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预测与决策增长曲线预测法预测与决策增长曲线预测法第1页，本讲稿共46页趋势外推预测原理趋势外推预测原理当预测对象依时间变化当预测对象依时间变化呈现某种上升或下降的趋向，呈现某种上升或下降的趋向，且无明显的季节波动时，且无明显的季节波动时，若能找到一条若能找到一条合适的函数曲合适的函数曲线线反映这种变化趋势，就可用时间反映这种变化趋势，就可用时间t t为自变量，时序数值为自变量，时序数值y y为因变量建立趋势模型为因变量建立趋势模型 y yf(t)f(t)如果有理由相信这种趋势能够延伸到未来，在上式中如果有理由相信这种趋势能够延伸到未来，在上式中赋予变量赋予变量t t 在未来时刻的一个具体数值，可以得到相在未来时刻的一个具体数值，可以得到相应时刻的时间序列未来值。这就是趋势外推法。应时刻的时间序列未来值。这就是趋势外推法。第2页，本讲稿共46页 趋势外推法的假设条件：(1)(1)假设事物发展过程假设事物发展过程没有跳没有跳跃式变化跃式变化，即事物的发展变化是渐，即事物的发展变化是渐进型的。进型的。(2)(2)假设所研究假设所研究系统的结构、系统的结构、功能等基本保持不变功能等基本保持不变，即假定根据，即假定根据过去资料建立的趋势外推模型能适过去资料建立的趋势外推模型能适合未来，能代表未来趋势变化的情合未来，能代表未来趋势变化的情况。况。第3页，本讲稿共46页基本思想基本思想第4页，本讲稿共46页内 容 提 要v第一节第一节 直线模型预测法直线模型预测法v第二节第二节 指数曲线预测模型指数曲线预测模型 v第三节第三节 修正指数曲线预测模型修正指数曲线预测模型v第四节第四节 龚伯兹曲线预测模型龚伯兹曲线预测模型 v第五节第五节 罗吉斯曲线预测模型罗吉斯曲线预测模型第5页，本讲稿共46页第一节第一节 直线趋势模型直线趋势模型v直线预测模型为：直线预测模型为：式中：式中：a代表当代表当t=0时的预测值。时的预测值。直线预测模型的特点是：一阶差分为常数直线预测模型的特点是：一阶差分为常数b。直线预测模型中参数直线预测模型中参数a、b的求法可采用的求法可采用“最小二乘法最小二乘法”或或“折扣最小平方和法折扣最小平方和法”。第6页，本讲稿共46页第一节第一节 直线趋势模型直线趋势模型年份年份199819992000200120022003200420052006时间时间432101234销售量销售量265297333370405443474508541一阶差分一阶差分3236373538313433采用最小二乘法求参数的方法与步骤同前。采用最小二乘法求参数的方法与步骤同前。例例1：某市：某市19982006年某产品销售量如表所示，试预测年某产品销售量如表所示，试预测2007年销量。年销量。解：采用最小二乘法，代入相关公式得解：采用最小二乘法，代入相关公式得所求方程为：所求方程为：第7页，本讲稿共46页例例1的点估计：的点估计：计算结果为：（计算结果为：（572.01，584.69）预测区间：预测区间：第8页，本讲稿共46页第一节第一节 直线趋势模型直线趋势模型v折扣最小平方和法折扣最小平方和法最小二乘法的缺陷：把远期误差与近期误差最小二乘法的缺陷：把远期误差与近期误差的重要性等同看待。的重要性等同看待。为了克服上述缺陷，常采用为了克服上述缺陷，常采用“折扣最小平方折扣最小平方和法和法”，进行合理的加权，对近期误差比对，进行合理的加权，对近期误差比对远期误差给以较大的权重。远期误差给以较大的权重。第9页，本讲稿共46页折扣最小平方和法折扣最小平方和法v折扣最小平方和法就是对误差平方在进行指数折扣加折扣最小平方和法就是对误差平方在进行指数折扣加权后，使其总和达到最小。权后，使其总和达到最小。为折扣系数，为折扣系数，效果分析：效果分析：1、越近期的数据权重越大，越远期数据权重越小；、越近期的数据权重越大，越远期数据权重越小；2、折扣程度视、折扣程度视 值大小而异：值大小而异：越接近越接近0，折扣程度越大；，折扣程度越大；越接近越接近1，折扣程度越小；，折扣程度越小；第10页，本讲稿共46页折扣最小平方和法折扣最小平方和法v折扣最小平方和法的参数估计：折扣最小平方和法的参数估计：上式对上式对a和和b分别求偏导，整理得：分别求偏导，整理得：上述方程组可求出上述方程组可求出a和和b 的值。的值。第11页，本讲稿共46页折扣最小平方和法折扣最小平方和法v例例2：对例：对例1的数据试用折扣最小平方和法进行计算的数据试用折扣最小平方和法进行计算 （），预测），预测2007年销量。年销量。解：列表进行计算，得到方程组：解：列表进行计算，得到方程组：解得：解得：模型为：模型为：将各年将各年t值代入，可得各年的追溯预测值（见计算表），值代入，可得各年的追溯预测值（见计算表），并计算标准误差：并计算标准误差：第12页，本讲稿共46页第13页，本讲稿共46页折扣最小平方和法折扣最小平方和法预测：以预测：以t0=10值代入模型，计算得：值代入模型，计算得：预测区间为：预测区间为：计算结果为：（计算结果为：（572.66，581.78）第14页，本讲稿共46页第二节 指数曲线指数曲线指数曲线第15页，本讲稿共46页第二节第二节 指数曲线指数曲线指数曲线模型差分计算表指数曲线模型差分计算表结论：指数曲线的结论：指数曲线的一阶环比为常数一阶环比为常数 。第16页，本讲稿共46页例例3：某某城城市市近近5年年来来电电视视机机的的家家庭庭拥拥有有率率的的抽抽样样调调查查数数据据见见表。试建立指数增长预测模型，并预测第表。试建立指数增长预测模型，并预测第6年的拥有率。年的拥有率。第第6年的拥有率年的拥有率第二节 指数曲线第17页，本讲稿共46页修正指数曲线图修正指数曲线图第三节 修正指数曲线第18页，本讲稿共46页第三节第三节 修正指数曲线修正指数曲线时序（t）ttabky+=一阶差分一阶差分 （1-ttyy）一阶差分比率一阶差分比率)(211-ttttyyyy 1 abk+2 2abk+)1(-bab 3 3abk+)1(2-bab 4 4abk+)1(3-bab b t-1 1-+tabk)1(2-babt b t tabk+)1(1-babt b 修正指数曲线模型差分计算表修正指数曲线模型差分计算表结论：修正指数曲线的结论：修正指数曲线的一阶差分比率一阶差分比率为常数为常数 b。第19页，本讲稿共46页三和法（三段法）v将整个序列分成三个相等的时间周期，并对每一个时间周期的数据求和以估计参数。第20页，本讲稿共46页第21页，本讲稿共46页第三节 修正指数曲线第22页，本讲稿共46页第三节 修正指数曲线第23页，本讲稿共46页第四节第四节 龚伯兹曲线龚伯兹曲线 生物的生长过程一般经历发生、发展、成熟到衰老几个生物的生长过程一般经历发生、发展、成熟到衰老几个阶段，在不同的生长阶段，生物生长的速度也不一样。阶段，在不同的生长阶段，生物生长的速度也不一样。发生初期成长速度较慢，由慢到快；发生初期成长速度较慢，由慢到快；发展时期生长速度则较快；发展时期生长速度则较快；成熟时期，生长速度由达到最快而后逐渐变慢；成熟时期，生长速度由达到最快而后逐渐变慢；到衰老期则几乎停止生长。到衰老期则几乎停止生长。v指数曲线模型不能预测接近极限值时生物生长的特性值，指数曲线模型不能预测接近极限值时生物生长的特性值，因为趋近极限值时，生物生长特性值已不按指数规律增长。因为趋近极限值时，生物生长特性值已不按指数规律增长。第24页，本讲稿共46页龚帕兹生长曲线龚帕兹生长曲线 (a)ln a0,0b1 (b)ln a1 (c)ln a0,0b0,b1第25页，本讲稿共46页第四节第四节 龚伯兹曲线龚伯兹曲线第26页，本讲稿共46页第四节 龚伯兹曲线 结论：龚伯兹曲线的结论：龚伯兹曲线的对数一阶差分比率对数一阶差分比率为常数为常数 b。龚珀兹曲线模型一阶差的比率计算表龚珀兹曲线模型一阶差的比率计算表第27页，本讲稿共46页第四节第四节 龚伯兹曲线龚伯兹曲线第28页，本讲稿共46页第四节 龚伯兹曲线查查反反对对数表，求出参数数表，求出参数k、a、b，并将，并将k、a、b代入公式代入公式，即得，即得龚龚珀珀兹预测兹预测模型。模型。第29页，本讲稿共46页例例4：设设某某军军工工企企业业从从1993年年1月月开开始始为为海海军军批批量量生生产产某某型型装装备备，从从元元月月到到9月月平平均均每每台台节节省省原原材材料料如如表表所所示示，试试用用龚龚伯伯兹兹曲曲线线预预测测法法预预测测10月月份份，每台可能节约原材料费多少？每台可能节约原材料费多少？第四节 龚伯兹曲线第30页，本讲稿共46页求解过程求解过程龚伯兹曲线方程为：龚伯兹曲线方程为：将将t10代入，得：代入，得：第31页，本讲稿共46页第五节 罗吉斯曲线罗吉斯曲线图罗吉斯曲线图 1938年比利时数学家年比利时数学家P.F.Verhulst 在研究人口增殖规律时，归纳在研究人口增殖规律时，归纳出了著名的罗吉斯曲线出了著名的罗吉斯曲线(Logistic curve)，又称生长理论曲线或推理曲，又称生长理论曲线或推理曲线线，广泛用于长期预测的数学模型。适合用罗吉斯曲线表示：广泛用于长期预测的数学模型。适合用罗吉斯曲线表示：某种耐用消费品的普及过程某种耐用消费品的普及过程流行商品的累积销售额流行商品的累积销售额被置于孤岛的动植物生长现象等被置于孤岛的动植物生长现象等 第32页，本讲稿共46页倒数总和法倒数总和法v求倒数v三和法求参数第33页，本讲稿共46页倒数总和法倒数总和法v构造v则第34页，本讲稿共46页倒数总和法倒数总和法v构造v则第35页，本讲稿共46页第五节第五节 罗吉斯曲线罗吉斯曲线v例例5：某石油公司的天然气历年产量见表。试建立罗吉斯增长曲：某石油公司的天然气历年产量见表。试建立罗吉斯增长曲线，并用模型预测未来一年的天然气产量。线，并用模型预测未来一年的天然气产量。解：由表中数据求得解：由表中数据求得得得第36页，本讲稿共46页增长曲线特征比较增长曲线特征比较曲线类型曲线类型特特 点点指数曲线一阶环比为常数一阶环比为常数eb（或对数的一阶差分近似为一常数）修正指数曲线一阶差分环比为常数一阶差分环比为常数b龚伯兹曲线其对数的一阶差分的环比为一常数其对数的一阶差分的环比为一常数b罗吉斯曲线倒数的一阶差分环比为一常数倒数的一阶差分环比为一常数e-a第37页，本讲稿共46页预测模型的识别方法预测模型的识别方法v1.绘图目估法绘图目估法v2.离差平方和最小法离差平方和最小法v3.增长特征法增长特征法第38页，本讲稿共46页曲线拟合优度分析曲线拟合优度分析 一、曲线的拟合优度分析一、曲线的拟合优度分析 如前所述，实际的预测对象往往无法通过图形直观如前所述，实际的预测对象往往无法通过图形直观确认某种模型，而是与几种模型接近。这时，一般先确认某种模型，而是与几种模型接近。这时，一般先初选几个模型，待对模型的拟合优度分析后再确定究初选几个模型，待对模型的拟合优度分析后再确定究竟用哪一种模型。竟用哪一种模型。第39页，本讲稿共46页 拟合优度指标：拟合优度指标：评判拟合优度的好坏一般使用标准误差来作评判拟合优度的好坏一般使用标准误差来作 为优度好坏的指标：为优度好坏的指标：曲线拟合优度分析曲线拟合优度分析第40页，本讲稿共46页年份年份时序时序（t）总额总额（yt）年份年份时序时序（t）总额总额（yt）年份年份时序时序（t）总额总额（yt）19521276.8196312604.51974231163.619532348.0196413638.21975241271.119543381.1196514670.31976251339.419554392.2196615732.81977261432.819565461.0196716770.51978271558.619576474.2196817737.31979281800.019587548.0196918801.51980292140.019598638.0197019858.01981302350.019609696.9197120929.21982312570.0196110607.71972211023.31983322849.4196211604.01973221106.7 例例 6：下表是我国：下表是我国1952年到年到1983年社会商品零售总额（按年社会商品零售总额（按当年价格计算），分析预测我国社会商品零售总额当年价格计算），分析预测我国社会商品零售总额。曲线拟合优度分析曲线拟合优度分析第41页，本讲稿共46页（1）对数据画折线图分析，以社会商品零售总额为）对数据画折线图分析，以社会商品零售总额为 y轴，年份为轴，年份为x轴。轴。曲线拟合优度分析曲线拟合优度分析第42页，本讲稿共46页（2）从图形可以看出大致的曲线增长模式，较符合）从图形可以看出大致的曲线增长模式，较符合 的模型有二次曲线和指数曲线模型。但无法确的模型有二次曲线和指数曲线模型。但无法确 定哪一个模型能更好地拟合该曲线，则我们将定哪一个模型能更好地拟合该曲线，则我们将 分别对该两种模型进行参数拟合。分别对该两种模型进行参数拟合。适用的二次曲线模型为：适用的二次曲线模型为：适用的指数曲线模型为适用的指数曲线模型为：曲线拟合优度分析曲线拟合优度分析第43页，本讲稿共46页（3）进行二次曲线拟合进行二次曲线拟合。首先产生序列 ，然后运用普通最小二乘法对模型各参数进行估计。得到估计模型为：其中调整的 ，则方程通过显著性检验，拟合效果很好。标准误差为151.7。曲线拟合优度分析曲线拟合优度分析第44页，本讲稿共46页(4)进行指数曲线模型拟合。对模型进行指数曲线模型拟合。对模型：两边取对数：两边取对数：产生序列产生序列 ，之后进行普通最小二乘估计该模型。，之后进行普通最小二乘估计该模型。最终得到估计模型为：最终得到估计模型为：曲线拟合优度分析曲线拟合优度分析第45页，本讲稿共46页 其中调整的其中调整的 ，通过显著性检验，通过显著性检验，拟合效果很好。标准误差为：拟合效果很好。标准误差为：175.37。（5）通过以上两次模型的拟合分析，我们发现采用二次曲线模型）通过以上两次模型的拟合分析，我们发现采用二次曲线模型拟合的效果更好（拟合的效果更好（175.37 151.7）。因此，运用方程：）。因此，运用方程：进行预测将会取得较好的效果。进行预测将会取得较好的效果。曲线拟合优度分析曲线拟合优度分析第46页，本讲稿共46页