三角函数线应用举例.doc
三角函数线应用举例一。求三角函数的定义域图1 x= 图2例1.求下列函数的定义域：分析: 首先作出单位圆，然后根据各问题的约束条件利用三角函数线画出角x满足条件的终边范围。解： （1)如图1，（2）如图2,点评: 三角函数线的主要作用是解三角不等式，比较大小及求函数定义域。二.解三角不等式例2.已知|cos|sin|，求的取值范围。 分析: 我们可以在单位圆中作出正弦线和余弦线绝对值相等的角，再找出满足cos|sin|的角范围。 解：如图3所示,根据cos|sin|,即角正弦线的绝对值和角余弦线的绝对值相等，则角的终边落在y=x和y=x上,满足|cossin的角的终边落在阴影部分， 点评：本题主要考查根据正弦线和余弦线作出角的范围,再写出角的集合。三。 比较大小例3.比较下列各组数的大小: 分析：我们可以考虑利用三角函数线，根据正弦线、余弦线、正切线来比较它们的大小。 解：(1）如下图所示,在单位圆中作出的余弦线OM2和OM1,OM1OM2，（2）如下图所示，sinMP，tanAT,MP<AT， sin<tan. 点评： 本题主要考查正弦线、余弦线、正切线的应用比较大小的。四。证明三角不等式例4.利用三角函数线证明：sin|cos1 分析：找出角的正余弦线，数形结合易证 证明:当角的终边在坐标轴上时，正弦线(余弦线）变成一个点，而余弦线（正弦线）的长等于r（r=1） 所以sin|cos|1. 当角的终边落在一个象限时，如图所示，利用三角形两边之和大于第三边有： sin|cos| =MP|十|OM|1.综上有sin|cos|1点评：本题利用三角函数定义，把三角问题转化为代数问题而获解决，这种方法，值得重视.对于sin+cos1,也可以利用三角函数线来证明，此外该结论还可推广,若为任意角,则有|sin|+ cos1.三角函数线基础练习一1、 ABCD2、角（0<2）的正、余弦线的长度相等,且正、余弦符号相异那么的值为( ）A B C D或 3、若0<<2，且sin< , cos 。利用三角函数线，得到的取值范围是( ） A（，) B（0，） C(，2） D(0，)（，2）4、若< ，则下列不等式中成立的是 （ ） Asincostan Bcos>tansinC tan>sin>cos Dsin>tancos5、函数的值域是 （)A1B1，3C-1D-1,36、依据三角函数线，作出如下四个判断：sin =sin；cos（）=cos；tan>tan ；sin sin 其中判断正确的有 （ ） A1个 B2个 C3个 D4个7、若,利用三角函数线,可得sin的取值范围是 8、若cossin，则 9、利用三角函数线,写出满足下列条件的角x的集合 sinx ; cosx ； tanx1 ；（4）且基础练习一参考答案CDDCDB ； 。（1）； （2)； （3）； （4）.三角函数线基础练习二1下列命题中为真命题的是(）A三角形的内角必是第一象限角或第二象限角B角的终边在x轴上时，角的正弦线、正切线分别变成一个点C终边在第二象限的角是钝角D终边相同的角必然相等答案B解析三角形的内角有可能是,属非象限角；终边在第二象限的角不一定是钝角；终边相同的角不一定相等，故A、C、D都不正确2已知角的正弦线是单位长度的有向线段,那么角的终边（）A在x轴上 B在y轴上C在直线yx上 D在直线yx或yx上答案B解析sin1或sin1,角的终边在y轴上3利用正弦线比较sin1，sin1.2，sin1.5的大小关系是（）Asin1sin1。2sin1.5Bsin1sin1。5sin1。2Csin1。5>sin1。2>sin1Dsin1。2>sin1sin1。5答案C解析数形结合可知，C正确4已知，在单位圆中角的正弦线、余弦线、正切线分别是a、b、c,则它们的大小关系是（)Aab>cBc>abCcbaDb>ca答案B解析如图，ATMPOM，即ca>b.5若是三角形的内角，且sincos，则这个三角形是()A等边三角形 B直角三角形C锐角三角形 D钝角三角形答案D解析当0<时，由单位圆中的三角函数线知，sincos1，而sincos，必为钝角6asin，bcos，ctan，则（)Aa<bc BacbCbc<a Db<ac答案D解析<<，作出角的三角函数线如图可知， cos<sin<tan,选D.7已知sinsin,那么下列命题成立的是()A若、是第一象限角,则coscosB若、是第二象限角，则tantanC若、是第三象限角，则coscosD若、是第四象限角,则tan>tan答案D解析如图（1），、的终边分别为OP、OQ，sinMP>NQsin，此时OMON,cos<cos，故A错；如图(2），OP、OQ分别为角、的终边，MP>NQ,AC<AB，即tan<tan，故B错；如图（3），角，的终边分别为OP、OQ,MP>NQ即sin>sin,ONOM，即coscos，故C错，选D。8若0,2）,且cos，则的取值范围是_答案0，2)解析如图,OM为0，2)内的角和的余弦线，欲使cos，角的余弦OM，当OM伸长时，OP与OQ扫过部分为扇形POQ，0或2.9若，则sin的取值范围是_答案解析如图可知sin，sin1，1sin。10已知点P(tan，sincos）在第一象限，且02,则角的取值范围是_答案解析点P在第一象限，由(1）知0<或<,（3）由（2）知sin>cos，作出三角函数线知，在0,2内满足sincos的，(4)由(3)、(4）得.点评要准确应用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式须熟记以下几种情形：11利用单位圆写出满足sin,且(0，)的角的集合是_答案解析作出正弦线如图MPNQ,当sin时，角对应的正弦线MP、NQ缩短，0<或<<.12利用三角函数线比较下列各组数的大小 ：（1)sin与sin;（2）tan与tan。解析如图所示，角的终边与单位圆的交点为P,其反向延长线与单位圆的过点A的切线的交点为T，作PMx轴，垂足为M，sinMP,tanAT；的终边与单位圆的交点为P，其反向延长线与单位圆的过点A的切线交点为T,作PMx轴，垂足为M，则sinMP,tanAT，由图可见，MP>MP0，AT<AT<0，（1)sinsin。（2）tantan。13求下列函数的定义域：（1）y；(2）ylg（34sin2x）解析如图(1)2cosx10,cosx.函数定义域为（kZ)(2）如图(2）34sin2x>0，sin2x<,<sinx<。函数定义域为,(kZ），即(kZ）14利用单位圆中的三角函数线解不等式(组)：（1）3tan>0;（2）。解析(1）要使3tan>0，即tan。由正切线知k<k,kZ。不等式的解集为,kZ。(2）不等式组即为区域（）为sinx，区域（）为cosx.区域(）与（）公共部分为不等式组的解，即不等式组解集为,kZ.15已知角的终边落在直线y2x上，求sin,cos，tan的值解析(1)当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点A（1，2）,由rOA得，sin，cos，tan2.(2)当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点B（1，2)，由rOB|得，sin，cos，tan2。
