第9章 受扭杆的强度和刚度优秀课件.ppt

第9章 受扭杆的强度和刚度第1页，本讲稿共26页四川建筑职业技术学院4.掌握矩形截面杆自由扭转时的应力和强度计算以及变形 和刚度计算。91 圆轴扭转时的应力和强度计算圆轴扭转时的应力和强度计算91 1圆轴扭转的实验圆轴扭转的实验1.扭转试验现象与分析图a所示为一圆轴，在其表面画上若干条纵向线和圆周线，形成矩形网格。在弹性范围内，扭转变形后（图b），可以观察到以下现象：第2页，本讲稿共26页四川建筑职业技术学院（1）各纵向线都倾斜了一个微小的角度 ，矩形网格变成了平行四边形。（2）各圆周线的形状、大小及间距保持不变，但它们都绕 轴线转动了不同的角度。第3页，本讲稿共26页四川建筑职业技术学院根据以上观察到的现象，可以作出如下的假设及推断：由于各圆周线的形状、大小及间距保持不变，可以假设圆轴的横截面在扭转后仍保持为平面，各横截面象刚性平面一样绕轴线作相对转动。这一假设称为圆轴扭转时的平面假设平面假设。由于各圆周线的间距保持不变，故知横截面上没有正应力。由于矩形网格歪斜成了平行四边形，即左右横截面发生了相对转动，故可推断横截面上必有切应力，且切应力的方向垂直于半径。由于各纵向线都倾斜了一个角度，故各矩形网格的直角都改变了 角，直角的改变量称为切应变切应变。第4页，本讲稿共26页四川建筑职业技术学院2.切应力互等定理设矩形网格ABCD沿纵向长为dx，沿圆周向长为dy，以它作为一个面，再沿半径方向取长为dz，截出一个微小正六面体，称为单元体单元体，如图所示。由平衡方程，得(dydz)dx=（dxdz）dy故=第5页，本讲稿共26页四川建筑职业技术学院上式表明，在单元体相互垂直的两个平面上，沿垂直于两面交线作在单元体相互垂直的两个平面上，沿垂直于两面交线作用的切应力必然成对出现，且大小相等，方向共同指向或背离该两用的切应力必然成对出现，且大小相等，方向共同指向或背离该两面的交线。面的交线。这一结论称为切应力互等定理切应力互等定理。单元体的两对面上只有切应力而没有正应力，这种应力情况称为纯剪切纯剪切。3.剪切胡克定律 当切应力当切应力未超过材料的剪切比例极限未超过材料的剪切比例极限p时，切应力时，切应力与其切应变与其切应变成正比成正比。=G G称为材料的切变模量。切变模量。第6页，本讲稿共26页四川建筑职业技术学院91 2圆轴扭转时横截面上的切应力圆轴扭转时横截面上的切应力 圆轴扭转时横截面上任一点处切应力大小的计算公式 T横截面上的扭矩，以绝对值代入；横截面上欲求应力的点处到圆心的距离；Ip横截面对圆心的极惯性矩极惯性矩 第7页，本讲稿共26页四川建筑职业技术学院当 =R时，切应力最大，最大切应力 令 则有 扭转截面系数扭转截面系数。第8页，本讲稿共26页四川建筑职业技术学院圆截面：圆环形截面：内、外径的比值。应该注意，扭转时应力的计算公式只适用于圆轴。第9页，本讲稿共26页四川建筑职业技术学院例例91 空心圆轴的横截面外径D=90mm，内径d=85mm，横截面上的扭矩T=1.5kNm。求横截面上内外边缘处的切应力，并绘制横截面上切应力的分布图。解解（1）计算极惯性矩。极惯性矩为（2）计算切应力。内外边缘处的切应力分别为第10页，本讲稿共26页四川建筑职业技术学院91 3圆轴的强度计算圆轴的强度计算 圆轴扭转时的强度条件为 例例92 如图a所示的空心圆轴，外径D=100mm，内径d=80mm，外力偶矩Me1=6kNm、Me2=4kNm。材料的许用切应力 =50MPa，试对该轴进行强度校核。第11页，本讲稿共26页四川建筑职业技术学院解解 （1）求危险截面上的扭矩。绘出轴的扭矩图如图b所示，BC段各横截面为危险截面，其上的扭矩为 Tmax=4kNm（2）校核轴的扭转强度。截面的扭转截面系数为轴的最大切应力为可见轴是安全的 第12页，本讲稿共26页四川建筑职业技术学院例例93 实心圆轴和空心圆轴通过牙嵌离合器连在一起，如图所示。已知轴的转速n=100r/min，传递功率P=10kW，材料的许用切应力t=20MPa。（1）选择实心轴的直径D1。(2)若空心轴的内外径比为1/2，选择空心轴的外径D2。(3)若实心部分与空心部分长度相等且采用同一种材料，求实心部分与空心部分的重量比。第13页，本讲稿共26页四川建筑职业技术学院解解 轴承受的外力偶矩为 故轴任一横截面上的扭矩为 T=Me=955Nm（1）选择实心轴的直径。由强度条件得（2)选择空心轴的外径D2。空心圆截面的扭转截面系数为第14页，本讲稿共26页四川建筑职业技术学院（3）实心部分与空心部分的重量比为 显然空心轴比实心轴节省材料。第15页，本讲稿共26页四川建筑职业技术学院92 圆轴扭转时的变形和刚度计算圆轴扭转时的变形和刚度计算92 1圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形 圆轴扭转时的变形通常是用两个横截面绕轴线转动的相对扭转角f来度量。d相距为dx的两横截面间的扭转角；T横截面上的扭矩，以绝对值代入；G材料的切变模量；Ip横截面对圆心的极惯性矩。第16页，本讲稿共26页四川建筑职业技术学院相距为l的两横截面间的扭转角为 积分后得 GIp称为圆轴的扭转刚度扭转刚度，用它来表示圆轴抵抗扭转变形的能力。工程中通常采用单位长度扭转角单位长度扭转角，即 单位长度扭转角 的单位为radm 第17页，本讲稿共26页四川建筑职业技术学院92 2圆轴的刚度计算圆轴的刚度计算 在实际工程中 的单位通常为/m 第18页，本讲稿共26页四川建筑职业技术学院例例94 图a所示的传动轴，在截面A、B、C三处作用的外力偶矩分别为MeA=4.77kNm、MeB=2.86kNm、MeC=1.91kNm。已知轴的直径D=90mm，材料的切变模量G=80103MPa，材料的许用切应力=60MPa，单位长度许用扭转角 =1.1/m。试校核该轴的强度和刚度。第19页，本讲稿共26页四川建筑职业技术学院解解（1）求危险截面上的扭矩。绘出扭矩图如图b所示。由图可知，BA段各横截面为危险截面，其上的扭矩为 Tmax=2.86kNm（2）强度校核。截面的扭转截面系数和极惯性矩分别为 轴的最大切应力为 可见强度满足要求。第20页，本讲稿共26页四川建筑职业技术学院（3）刚度校核。轴的单位长度最大扭转角为可见刚度也满足要求。第21页，本讲稿共26页四川建筑职业技术学院93矩形截面杆自由扭转时的应力和变形矩形截面杆自由扭转时的应力和变形 在图a所示矩形截面杆的表面画上若干纵向线和横向线，则在扭转后可看到所有横向线都变成了曲线（图b），这说明横截面不再保持为平面而变为曲面，这种现象称为翘曲翘曲。试验表明，非圆截面杆扭转时都会发生翘曲，圆轴扭转时的平面假设不再非圆截面杆扭转时都会发生翘曲，圆轴扭转时的平面假设不再成立，应力和变形的计算公式也不再适用成立，应力和变形的计算公式也不再适用。第22页，本讲稿共26页四川建筑职业技术学院当非圆截面杆不受任何约束时，横截面能自由翘曲，各截面翘曲的程度相同（图a），截面上只有切应力而没有正应力，这种扭转称为自由扭转自由扭转。若杆件受到约束，例如一端固定，则各截面的翘曲受到限制，横截面上不仅有切应力，而且还有正应力，这种扭转称为约束扭转约束扭转（图b）。第23页，本讲稿共26页四川建筑职业技术学院简单介绍矩形截面杆自由扭转的主要结论：（1）矩形截面杆自由扭转时横截面上切应力的分布规律如图所示。截面周边各点处的切应力平行于周边且与扭转方向一致；在对称轴上，各点的切应力垂直于对称轴；其他各点的切应力是斜向的；角点及形心处的切应力为零；最大切应力max发生在长边中点处；短边中点处有较大的切应力1。第24页，本讲稿共26页四川建筑职业技术学院（2）计算公式。最大切应力为短边中点处的切应力为单位长度扭转角为Wp矩形截面的扭转截面系数，Wp=hb2；It矩形截面的相当极惯性矩，It=hb3；、与矩形截面高度比h/b有关的系数，可由表查得。第25页，本讲稿共26页四川建筑职业技术学院例例95 有一矩形截面的等直钢杆，其横截面尺寸为h=100mm，b=50mm，杆两端作用一对扭转力偶他，已知Me=4kNm，钢的许用切应力=100MPa，切变模量G=80103MPa，单位长度许用扭转角=1.2m。试对此杆进行强度和刚度校核。解解 杆的扭矩为T=Me=4kNm由h/b=100mm/50mm=2，查表得=0.246，=0.229。因此可见此杆满足强度和刚度要求。第26页，本讲稿共26页