（新课标）天津市2019年高考数学二轮复习 专题能力训练11 等差数列与等比数列 理.doc
1专题能力训练专题能力训练 1111 等差数列与等比数列等差数列与等比数列一、能力突破训练1 1.在等差数列an中,a4+a10+a16=30,则a18-2a14的值为 ( )A.20B.-20C.10D.-102 2.在各项均为正数的等比数列an中,若 log2(a2·a3·a5·a7·a8)=5,则a1·a9=( )A.4B.5C.2D.253 3.设an是等比数列,Sn是an的前n项和.对任意正整数n,有an+2an+1+an+2=0,又a1=2,则S101的值 为( )A.2B.200C.-2D.04 4.已知an是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn,若a3,a4,a8成等比数列,则( )A.a1d>0,dS4>0B.a1d0,dS405 5.已知数列an满足,且a2=2,则a4等于( )+ 1 + 1+ 1=1 2A.-B.23C.12D.111 26 6.已知各项均为正数的等差数列an的前n项和为Sn,S10=40,则a3·a8的最大值为 . 7 7.设等比数列an满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2an的最大值为 . 8 8.设x,y,z是实数,若 9x,12y,15z成等比数列,且成等差数列,则= . 1 ,1 ,1 + 9 9.已知Sn为数列an的前n项和,且a2+S2=31,an+1=3an-2n(nN N*).(1)求证:an-2n为等比数列;(2)求数列an的前n项和Sn.1010.(2018 全国,理 17)记Sn为等差数列an的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.(1)求an的通项公式;(2)求Sn,并求Sn的最小值.21111.已知数列an是等比数列.设a2=2,a5=16.(1)若a1+a2+a2n=t(+),nN N*,求实数t的值;21+ 2 22(2)若在之间插入k个数b1,b2,bk,使得,b1,b2,bk,成等差数列,求k的值.1 1与1 41 11 4,1 53二、思维提升训练1212.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出 了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列 1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,其中第一项是 20,接下来的两项是 20,21,再接下来的三项是 20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100 且该数列的前N项和为 2 的整数幂.那么 该款软件的激活码是( )A.440B.330C.220D.1101313.若数列an为等比数列,且a1=1,q=2,则Tn=+等于( )1 12+1 231 + 1A.1-B.142 3(1 -14)C.1-D.122 3(1 -12)1414.已知等比数列an的首项为 ,公比为-,其前n项和为Sn,若ASn-B对nN N*恒成立,则B-4 31 31 A的最小值为 . 1515.无穷数列an由k个不同的数组成,Sn为an的前n项和,若对任意nN N*,Sn2,3,则k的最 大值为 . 1616.等比数列an的各项均为正数,且 2a1+3a2=1,=9a2a6.23(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=log3a1+log3a2+log3an,求数列的前n项和.1 41717.若数列an是公差为正数的等差数列,且对任意nN N*有an·Sn=2n3-n2.(1)求数列an的通项公式.(2)是否存在数列bn,使得数列anbn的前n项和为An=5+(2n-3)2n-1(nN N*)?若存在,求出数列bn 的通项公式及其前n项和Tn;若不存在,请说明理由.5专题能力训练 1111 等差数列与等比数列一、能力突破训练1 1.D 解析 因为a4+a10+a16=30,所以 3a10=30,即a10=10,所以a18-2a14=-a10=-10.故选 D.2 2.A 解析 由题意得 log2(a2·a3·a5·a7·a8)=log2=5log2a5=5,所以a5=2.所以a1·a9=4.故5525选 A.3 3.A 解析 设公比为q,an+2an+1+an+2=0,a1+2a2+a3=0,a1+2a1q+a1q2=0,q2+2q+1=0,q=-1.又a1=2,S101=2.1(1 - 101)1 - =21 - ( - 1)101 1 + 14 4.B 解析 设an的首项为a1,公差为d,则a3=a1+2d,a4=a1+3d,a8=a1+7d.a3,a4,a8成等比数列,(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+7d),即 3a1d+5d2=0.d0,a1d=- d20,a8>0,所以a3·a810(1+ 10)2=16,当且仅当a3=a8=4 时取等号.(3+ 82)2=(82)27 7.64 解析 由已知a1+a3=10,a2+a4=a1q+a3q=5,两式相除得,1+ 3(1+ 3)=10 5解得q=,a1=8,1 26所以a1a2an=8n,抛物线f(n)=- n2+ n的对称轴为n=-·(12)1 + 2 + + ( - 1)= 2-1 22+7 21 27 2=3.5,7 22 ×(-1 2)又nN N*,所以当n=3 或 4 时,a1a2an取最大值为=26=64.2-1 2× 32+7 × 3 28 8 解析 由题意知.3415(12)2= 9 × 15, 2 =1 +1 ,?解得xz=y2=y2,x+z=y,122 9 × 1516 1532 15从而-2=-2= + =2+ 2 =( + )2- 2=( + )2 (32 15)2216 15234 15.9 9.(1)证明 由an+1=3an-2n可得an+1-2n+1=3an-2n-2n+1=3an-3·2n=3(an-2n).又a2=3a1-2,则S2=a1+a2=4a1-2,得a2+S2=7a1-4=31,得a1=5,则a1-21=30.故an-2n为等比数列.(2)解 由(1)可知an-2n=3n-1(a1-2)=3n,an=2n+3n,Sn=2n+1+2(1 - 2) 1 - 2+3(1 - 3) 1 - 33 + 1 27 2.1010.解 (1)设an的公差为d,由题意得 3a1+3d=-15.由a1=-7 得d=2.所以an的通项公式为an=2n-9.(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.所以当n=4 时,Sn取得最小值,最小值为-16.1111.解 设等比数列an的公比为q,由a2=2,a5=16,得q=2,a1=1.7(1)a1+a2+a2n=t(+),21+ 2 22=t,即=t对nN N*都成立,t=3.1(1 - 2)1 - ·21(1 - 2)1 - 21 - 22 1 - 2·1 - 221 - 4(2)=1,1 11 4=1 8,1 5=1 16且,b1,b2,bk,成等差数列,1 11 4,1 5公差d=-,且=(k+1)d,1 51 41 161 41 1即-1=(k+1),解得k=13.1 8×(-1 16)二、思维提升训练1212.A 解析 设数列的首项为第 1 组,接下来两项为第 2 组,再接下来三项为第 3 组,以此类推,设第n组的项数为n,则前n组的项数和为第n组的和为=2n-1,前n组总共的和为(1 + ) 2.1 - 2 1 - 2-n=2n+1-2-n.2(1 - 2) 1 - 2由题意,N>100,令>100,得n14 且nN N* *,即N出现在第 13 组之后.若要使最小整数(1 + ) 2N满足:N>100 且前N项和为 2 的整数幂,则SN-应与-2-n互为相反数,即 2k-(1 + )21=2+n(kN N* *,n14),所以k=log2(n+3),解得n=29,k=5.所以N=+5=440,故选 A.29 × (1 + 29) 21313.B 解析 因为an=1×2n-1=2n-1,所以anan+1=2n-1·2n=22n-1=2×4n-1,所以1 + 1=1 2×(14) - 1.所以是等比数列.1 + 1故Tn=+1 12+1 231 + 1=1 2×1 ×(1 -14)1 -1 4=2 3(1 -14).81414 解析 易得Sn=1-,.5972(-1 3)89,1)(1,4 3因为y=Sn-上单调递增(y0),1 在8 9,4 3所以yA,B,因此B-A的最小值为-17 72,7 127 12(-17 72)=59 72.1515.4 解析 要满足数列中的条件,涉及最多的项的数列可以为 2,1,-1,0,0,0,所以最多由 4 个 不同的数组成.1616.解 (1)设数列an的公比为q.由=9a2a6得=9,所以q2=2323241 9.由条件可知q>0,故q=1 3.由 2a1+3a2=1 得 2a1+3a1q=1,所以a1=1 3.故数列an的通项公式为an=13.(2)bn=log3a1+log3a2+log3an=-(1+2+n)=-( + 1) 2.故=-=-2,1 2 ( + 1)(1 -1 + 1)+1 1+1 21 =-2+=-(1 -1 2)?+(12-1 3)?(1 -1 + 1)2 + 1.所以数列的前n项和为-1 2 + 1.1717.解 (1)设等差数列an的公差为d,则d>0,an=dn+(a1-d),Sn= dn2+n.1 2(1-1 2)9对任意nN N*,恒有an·Sn=2n3-n2,则dn+(a1-d)=2n3-n2,·122+(1-1 2)即dn+(a1-d)=2n2-n.·12 +(1-1 2)1 22= 2,1 2(a1- ) + (1-1 2)= - 1,(1- )(1-1 2)= 0.?d>0,an=2n-1.1= 1, = 2,?(2)数列anbn的前n项和为An=5+(2n-3)·2n-1(nN N*),当n=1 时,a1b1=A1=4,b1=4,当n2 时,anbn=An-An-1=5+(2n-3)2n-1-5+(2n-5)2n-2=(2n-1)2n-2.bn=2n-2.假设存在数列bn满足题设,且数列bn的通项公式bn=4, = 1, 2 - 2, 2,?T1=4,当n2 时,Tn=4+=2n-1+3,当n=1 时也适合,1 - 2 - 1 1 - 2数列bn的前n项和为Tn=2n-1+3.
