备战2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题35 等比数列问题探究.doc

1专题专题 3535 等比数列问题探究等比数列问题探究【热点聚焦与扩展热点聚焦与扩展】等比数列的性质、通项公式和前 n 项和公式构成等比数列的重要内容，在历届高考中必考，既有独立考查的情况，也有与等差数列等其它知识内容综合考查的情况选择题、填空题、解答题多种题型加以考查1、定义：数列 na从第二项开始，后项与前一项的比值为同一个常数0q q ，则称 na为等比数列，这个常数q称为数列的公比注：非零常数列既可视为等差数列，也可视为1q 的等比数列，而常数列0,0,0,只是等差数列2、等比数列通项公式：1 1n naaq，也可以为：n m nmaaq3、等比中项：若, ,a b c成等比数列，则b称为, a c的等比中项（1）若b为, a c的等比中项，则有2abbacbc（2）若 na为等比数列，则nN ，1na均为2,nna a的等比中项（3）若 na为等比数列，则有mnpqmnpqa aa a4、等比数列前n项和公式：设数列 na的前n项和为nS当1q 时，则 na为常数列，所以1nSna当1q 时，则111nnaqSq可变形为：1111111n n naqaaSqqqq，设1 1akq，可得：n nSk qk5、由等比数列生成的新等比数列（1）在等比数列 na中，等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列（2）已知等比数列 ,nnab，则有 数列nka（k为常数）为等比数列 数列 na（为常数）为等比数列，特别的，当1 时，即1na为等比数列 数列nna b为等比数列2 数列 na为等比数列6、相邻k项和的比值与公比q相关：设1212,mmm knnn kSaaaTaaa，则有： 212 2 12k mn mmmm km k nnn knnaqqqSaaaaqTaaaaaqqq 特别的：若121222,kkkkkkkaaaS aaaSS2122332,kkkkkaaaSS，则232,kkkkkS SS SS成等比数列7、等比数列的判定：（假设 na不是常数列）（1）定义法（递推公式）：1nnaq nNa（2）通项公式：n nak q（指数类函数）（3）前n项和公式：n nSkqk x-k/w注：若n nSkqm mk，则 na是从第二项开始成等比关系（4）等比中项：对于nN ，均有2 12nnnaa a8、非常数等比数列 na的前n项和nS 与1na前n项和nT的关系111nnaqSq，因为1na是首项为11 a，公比为1 q的等比数列，所以有11 111111 1 1111n nnnnnq aqqqTqa qqaqq1 1121 11111nn nn n naqa qqSa qTqq 9、等差数列性质与等比数列性质：等差数列 na等比数列 nb3递推公式1nnaad nN 1nnbq nNb通项公式11naand1n nbb q等差（比）中项122nnnaaa2 12nnnbb bmnpqmnpqaaaamnpqb bb b等间隔抽项仍构成等差数列仍构成等比数列相邻k项和232,nnnnnS SS SS成等差数列232,nnnnnS SS SS成等比数列10、等差数列与等比数列的互化：（1）若 na为等差数列，0,1cc，则 nac成等比数列证明：设 na的公差为d，则11nnnna aad acccc为一个常数所以 nac成等比数列（2）若 na为正项等比数列，0,1cc，则logcna成等差数列证明：设 na的公比为q，则1 1loglogloglogn cncncc naaaqa 为常数所以logcna成等差数列【经典例题经典例题】例 1.【2017 课标 II，理 3】我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯（ ）A1 盏 B3 盏 C5 盏 D9 盏【答案】B【解析】4【名师点睛】用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时，要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后经过数学推理与计算得出的结果，放回到实际问题中进行检验，最终得出结论.例 2.【2019 届河北省衡水金卷一模】已知等比数列中，则（ ）A. B. -2 C. 2 D. 4【答案】C点睛：等比数列中，若，则；等差数列中，若，则.例 3.【2019 届 2019 届江西省景德镇市第一中学等盟校第二次联考】已知等比数列的前 项和是，则下列说法一定成立的是（ ）A. 若，则 B. 若，则C. 若，则 D. 若，则【答案】C【解析】分析：由，可得，分当时，当时，当时和时，由不等式的性质均可得到.详解：当时，5又当时，点睛：本题考查等比数列的通项公式与求和公式以及不等式的性质，意在考查分类讨论思想与计算能力，属于中档题.例 4.【2017 课标 3，理 9】等差数列 na的首项为 1，公差不为 0若 a2，a3，a6成等比数列，则 na前6 项的和为A24 B3 C3D8【答案】A【解析】例 5.【2019 年 4 月 2019 届高三第二次全国大联考】中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还 ”其意思为：有一个人走里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，6走了 天后到达目的地，请问第 天比第 天多走A. 12 里 B. 24 里 C. 36 里 D. 48 里【答案】C【解析】设第 天走了 里，其中由题意可知成等比数列，公比，且，解得，所以，所以，故第 天比第 天多走里故选 C例 6.【2019 届河南省名校压轴第二次考试】在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展” 将数列进行“扩展” ，第一次得到数列；第二次得到数列；.设第次“扩展”后得到的数列为，并记，其中，则数列的前 项和为_【答案】【解析】分析：先求出，再找到关系构造数列求出，最后求数列的前 n 项和得解.所以，所以.故答案为：点睛：(1)本题属于定义题，考查学生理解新定义及利用定义解决数学问题的能力,同时考查了等比数列的7通项和前 n 项和,考查了数列分组求和. (2)解答本题的关键是想到找的关系，并能找到关系例 7.【2017 江苏，9】等比数列na的各项均为实数,其前n项的和为nS,已知36763 44SS,则8a= .【答案】32【解析】当1q 时，显然不符合题意；当1q 时，3 16 1(1)7 14(1)63 14aq qaq q，解得11 4 2aq ，则7 812324a .【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.例 8.【2017 北京，理 10】若等差数列 na和等比数列 nb满足 a1=b1=1，a4=b4=8，则22a b=_.【答案】1【解析】【名师点睛】我们知道,等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.例 9.【2019 届北京市海淀区二模】已知等差数列满足.（）求数列的通项公式；（）若数列是首项为 1，公比为 2 的等比数列，求数列的前 项和.【答案】 （）；（）.8【解析】分析：（）设等差数列的公差为 ， 由 ，令 可得，解得，从而可得结果；（）由数列是首项为 1，公比为 2 的等比数列，可得，结合（1）可得，利用等差数列与等比数列的求和公式，根据分组求和法可得数列的前 项和.详解：设等差数列的公差为 ，所以 因为，所以. 设数列的前 项和为，则所以数列的前 项和为点睛：本题主要考查等差数列及等比数列的通项公式与求和公式和利用“分组求和法”求数列前 项和，属于中档题. 利用“分组求和法”求数列前 项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数9列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减.例 10.【2019 届福建省龙岩市 4 月检测】已知正项等比数列的前 项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前 项和.【答案】 （）（）数列是等比数列，公比，数列的通项公式为. （）由（）知，数列的前 项和.【精选精练精选精练】1 【2019 届福建省三明市 5 月检测】若为数列的前 项和，且，则等于( )A. B. C. D. 【答案】C10其前 8 项和为：.本题选择 C 选项.点睛：给出 与 的递推关系，求 an，常用思路是：一是利用转化为 an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为 Sn的递推关系，先求出 Sn与 n 之间的关系，再求 an.2 【2019 届东北三省三校（哈尔滨师范大学附属中学）三模】已知等比数列 的前 项和为 ，若， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：设出等比数列的公比，利用求出公比，利用等比数列通项公式求解即可.详解：设公比为 ，则，解得，故选 A.3 【2019 届安徽省合肥市三模】若正项等比数列满足，则的值是A. B. C. 2 D. 【答案】D【解析】分析：设正项等比数列的公比为，由，可得，解得 ，解得，代入即可得结果.11则，故选 D.4 【2019 届安徽省合肥市三模】若正项等比数列满足，则其公比为A. B. 2 或-1 C. 2 D. -1【答案】C【解析】分析：设等比数列的公比为 ，由等比数列的通项公式可得，即，可解得 的值，根据正项数列，排除不合题意的公比即可.详解：根据题意，设等比数列的公比为 ，若，则有，即，解可得或，由数列为正项等比数列，可得，故选 C.点睛：本题主要考查等比数列的通项公式，属于中档题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三” ，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.5 【2019 届湖南省长郡中学一模】已知等比数列的各项都是正数，且，成等差数列，（ ）A. 6 B. 7 C. 8 D. 9【答案】D12点睛：正整数满足，若数列是等差数列，则，若数列是等比数列，则，时也成立，此性质是等差数列（等比数列）的重要性质，解题时要注意应用.6 【2019 届湖南省株洲市检测二】已知等差数列的公差为 2，若成等比数列，是的前 项和，则等于( )A. -8 B. -6 C. 0 D. 10【答案】C【解析】分析：由成等比数列，可得 再利用等差数列的通项公式及其前 项和公式即可得出详解：4成等比数列， 化为 解得 则 故选 D7 【2019 届华大新高考联盟高三 4 月检测】设等比数列的前 项和为，若，且，则_【答案】138.【2019 届吉林省梅河口市第五中学二模】设正项等比数列的前 项和为，若，则的最小值为_.【答案】4【解析】分析：由得到等比数列的公比 ，然后再根据基本不等式求解详解：设等比数列的公比为 ，当且仅当，即时等号成立的最小值为 4点睛：利用基本不等式求最值时要注意不等式成立的条件，即“一正二定三相等” ，且三个条件缺一不可，解题时要说明等号成立的条件9.【2019 届安徽省“皖南八校”第三次（4 月）联考】已知数列的前的前 项和为，数列的的前 项和为，则满足的最小 的值为_【答案】914点睛：本题主要考查了等差数列与等比数列的综合应用问题，其中解答中涉及到数列的通项与的关系，推导数列的通项公式，以及等差、等比数列的前 项和公式的应用，熟记等差、等比数列的通项公式和前项和公式是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力.10 【2019 届宁夏石嘴山市 4 月一模） 】在正项等比数列 na中，若1321,22aaa成等差数列，则53a a_【答案】32 2.【解析】由于1321,22aaa成等差数列,所以3122aaa,即2 1112a qaa q,2210qq ,解得21q .故25332 2aqa.11 【2019 届山东省名校联盟第一次模拟】已知数列中，对任意的，都有（1）证明：数列成等比数列，成等比数列，其中；（2）记数列的前 项和为，求【答案】 （1）见解析；（2）【解析】分析：（1）由题意，求得，同理可得，即可利用等15比数列的定义，证得结论（2）由（1）得，即可利用分组求和求的数列的值（2），12 【2019 届辽宁省丹东市模拟二】为数列的前 项和，已知，（1）求的通项公式；（2）若数列的前 项和满足，求实数 的取值范围【答案】 （1）；（2）【解析】分析：（1）由和作差得，化简可得等比数列，从而得解；16（2）由，利用裂项相消法求和得，进而求解不等式即可.不等式可化为因为，所以，故因此实数 的取值范围为 点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.