，三角函数，点到直线的距离，旋转的性质，解题的关键在于能够正确作出辅助线构造相似三角形求解4、832 3【解析】【分析】根据垂径定理得到AE=CE，ADCD，解直角三角形得到OD12OA2，AD32OA2 3，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论【详解】解：ODAC，ADO90，AE=CE，ADCD，CAB30，OA4，OD12OA2，AD32OA2 3，图中阴影部分的面积S扇形AOESADO604236012 2 3 2=832 3，故答案为：832 3【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，垂径定理，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键5、18 nmile()9 39-nmile#()99 3-+nmile【解析】【分析】如图，过S作SDAB于,D先由路程等于速度乘以时间求解,AB再利用 sin15624求解tan1523,=-再设,SDm=而,45,SDABDBS=,18,BDm ADm=+再利用tan1523,=-建立方程，再解方程，从而可得答案.【详解】解：如图，过S作SDAB于,D由题意可得：40622718,15,45,sin15,604ABBASDBS-=靶=鞍=62,4DSAS-=设()62,DSk=-则4,ASk=()228 4 362,ADASDSkk=-=+=+()()62tan15=23,62kDSADk-=-+设,SDm=而,45,SDABDBS=,18,BDm ADm=+23,18mm=-+()()3118 23,m-=-解得：9 39,m=-经检验符合题意；所以：该船航行过程中距离烟花 S 中心的最近距离为：()9 39-nmile.故答案为：18 nmile，()9 39-nmile.【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，熟练的利用sin15的值求解tan15是解本题的关键.三、解答题1、32【解析】【分析】将3tan303，3sin602，tan451代入式子计算即可【详解】解：3tan303，3sin602，tan451，原式23362 132 136232，32【点睛】题目主要考查特殊角三角函数的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题关键2、（1）(1,3)；（2）316；（3）01x；（4）12或34【解析】【分析】（1）根据D点纵坐标为 3，代入正比例函数即可求解；（2）求出EB，根据正切的性质即可求解；（3）根据函数图象即可直接求解；（4）分当点P在线段AB上时和当点P在线段AB的延长线时，分别求出AP的长，故可求解【详解】解：（1）正方形ABCD的边长AB=3AD=3D点在正比例函数y13x上设D（x，3），代入y13x得 3=3x解得x=1D(1,3)故答案为：(1,3)；（2）反比例函数2(0)kyxx的图象经过点D，k=13=323yxE点的横坐标为 1+3=4E（4，y），代入23yx得到EB=34tanEOB=316EBOB（3）如图，根据图象可得2y3 时，图象在直线y=3 的上方，x的取值为 0 x1（4）当点P在线段AB上时，如图 1，设AP=m，则PB=3-mSPDE=S梯形ABED-SADP-SPBE=111222ADBEABADAPBEAP=13113333324224mm=98解得m=3OP=1+3=4点P（4，0）当x=4 时，2y 34Q（4，34）PQ=34当点P在线段AB的延长线时，如图 2，设AP=m，则PB=m-3SPDE=SADP-S梯形ABED-SPBE=111222ADAPADBEABBEAP=11313333322424mm=98解m=5OP=1+5=6点P（6，0）当x=6 时，23162y Q（6，12）PQ=12综上，PQ的长为12或34【点睛】此题主要考查反比例函数与几何综合、解直角三角形，解题的关键是熟知待定系数法的应用、正切的性质3、建筑物CD的高度约为 45m【解析】【分析】如图所示，过点A作AECD于E，先证明AE=CE，然后证明四边形ABDE是矩形，则AE=BD=30m，CE=AE=30m，tan=30tan26.615mDEAEEAD，由此即可得到答案【详解】解：如图所示，过点A作AECD于E，AEC=AED=90，CAE=45，C=45，C=CAE，AE=CE，ABBD，CDBD，ABD=BDE=90，四边形ABDE是矩形，AE=BD=30m，CE=AE=30m，tan=30tan26.615mDEAEEAD，CD=CE+DE=45m，答：建筑物CD的高度约为 45m【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，解直角三角形，解题的关键在于能够正确作出辅助线求解4、（1）见解析（2）23【解析】【分析】（1）过点E作EGAC于点G，解直角三角形求得45EAC，进而证明AFEC,根据“金角”的定义即可证明当45时，ACF是“金角”（2）过点E作E HA F于点H，证明HFEDFC，可得53E FE HFCCD，设E Fx，则3 55FCx，4FDE DE Fx，根据勾股定理列出方程，解方程即可求得52E F，进而根据定义ABqadAFCAF即可求得答案【详解】解：（1）四边形ABCD是矩形，90B，,/ABCD AD BCACE的“金角”EAC所对的边CE在BC边上，35ABqadEACEC3AB，BC6，5,651ECBEBCBE将ACE绕点C按顺时针方向旋转 45得到ACE，45ACA，即45ACF如图，过点E作EGAC于点G，在Rt ABC中，31tan62ABACBBC,又ECGBCA 1tan2EGGCEGC设EGa，则2CGa222=5ECaaa55a5EG在Rt ABC中，3,6ABBC3 5AC5AGACGC在Rt AEG中，5tan15GEEAGAG45EACACFCAE/AE CF/AF CE四边形AECF是平行四边形,AECF AFEC35CDABqadACFAFEC当45时，ACF是“金角”（2）如图，过点E作E HA F于点H由（1）可知5CE，45EACE A F 则HEHA由旋转的性质可得5CECE，3CDAB，AEAE在RtABE中，3,1ABBE，则10AEAE在Rt E DC中224E DE CCD642AEADDE在等腰直角三角形A E H 中，102sin45=52A HHEA E 90E HFFDC，HFEDFC HFEDFC53E FE HFCCD设E Fx，则3 55FCx，4FDE DE Fx在Rt FDC中，222FCFDDC即22235435xx解得1252522xx，（舍）则52E F 59222AFAEE F32932ABqadAFCAF【点睛】本题考查了“准对”，三角形的“金角”的定义，解直角三角形，相似三角形的性质，矩形的性质，旋转的性质，理解新定义是解题的关键5、（1）AB5cm；（2）当 0t52时，BP52t，当52t4 时，BP2t5；（3）411t209【解析】【分析】（1）由勾股定理可求得答案；（2）分 0t52和52t4 两种情况列式即可；（3）当点P在AB上时，以点C为原点，分别以BC、AC所在的直线为x，y轴建立坐标系，作PDAC于D，REPD于E，QGRE于G，求出此时t的值即可解决问题；【详解】解：（1）ACB90，AC4cm，BC3cm，AB22ACBC22435（cm）；（2）当 0t52时，BPABAP52t，当52t4 时，BP2tAB2t5；（3）如图，当点P在BC上时，R在ABC外部，当点P在AB上时，以点C为原点，分别以BC、AC所在的直线为x，y轴建立坐标系，作PDAC于D，REPD于E，QGRE于G，EG90，PRE+RPE90，PRQ90，PRE+GRQ90，RPEGRQ，PRQR，PERRGQ（AAS），PERG，ERGQ，AP2t，sinBAC35BCAB，cosACBACAB45，PD2tsinBAC65t，AD2tcosBAC85t，设点R（x，y），PE65tx，RGyt，GQx，ER485ty，65845txyttyx，72109210 xtyt，y9477x，点R在直线y9477x上运动，当y0 时，9477x0，x49，由74107t 49得，t209，A（0，4），B（3，0），AB的解析式是：y43x+4，由9477443yxyx 得，4944377xx，x9655，710t29655，t411，411t209【点睛】本题等腰三角形的性质、锐角三角函数、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，学会利用特殊位置取值范围问题