全等三角形中与中点相关的辅助线做法及常见题型.doc
全等三角形中与中点相关的辅助线做法及常见题型全等三角形中与中点相关的辅助线做法及常见题型一 倍长中线构造全等三角形1。如图所示，已知中，平分，、分别在、上,求证： 【提示】延长到，使，连结，易证,可得，,然后根据及可得，问题得证. 2。如图，ABC中，ABAC,AD是中线,AB10，AD7，CAD45°，求BC的长。 【提示】延长AD到E使DE=AD=7，连接CE，作EFAC于F,作CHAD于H，如图,先证明ADBEDC得到EC=AB=10,再利用AEF为等腰直角三角形计算出AF=EF=7,则根据勾股定理可计算出CF，从而得到AC=6，接着利用ACH为等腰直角三角形得到AH=CH=6，然后利用勾股定理计算出CD,从而得到BC的长 3如图所示，是的中点,，求证 【提示】延长AM到F，使MFAM，交CD于点N,构造平行四边形,利用条件证明ABFCAD，可得出BAFACD，再结合条件可得到ANC90°,可证得结论4如图所示，在中，交于点,点是中点，交的延长线于点，交于点，若，求证：。 【提示】延长GE至Q，使EQ=EG，连接CQ，根据SAS证BEGCEQ,推出BG=CQ，BGE=Q,又由BG=CF得CQ=CF，所以得F=Q，则BGE=F,再根据平行线的性质得BGE=BAD,F=CAD，于是得BAD=CAD，所以结论得证。5.如图，分别以的边向外作正方形ABFG和ACDE,连接EG，若O为EG的中点，求证：（1)；（2） 【提示】（1）如图，延长AO到M，使OM=AO,连接GM，延长OA交BC于点H根据全等三角形的性质得到AE=MG，MGO=AEO，根据三角形的内角和得到MGA+GAE=180°，根据正方形的性质得到AG=AB，AE=AC，BAG=CAE=90°,根据全等三角形的性质得到AM=BC，等量代换即可得到结论;（2)根据全等三角形的性质得到M=EAO，M=ACB，等量代换得到EAO=ACB，求得AHC=90°，根据垂直的定义即可得到结论6如图1，在中,，是边的中点，交于点.将直角绕顶点旋转,使得边与线段交于点，边与线段交于点。 (1）求证：与相似；（2）设的长为，的面积为，求与的函数关系式，并写出的取值范围；（3）探究、三者之间的数量关系，并说明理由。 【提示】（1）由同角的余角相等证得及即可得出结论；（2）先由特殊角的三角函数值求出、，再由相似比求出，并进一步得出，最后由面积公式得出与的函数关系式；（3）利用是边的中点构造三角形全等,再由勾股定理探究、三者之间的数量关系.二 直角三角形斜边上的中线7如图所示，为的中点，求证：。 【提示】延长交于，易得，BM=MN，由直角三角形斜边中线性质可得CM=MN=BM。8如图所示，四边形中，点是的中点,求的度数. 【提示】连接DE,根据直角三角形的性质得到DE=AB=BE,CE=AB=BE，根据三角形的外角性质计算即可；9如图所示，中，为的中点，为上一点,于点，连结求证： 【提示】连结AD,过点D作交BG于点F，由等腰直角三角形的性质可得,ADBC，由等角的余角相等得，根据ASA可证出 ，由全等三角形的对应边相等得AE=BF，DE=DF，则EDF为等腰直角三角形，即可得 。10如图，在矩形ABCD中,BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F。（1）若AB=2,AD=3，求EF的长；（2）若G是EF的中点,连接BG和DG,求证：DG=BG。 【提示】（1）由AE平分BAD,可得DAF45°，从而F45°，可证ADF，ECF都是等腰直角三角形，求出CF的长，最后根据勾股定理即可求出EF的长；（2）连结CG，易证BEGDCG135°，根据“SAS"可证BEGDCG，从而可得DGBG。 三 构造中位线11。如图所示，中，延长到,使，点是的中点，求证:. 【提示】可知EF是ABC的中位线，根据三角形中位线的性质,可得EFAB，EF=AB，又由AD=AB，即可得AD=EF，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,可证得四边形AEFD是平行四边形DE=AF，由在RtABC中，BAC=90°，点E边BC的中点,根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半,可求得AF=BC所以DE=2BC。12如图，正方形ABCD的边长为4,E是线段AB延长线上一动点，连结CE（1）如图1，过点C作CFCE交线段DA于点F求证：CF=CE；若BE=m（0m4)，用含m的代数式表示线段EF的长；（2）在（1）的条件下，设线段EF的中点为M,探索线段BM与AF的数量关系,并用等式表示（3)如图2，在线段CE上取点P使CP=2，连结AP，取线段AP的中点Q，连结BQ，求线段BQ的最小值 【提示】(1）根据正方形的性质以及余角的性质即可证明DCFBCE，再根据全等三角形对应边相等即可得出结论；根据全等三角形的性质可得DF=BE=m在RtECF中，由勾股定理即可得出结论；（2）在直线AB上取一点G，使BG=BE，由三角形中位线定理可得FG=2BM，可以证明AF=AG在RtAFG中由勾股定理即可得出结论（3）在AB的延长线上取点R，使BR=AB=4，连结PR和CR,由三角形中位线定理可得BQ=PR在RtCBR中，由勾股定理即可得出CR的长,再由三角形三边关系定理即可得出结论 四 过端点向中线做垂线13如图所示，在中,为边中点，于，的延长线于，求证： 【提示】过点C作CGAE的延长线于G，则，证，得，则 ,再证，得即可得 .14如图，是延长线上一点，且，是上一点，求证：. 【提示】分别过点D、C作AB的垂线，构建与，证其全等即可求得答案。14如图，在中,，延长交于。求证：. 【提示】如图，过点D作的延长线于点G，易证,再证即可
