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第2章平差数学模型2023/2/9第二章 平差数学模型与最小二乘原理 1第1页，本讲稿共17页2023/2/9第二章第二章第二章第二章 平差数学模型与最小二乘原理平差数学模型与最小二乘原理平差数学模型与最小二乘原理平差数学模型与最小二乘原理 2第一节第一节第一节第一节 概概概概 述述述述如图三角形ABC中，为了确定它的形状，只需要知道其中任意两个内角的大小就可以了 要确定该三角形的大小和形状，就必须知道三个不同的元素，即任意的一边两角、任意的两边一角或者是三边。要确定该三角形的大小、形状和它在一个特定坐标系中的位置和方向，则必须知道图中15个元素中的6个不同的元素，至少要包含一个点的坐标和一条边的坐标方位角，这是确定其位置和方向不可缺少的元素，通常称其为外部配外部配外部配外部配置元素置元素置元素置元素，它们的改变只相当于整个网在坐标系中发生了平移和旋转，并不影响该三角形的内部形状和大小。所以三角形中如果没有已知点坐标和已知方位角时，也可以假定一个点的坐标和一条边的方位角，这就相当于将该三角形定位于某个局部坐标系中，实际上只需要3个元素就可以了。如果A、B两点都是已知点，为确定三角形的大小、形状、位置和方向，则只需要任意两个元素就行了，如两角、两边或一边一角等。第2页，本讲稿共17页2023/2/9第二章第二章 平差数学模型与最小二乘原理平差数学模型与最小二乘原理 3第一节第一节第一节第一节 概概概概 述述述述4.4.4.4.必要观测个数必要观测个数必要观测个数必要观测个数 我们把能够唯一地确定一个几何模型所必要的元素，称为必要观测元素必要观测元素必要观测元素必要观测元素。必要观测元素的个数用t表示，称为必要观测个数必要观测个数必要观测个数必要观测个数 一个几何模型的必要观测元素之间是不存在任何确定的函数关系的，即其中的任何一个必要观测元素不可能表达为其余必要观测元素的函数。这些彼此不存在函数关系的量称为函数独立量，简称独立量。5.5.5.5.多余观测个数多余观测个数多余观测个数多余观测个数 假设对模型中的几何量总共观测n个，ntntntntntntnt，r=n-tr=n-tr=n-tr=n-t r r r r称为多余观测个数称为多余观测个数称为多余观测个数称为多余观测个数，表示有r个多余观测值，在统计学中也叫自由度自由度自由度自由度。第3页，本讲稿共17页2023/2/9第二章第二章 平差数学模型与最小二乘原理平差数学模型与最小二乘原理 4第一节第一节第一节第一节 概概概概 述述述述6.6.6.6.条件方程条件方程条件方程条件方程 现在模型中有r个多余观测量，因此，一定也存在着r个这样的函数关系式。每增加一个多余观测，在它们中间就必然增加且只增加一个确定的函数关系式，有多少个多余观测，就会增加多少个这样的关系式。这种函数关系式，在测量平差中称为条件方程条件方程条件方程条件方程。第4页，本讲稿共17页2023/2/9第二章第二章 平差数学模型与最小二乘原理平差数学模型与最小二乘原理 5第一节第一节第一节第一节 概概概概 述述述述7.7.7.7.平差的概念平差的概念平差的概念平差的概念 我们把按照某一准则求得观测值新的一组最优估值的计算过程叫平差平差平差平差。求改正数V消除矛盾产生矛盾多余观测平差V称为观测值的改正数“观测值估值”（又叫平差值、最或是值、最或然值）来代替观测值第5页，本讲稿共17页2023/2/9第二章第二章第二章第二章 平差数学模型与最小二乘原理平差数学模型与最小二乘原理平差数学模型与最小二乘原理平差数学模型与最小二乘原理 6第二节第二节第二节第二节 测量平差的数学模型测量平差的数学模型测量平差的数学模型测量平差的数学模型 在科学技术领域，通常对研究对象在科学技术领域，通常对研究对象在科学技术领域，通常对研究对象在科学技术领域，通常对研究对象进行抽象概括，用数学关系式来描进行抽象概括，用数学关系式来描进行抽象概括，用数学关系式来描进行抽象概括，用数学关系式来描述它的某种特征或内在的联系，这述它的某种特征或内在的联系，这述它的某种特征或内在的联系，这述它的某种特征或内在的联系，这种数学关系式就称为种数学关系式就称为种数学关系式就称为种数学关系式就称为数学模型数学模型数学模型数学模型。本节详细介绍平差的随随随随机机机机模模模模型型型型和常见的平差函数模型函数模型函数模型函数模型及其建立方法。一、函数模型一、函数模型一、函数模型一、函数模型 函函函函数数数数模模模模型型型型是描述观测量与待求量之间的数学函数关系的模型。下面简述各种经典平差方法的线性函数模型及其建立方法。1.1.条件平差条件平差条件平差条件平差 如果有n个观测值 ，必要观测个数为t，则应列出r=n-t个条件方程:先看书上例子或 令：则：上式即为条件平差的函数模型。以此模型为基础的平差计算称为条件平差法。建建建建模模模模方方方方法法法法：找出观测值真值之间应该满足的 r 个关系式。第6页，本讲稿共17页2023/2/9第二章第二章 平差数学模型与最小二乘原理平差数学模型与最小二乘原理 7第二节第二节第二节第二节 测量平差的数学模型测量平差的数学模型测量平差的数学模型测量平差的数学模型一、函数模型一、函数模型一、函数模型一、函数模型 2.2.附有参数的条件平差法附有参数的条件平差法附有参数的条件平差法附有参数的条件平差法 如果有n个观测值 ，必要观测个数为t，则应列出r=n-t个条件方程。现又增设了u u u u个独立量作为未知参数，且0 ut0 ut0 ut0 ut个参数，其中包含t个独立参数，则多选的s=u-t个参数必定是t个独立参数的函数，即在u个参数之间存在着s个 函 数 关 系 式。方 程 的 总 数c=r+u=r+t+s=n+s个，建立模型时，除了列立n个观测方程外，还要增加参数之间满足的s个条件方程，以此作为平差函数模型的平差方法称为附有条件的间接平差。其函数模型的一般形式为：线性形式的函数模型为 因：并令：则上式可写为：这就是附有条件的间接平差的函数模型。其中第二式称为限制条件方程。第9页，本讲稿共17页2023/2/9第二章第二章 平差数学模型与最小二乘原理平差数学模型与最小二乘原理 10第二节第二节第二节第二节 测量平差的数学模型测量平差的数学模型测量平差的数学模型测量平差的数学模型一、函数模型一、函数模型一、函数模型一、函数模型 5.5.附有条件的条件平差法（综合平差附有条件的条件平差法（综合平差附有条件的条件平差法（综合平差附有条件的条件平差法（综合平差模型）模型）模型）模型）附有条件的条件平差的基本思想是：对于一个平差问题，若增选了u个参数，不论ut，也不论参数是否独立，每增加一个参数则肯定相应地增加1个方程，故方程的总数为r+u个。如果在u个参数中有s个是不独立的，或者说在这u个参数中存在着s个函数关系式，则应列出s个形如（2-2-20）的限制条件方程，除此之外再列出 c=r+u-s一般条件方程，形成如下的函数模型：考虑到，则：这就是附有条件的条件平差的函数模型第10页，本讲稿共17页2023/2/9第二章第二章 平差数学模型与最小二乘原理平差数学模型与最小二乘原理 11第二节第二节第二节第二节 测量平差的数学模型测量平差的数学模型测量平差的数学模型测量平差的数学模型二、随机模型二、随机模型二、随机模型二、随机模型 式中D为L的协方差阵，Q为L的协因数阵，P为L的权阵，为单位权方差。函数模型连同随机模型，就称为平差的数学模型。在进行平差计算前，函数模型和随机模型必须首先被确定，前者按上面介绍的方法建立，后者须知道P、Q、D其中之一。一般是按第一章介绍的方法进行平差前经验定权。可以通过平差计算求出其估值，然后根据公式求得D的估值。三、例题三、例题三、例题三、例题见课本 第11页，本讲稿共17页2023/2/9第二章第二章第二章第二章 平差数学模型与最小二乘原理平差数学模型与最小二乘原理平差数学模型与最小二乘原理平差数学模型与最小二乘原理 12第三节第三节第三节第三节 函数模型的线性化函数模型的线性化函数模型的线性化函数模型的线性化 不同的平差问题，所列出的函数模不同的平差问题，所列出的函数模不同的平差问题，所列出的函数模不同的平差问题，所列出的函数模型有的是线性的，有的则是非线性型有的是线性的，有的则是非线性型有的是线性的，有的则是非线性型有的是线性的，有的则是非线性的。在进行平差时，必须利用台劳的。在进行平差时，必须利用台劳的。在进行平差时，必须利用台劳的。在进行平差时，必须利用台劳级数将非线性方程线性化，转化为级数将非线性方程线性化，转化为级数将非线性方程线性化，转化为级数将非线性方程线性化，转化为线性方程。线性方程。线性方程。线性方程。为线性化方便，现取为线性化方便，现取为线性化方便，现取为线性化方便，现取 的近似值的近似值的近似值的近似值为为为为 ，则有则有则有则有一、线性化的一般方法一、线性化的一般方法一、线性化的一般方法一、线性化的一般方法 第12页，本讲稿共17页2023/2/9第二章第二章第二章第二章 平差数学模型与最小二乘原理平差数学模型与最小二乘原理平差数学模型与最小二乘原理平差数学模型与最小二乘原理 13第三节第三节第三节第三节 函数模型的线性化函数模型的线性化函数模型的线性化函数模型的线性化 二二二二、五种平差模型线性化后的形式五种平差模型线性化后的形式五种平差模型线性化后的形式五种平差模型线性化后的形式 1.1.条件平差条件平差条件平差条件平差2.2.2.2.附有参数的条件平差附有参数的条件平差附有参数的条件平差附有参数的条件平差 可可可可以以以以看看看看出出出出，线线线线性性性性化化化化后后后后的的的的平平平平差差差差模模模模型型型型与与与与线性模型的形式是相同的。线性模型的形式是相同的。线性模型的形式是相同的。线性模型的形式是相同的。第13页，本讲稿共17页2023/2/9第二章第二章 平差数学模型与最小二乘原理平差数学模型与最小二乘原理 14第三节第三节第三节第三节 函数模型的线性化函数模型的线性化函数模型的线性化函数模型的线性化 二二二二、五种平差模型线性化后的形式五种平差模型线性化后的形式五种平差模型线性化后的形式五种平差模型线性化后的形式 3.3.间接平差法间接平差法间接平差法间接平差法4.4.4.4.附有条件的间接平差附有条件的间接平差附有条件的间接平差附有条件的间接平差 第14页，本讲稿共17页2023/2/9第二章第二章 平差数学模型与最小二乘原理平差数学模型与最小二乘原理 15第三节第三节第三节第三节 函数模型的线性化函数模型的线性化函数模型的线性化函数模型的线性化 二二二二、五种平差模型线性化后的形式五种平差模型线性化后的形式五种平差模型线性化后的形式五种平差模型线性化后的形式 5.5.附有条件的条件平差附有条件的条件平差附有条件的条件平差附有条件的条件平差 第15页，本讲稿共17页2023/2/9第二章第二章 平差数学模型与最小二乘原理平差数学模型与最小二乘原理 16第四节第四节第四节第四节 最小二乘原理最小二乘原理最小二乘原理最小二乘原理 观测值独立但不等精度时：观测值同精度独立时：所谓极极极极大大大大似似似似然然然然估估估估计计计计，就是要在概率分布密度函数达到极大的条件下来对真误差 进行估计：当观测向量服从正态分布时，极大似然估计与最小二乘估计的结果是一致的当观测向量服从正态分布时，极大似然估计与最小二乘估计的结果是一致的当观测向量服从正态分布时，极大似然估计与最小二乘估计的结果是一致的当观测向量服从正态分布时，极大似然估计与最小二乘估计的结果是一致的 第四节第四节第四节第四节 最小二乘原理最小二乘原理最小二乘原理最小二乘原理第16页，本讲稿共17页2023/2/9第二章第二章 平差数学模型与最小二乘原理平差数学模型与最小二乘原理 17将上式对取一阶导数，并令其为零，得 将 代入上式得第四节第四节第四节第四节 最小二乘原理最小二乘原理最小二乘原理最小二乘原理例例例例2-22-22-22-2 设对某物理量 进行了 次同精度独立观测，得观测值 ，试按最小二乘准则求该量的估计值。解解解解：设该量的估计值为 ，则有写成矩阵形式 按最小二乘准则，要求：第17页，本讲稿共17页