2021年中考成都卷第25题亮点分析-已转档---副本-(1).docx

推陈出新 适度暗示 能力突出 解法多样 教学引领 2013 年中考成都卷第 25 题亮点分析 一、试题回放 试题（2013 年中考成都卷第 25 题） 如图， A , B , C ，为 O 上相邻的三个n 等分点， AB = BC ，点 E 在 BC 上， EF 为 O 的直径，将 O 沿 EF 折叠，使点 A 与 A¢ 重合，连接 EB¢ ，EC ，EA¢ .设 EB¢ = b ，EC = c ，EA¢ = p .现探究b, c, p 三者的数量关系：发现当 n = 3时, p = b + c .请继续探究b, c, p ,三者的数量关系： 当n = 4 时， p = ；当n =12 时， p = . （参考数据： sin 15° = cos 75° =二、亮点分析 亮点 1.推陈出新 6 -2 ， cos15° = sin 75° =46 +2 ） 4亮点 2.适度暗示 命题者在试题命制中，适度设置暗示，既不失压轴题应有的区分度，又体现了对考生的关怀 暗示 1 命题者通过直径 EF 引出了圆周上 A 、B 、C 的对称点 A¢ 、B¢ 、C¢ ，以及 EB¢ = b 、EC = c 、EA¢ = p ，使得试题叙述冗长，不简洁（事实上，试题可以简洁叙述为：“ A , B , C ，为 O 上相邻的三个n 等分点，AB = BC ，点E 在 BC上，连接 EB ， EC ， EA .设 EB = b ， EC = c ， EA = p ”）笔者猜测这是命题者故意而为之，目的是适度暗示： 暗示考生解答时可以从直径所对的圆周角90° 考虑； 暗示考生解答时可以从对称点的角度寻找解答思路 刘成龙，张勤玲，杨巧华.推陈出新适度暗示能力突出解法多样教学引领2013 年中考成都卷第 25 题亮点分析J.中学数学（初中），2014，1：55-57.暗示 2 “现探究b, c, p 三者的数量关系：发现当n = 3时， p = b + c ”这一句话可以从两个角度解读： 解答问题的起点是n = 3，要先探究n = 3的情形； p = b + c 展示的是一条线段等于两条线段的和，于是在方法上暗示考虑用截长、补短法 暗示 3 命题者在参考数据中给出了15° 角的正余弦值，考生可以这样思考：15° 角刚好是n =12 时相邻两个点间弧所对的圆周角，给出其三角函数值表明 p 、b 、c 与其三角函数值有一定关联，自然暗示 n = 3、n = 4 时相邻两个点间弧分别所对的圆周角60° 、45°的三角函数值与 p 、b 、c 相关 亮点 3.突出能力 “能力立意”是近年成都中考 B 卷压轴题的命题原则.该试题展示了一个全新的问题，具有较大的思维空间，体现了主动探究的精神，呈现出研究性学习的特点，突出了多种能力的考查，有效地甄别了学生的潜质. （1）猜想的能力 猜想是发现、获取知识的重要方法，也是探索问题解决方法的重要手段.正如牛顿所说：“没有大胆的猜想，就没有伟大的发现”该试题给我们的第一感觉是一道找规律题，整个试题充满着猜想的味道，而破解该题的关键源于大胆的猜想： 解决方案的猜想：截长补短法； 试题规律的揭示： n = 3时， p = b + c ； n = 4 时， p =2b + c ， 联系到圆周角，可以分别表示为： n = 3 时， p = 2 cos 60° + c ； n = 4 时， p = 2 cos 45°b + c，于是猜测 n =12时， p = 2 cos15°b + c； n = k 时， 180°p = 2 cos()b + c . k（2）探究的能力 标准指出数学探究指学生围绕某个数学问题，自主探究、学习的过程华罗庚教授说：“复杂的问题要善于“退”，足够地“退”，退到最原始而不失重要性的地方”该试题呈现探究性学习的特点，解答时先退回到问题解决的逻辑起点： n = 3 时， p = b + c .怎样得到 p = b + c 的呢？怎样用 n = 3 的解决方案解决n = 4 、n =12 呢？这涉及数学探究，基本的手段是“特殊到一般”，具体方法有： 方法 1 最直接的办法度量 度量往往是探究的最直接手段标准作图，用刻度尺量线段的长度，然后猜测 p 、b 、c 间的关系，具体是：n = 3时，取 E 为 BC 的中点，于是 A 与F 重合，此时容易得出该方法 p = b + c ，有了此经验后，对于n = 4 ，取 E 为 BC 的中点，EF BC ，度量线段长度，在误差忽略的情形下结合 45° 角，可以大致猜出p =2b + c ，至于n =12 此法失效. 方法 2 在度量的基础上改进一下计算 基于方法 1 中的图形可知：当n = 3时，b = c = r ，EF = p = 2r ，可得 p = b + c ；当n = 4 时， b = c ，通过计算得 p =2b + c ，联想到n = 3时 p 、b 、c 的形式，可猜测 p =2b + c ，当然这仅仅是一种猜测，有冒险的成分，需要验证，但从某种意义上讲为证明提供了方向. 方法 3 在计算的基础上提升证明 证明中运用的方法是截长、补短法.怎么截、怎么补是探究过程中首要搞清的问题，这需要逐步试探调整（先探究n = 3的情形）： 截长法： 探究 1 在 EA 上截取 EM = c ，再证明 AM = EB = b ； 探究 2（探究 1 的变体）在 A¢E 上截取 EM = b ，再证明 AM = EB = b ； 探究 3（探究 1、2 的升华）过C 作CN / /EB ，与 AE 相交于M ，与 O 交于点 N ,易得 EM = c ，再证明 AM = EB = b ； 探究 4（探究 3 的变体）在 BA 上截 BN = EC ，易得CN / /EB ，回到探究 3； 补短法： 探究 5 在CE 的延长线上取点M ，使得 EM = b ，再证明 EM = EB ; 探究 6 在 EB 的延长线上取点M ，使得 BM = c ，再证明 EC = BM . （3）类比的能力 “类比是一个伟大的引路人”（数学家 G.波利亚语）该题目充分考查学生的类比能力： 解题思路的类比：截长补短法，类比、迁移到试题中； 操作方法（数学学习中积累的经验）的类比、迁移：直接截长、平行线截长、直接补短等类比迁移到该题； 类比n = 3的解答方法解决n = 4 ， n =12 的情形. 亮点 4. 解法多样 该试题情景看似陌生，但解法上具有很强的灵活性和多样性，学生们可以从不同的角度审视，可以运用不同的数学知识和方法加以解答，真可谓异彩纷呈， 这无疑为考生提供了展示才华和能力的机会.本题解答的常见方法有近 10 种，本质上都是截长、补短，下面例举 8 种解法与大家共享. 角度 1 补短法 解法 1 如图 1，在CE 的延长线上取点M ,使得 BM = BE .因为 A , B , C 为 O 上相邻的三个n 等分点，所以ÐCAB = ÐBEM = 180° ，ÐABC = ÐEBM ，又nAB = BC ，BE = BM ,得DABE DCBM ，故 AE = CM = p = c + EM .作 BG EM ，且 交 EM 于 G , 于 是p = 2 cos 180° × b + c . nEG = cos 180° × bn， EM = 2 cos 180° × bn ， 所 以 特别地，当n = 4 时，p = 2b + c ；当n =12 时，p =6 +2 b + c .（下文略） 2解法 2 如图 2，延长 EB 至M ,使得 EM = AM ,过M 作MH AE 于 H .因为A , B , C 为 O 上相邻的三个 n 等分点，所以 ÐCAB = ÐAEB = ÐEAM = 180° , DABMn于是ÐCAE = ÐBAM ，又ÐABM = ÐACE ， 得DACE，所以 AE= EC ，即 BM = cAM， 因为 AM =p，得 BM =cAM =AMBMc， 又因为p2 cos 180°np2 cos1800nEM = AM = EB + BM,即p2 cos 180°= b +c2 cos 180°，所以 p = 2 cos 180° × b + c .nnn角度 2 截长法 解法 3 如图 3，在 A¢E 上取点M ，使得 B¢M = b .因为 A , B , C 为 O 上相邻三个n 等分点，所以ÐB¢EA¢ = 180° 、ÐB¢MA¢ = ÐB¢EC¢ ，又nÐMA¢B¢ = ÐEC¢B¢，于是ÐA¢B¢M = ÐC¢B¢E .作 B¢H ME 于 H ，则ME = 2 cos 180° × b .由 A¢B¢ = B¢C¢ 、nÐA¢B¢M = ÐC¢B¢E 、 B¢M = B¢E , 得 DA¢B¢M DC¢B¢E ，所以 AM = C¢E = c , 故A¢E = ME + A¢M ，即 p = 2 cos 180° × b + c . nFFAAA'A'OHMONCB' EB图4DB'BCE图5解法 4 如图 4，在EA 上截取 EM = c ，连接CM .因为 A , B , C 为 O 上相邻三个 n 等分点，所以 ÐCEA = ÐABC ,又 EC = EM = c ，得ÐMCE = 180° .作nEH CM 于 H ，则CM 2 = cos 180° ,所以 CM= 2 cos 180° ,同理 AC = 2 cos 180° ,CEnCEnBCn又 ÐACM = ÐBCE, 则 DACMDBCE， 所 以AM = CM= 2 cos 180° ，AM = 2 cos 180° × b ，故 p = 2 cos 180° × b + c . BECEnnn解法 5 如图 5，连接 AB 、AC 、BC 、EB ，在EA 上截取 ED = c ，连接CD ， 作 BN AC 交 AC 于 N . 因为 A , B , C 为 O 上相邻三个 n 等分点，所以ÐACB = 180°，nAC = 2CN = 2 cos 180° × BC, 得nAC = 2 cos 180， 又BCnÐABC = ÐAEC ，且 AB = BC 、CE = DE ，故ÐACB = ÐDCE ，于是ÐACD = ÐBCE ，因此 DACDDBCE ，于是 AC = AD = 2 cos 180°BCEBn, 得 AD = 2 cos 180° × b ，故nAE = AD + DE = 2 cos 180° × b + c ,即 p = 2 cos 180° × b + c . nnn解法 6 如图 6,连接EA 、EB ，过C 作CN / /EB ，与 AE 相交于M ，与 O 交于点 N ，过 N 作 AE 的垂线，交 AE 于 H .因为 CN / /EB ，所以 CE = NB ,于是BC = EN， AN = EB ， 得 ÐECN = ÐBEA = ÐCME = ÐAMN = ÐEAN = 180° ，AN = EB = b ，所以DAMN 为等腰三角形，故 AM = 2 AH = 2 cos 180° b ，ME = CE = c ,n所以 p = 2 cos 180° b + c . n FA'AIBB' CEH图8解法 7 如图 7,在BA 上截 BN = CE ,连接CN 交 AE 于 M ，易得 BC = EN ， 于是ÐCNB = ÐNCE = 180n，故ÐCBE = ÐNCB ,所以CN / /EB ，下同解法 6. 解法 8 如图 8，过 B 点作 BH CE 交CE 延长线于点 H ，BI AE 交 AE 于点 I ，因为 A , B , C 为 O 上相邻三个n 等分点，所以ÐAEB = ÐBEH = 180n ,又因为ÐBAE = ÐBCH ， AB = BC ，所以 DABI DCBH , 故 AI = CH , 在 RtDEIB 和RtDEHB 中，易得 EI = EH ， AE = CE + EH +EI = CE +=1800+2EI = 2 cosbc .即 p2 cosn亮点 5. 教学引领 180n× b + c .本题情景新颖，解答方法不偏不怪，是成都卷中的一道亮题.然而让人惊讶的是，据阅卷信息透露，成都市中心城区近 4 万名考生，得满分（4 分）的考生仅 100 人左右，问题究竟出现在哪里呢？ 从初三数学复习教学来看，课堂教学的主要任务是范例的讲解与大量题目的演练，教师比较重视学生对数学基本知识的记忆，忽略学生对数学本质的理解； 重视学生对题型、套路与解题方法的训练，忽略学生对思想、方法的总结提炼； 重视学生对具体问题的解决，忽略学生对开放性问题的处理，尤其缺乏对创新意识的培养. 从学生的学习方式来看，初三数学课堂复习的基本模式是“教师讲学生听学生记”、“教师示范例题（问题）学生模仿练习（问题）学生记忆基本题型（问题）”，这是一种“单向”信息传递的教学模式，学生处于被动接受的状态，属于“简单模仿低能操作”式学习，只能在数量上增加学生数学认知结构中的某些信息，不利于知识和方法的主动构建. 教学启示 （1）改进教学方式 义务教育数学课程标准（2011 年版）倡导“积极思考、合作交流、动手实践、自主探索的学习方式”因此，初三复习，教师应让单向信息传递的教学模式“动”起来首先是行动起来，教师应精心设计教学内容、呈现形式、讲解方式，激发学生持续学习热情和欲望，引发他们的行为参与、认知参与与情感参与，使学生能够全身心投入到初三复习中来其次是互动起来教师要重视师生之间的相互合作、相互沟通，充分发挥学生的主体地位，还课堂于学生、还时间于学生、还话语权于学生，引导学生之间充分交流，从而在师生对话、生生对话的过程中，达成“互识”和“共识”再次是思维灵动起来数学是思维的体操数学的学习过程是学习者情感、态度、信念、价值的赋予过程，更是思维的萌芽、成长和成熟的过程在经历问题的提出、分析、解答过程中培养学生思维的多样性、批判性和灵动性 （2）加强创新意识的培养 本题具有形式新、背景新等特点，属于创新型试题此类试题不是问题的简单呈现，“刺激-反应”的解题套路无法凑效，一般来说解答需要经历以下过程：阅读新信息加工新信息得到问题的本质获得问题的解这一过程需要学生具备阅读能力、信息捕捉能力、自主学习能力、探究能力、创新意识等等从阅卷信息来看，学生缺乏应对新问题、新情景的能力因此，教学中应加强培养学生的创新意识 中华人民共和国教育部义务教育数学课程标准（2011 年版）M北京：人民教育出版社，2011 刘成龙由一个物理问题引起的探究性学习J中学数学教学参考（中旬），2013，(7)：1114.赵思林，潘超一道以群的定义为背景的高考试题赏析J中学数学（高中），2008，(4)：3738.