概率论与数理统计与其应用课后标准答案.docx.pdf

解：（第 1章 随机变量及其概率1，写出下列试验的样本空间：（1）连续投掷一颗骰子直至 6个结果中有一个结果出现两次，记录投掷的次数。（2）连续投掷一颗骰子直至 6个结果中有一个结果接连出现两次，记录投掷的次数。（3）连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况。（4）抛一枚硬币，若出现 H则再抛一次；若出现 T，则再抛一颗骰子，观察出现的各种结果。）S 2,3,4,5,6,7；（2）S 2,3,4,；（3）S H,TH,TTH,TTTH,；（4）S HH,HT,T1,T2,T3,T 4,T 5,T 6。2，设A,B是两个事件，已知P(A)0.25,P(B)0.5,P(AB)0.125,，求_P(A B),P(AB),P(AB),P(AB)(AB)。解：P(AB)P(A)P(B)P(AB)0.625，P(AB)P(S A)B P(B)P(AB)0.375，_P(AB)1 P(AB)0.875，_P(AB)(AB)P(AB)(SAB)P(AB)P(AB)(AB)0.625P(AB)3，在 100，101，999 这 900 个 3位数中，任取一个3 位数，求不包含数字 1个概率。0.51解：在 100，101，999 这 900 个 3位数中不包含数字1 的 3位数的个数为 8 99648，所以所求得概率为6489000.724，在仅由数字 0，1，2，3，4，5 组成且每个数字之多出现一次的全体三位数中，任取一个三位数。（1）求该数是奇数的概率；（2）求该数大于 330 的概率。解：仅由数字 0，1，2，3，4，5 组成且每个数字之多出现一次的全体三位数的个数有554100个。（1）该数是奇数的可能个数为44348个，所以出现奇数的概率为481000.48（2）该数大于 330 的可能个数为2 4545448，所以该数大于330 的概率为481000.485，袋中有 5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4 只，求下列事件的概率。（1）4 只中恰有 2只白球，1只红球，1只黑球。（2）4 只中至少有 2只红球。（3）4 只中没有白球。解:（1）所求概率为C2C1C548；31C12433（2）所求概率为C2C248C43C81C44C12435720167；495 165（3）所求概率为C74C124495165。6，一公司向M个销售点分发n(nM)张提货单，设每张提货单分发给每一销售点是等可能的，每一销售点得到的提货单不限，求其中某一特定的销售点得到k(kn)张提货单的概率。解：根据题意，n(nM)张提货单分发给M个销售点的总的可能分法有 Mn种，某一特定的销售点得到k(kn)张提货单的可能分法有Cnk(M 1)n k种，所以某一特定的销售点得到Cnk(M1)n kMnk(k n)张提货单的概率为。7，将 3只球（13 号）随机地放入 3只盒子（13 号）中，一只盒子装一只球。若一只球装入与球同号的盒子，称为一个配对。（1）求 3只球至少有 1只配对的概率。（2）求没有配对的概率。解：根据题意，将 3 只球随机地放入 3 只盒子的总的放法有 3！=6 种：123，132，213，231，312，321；没有 1只配对的放法有 2种：312，231。至少有 1只配对的放法当然就有21（2）没有配对的概率为；636-2=4 种。所以（1）至少有 1只配对的概率为11 2。3 38，（1）设P(A)0.5,P(B)0.3,P(AB)0.1,，求 P(A|B),P(B|A),P(A|A B),B),P(A|AB).P(AB|A（2）袋中有 6 只白球，5 只红球，每次在袋中任取 1 只球，若取到白球，放回，并放入 1 只白球；若取到红球不放回也不放入另外的球。连续取球 4次，求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率。解：（1）由题意可得P(AP(A|B)B)P(A)P(B)P(AB)0.7，所以0.11，0.5 5P(AB)P(B)B)0.10.313，P(B|A)P(AB)P(A)5，7P(A|AP A(AB)P(A)P(AB)P(A B)P AB(A B)P(AB)P(AB)P(AB)P(AB|A B)1，P(AB)P(AB)71。P(A|AB)P A(AB)P(AB)（2）设Ai(i 1,2,3,4)表示“第i次取到白球”这一事件，而取到红球可以用它的补来表示。那么第一、二次取到白球且第三、四次取到红球可以表示为 A1 A2 A3 A4，它的概率为（根据乘法公式）P(A1 A2 A3 A4)P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1 A2)P(A4|A1 A2 A3)6754840205920.0408。111213129，一只盒子装有2 只白球，2只红球，在盒中取球两次，每次任取一只，做不放回抽样，已知得到的两只球中至少有一只是红球，求另一只也是红球的概率。解：设“得到的两只球中至少有一只是红球”记为事件A，“另一只也是红球”记为事件B。则事件 A的概率为P(A)22243214356（先红后白，先白后红，先红后红）所求概率为P(B|A)P(AB)24131P(A)56510，一医生根据以往的资料得到下面的讯息，他的病人中有5%的人以为自己患癌症，且确实患癌症；有 45%的人以为自己患癌症，但实际上未患癌症；有 10%的人以为自己未患癌症，但确实患了癌症；最后 40%的人以为自己未患癌症，且确实未患癌症。以A表示事件“一病人以为自己患癌症”，以 B表示事件“病人确实患了癌症”，求下列概率。（1）P(A),P(B)；（2）P(B|A)；（3）P(B|A)；（4）P(A|B)；（5）P(A|B)。解：（1）根据题意可得P(A)P(B)P(AB)P(AB)5%45%50%；P(BA)P(BA)5%10%15%P(AB)P(B|A)；5%（2）根据条件概率公式：P(A)50%0.1；（3）P(B|A)P(BA)P(A)110%0.2；50%（4）P(A|B)P(AB)P(B)9；45%115%175%15%1。3（5）P(A|B)P(AB)P(B)这11 个字母，从中任意连11，在11 张卡片上分别写上engineering抽 6张，求依次排列结果为ginger的概率。解：根据题意，这 11个字母中共有 2个 g，2 个 i，3 个 n，3 个 e，1个 r。从中任意连抽 6张，由独立性，第一次必须从这 11张中抽出 2个 g 中的任意一张来，概率为 2/11；第二次必须从剩余的 10张中抽出 2个 i 中的任意一张来，概率为的概率。最后要求的概率为2 2 31316362/10；类似地，可以得到 6 次抽取111 10 9873326409240；或者C21C21 C31C11C31C11A11619240。12，据统计，对于某一种疾病的两种症状：症状A、症状 B，有 20%的人只有症状 A，有 30%的人只有症状 B，有 10%的人两种症状都有，其他的人两种症状都没有。在患这种病的人群中随机地选一人，求（1）该人两种症状都没有的概率；（2）该人至少有一种症状的概率；（3）已知该人有症状 B，求该人有两种症状的概率。解：（1）根据题意，有 40%的人两种症状都没有，所以该人两种症状都没有的概率为 120%30%10%40%；（2）至少有一种症状的概率为1 40%60%；（3）已知该人有症状 B，表明该人属于由只有症状 B 的 30%人群或者两种症状都有的 10%的人群，总的概率为30%+10%=40%，所以在已知该人有症状 B的条件下该人有两种症状的概率为1。10%30%10%413，一在线计算机系统，有4 条输入通讯线，其性质如下表，求一随机选择的进入讯号无误差地被接受的概率。通讯线1234通讯量的份额无误差的讯息的份额解：设“讯号通过通讯线i进入计算机系统”记为事件Ai(i 1,2,3,4)，B。则根据全概率公式有“进入讯号被无误差地接受”记为事件4P(B)P(Ai)P(B|Ai)0.4 0.9998 0.3 0.9999 0.1 0.9997 0.2 0.9996i 1=14，一种用来检验 50岁以上的人是否患有关节炎的检验法，对于确实患关节炎的病人有 85%的给出了正确的结果；而对于已知未患关节炎的人有 4%会认为他患关节炎。已知人群中有 10%的人患有关节炎，问一名被检验者经检验，认为他没有关节炎，而他却有关节炎的概率。解：设“一名被检验者经检验认为患有关节炎”记为事件A，“一名被检验者确实患有关节炎”记为事件B。根据全概率公式有P(A)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)10%85%90%4%12.1%，所以，根据条件概率得到所要求的概率为P(B|A)P(BA)P(A)P(B)P(A|B)1 P(A)10%(1 85%)1 12.1%17.06%即一名被检验者经检验认为没有关节炎而实际却有关节炎的概率为%.15，计算机中心有三台打字机A,B,C，程序交与各打字机打字的概率依次为,，打字机发生故障的概率依次为,。已知一程序因打字机发生故障而被破坏了，求该程序是在A,B,C 上打字的概率分别为多少记为事件M，“程序在 A,B,C解：设“程序因打字机发生故障而被破坏”三台打字机上打字”分别记为事件N1,N2,N3。则根据全概率公式有3P(M)P(Ni)P(M|Ni)0.6 0.01 0.3 0.05 0.1 0.04 0.025，i 1根据 Bayes 公式，该程序是在 A,B,C 上打字的概率分别为P(NP(NP(N1|M)2|M)3|M)P(N1)P(M|N1)0.60.010.0250.30.050.24，P(M)P(N2)P(M|N2)P(M)P(N3)P(M|N3)0.60，0.0250.1 0.040.0250.16。P(M)16，在通讯网络中装有密码钥匙，设全部收到的讯息中有95%是可信的。又设全部不可信的讯息中只有%是使用密码钥匙传送的，而全部可信讯息是使用密码钥匙传送的。求由密码钥匙传送的一讯息是可信讯息的概率。解：设“一讯息是由密码钥匙传送的”记为事件A，“一讯息是可信的”记为事件 B。根据 Bayes 公式，所要求的概率为P(B|A)P(AB)P(A)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)95%195%1 5%0.1%99.9947%17，将一枚硬币抛两次，以A,B,C 分别记事件“第一次得H”，“第二次得 H”，“两次得同一面”。试验证 A 和 B，B 和 C，C 和 A 分别相互独立（两两独立），但 A,B,C不是相互独立。解：根据题意，求出以下概率为P(A)P(B)1，2P(AB)P(C)11111；22222P(CA)1211，24P(BC)12，P(ABC)1241111。224所以有P(AB)P(A)P(B)，P(AC)P(A)P(C)，P(BC)P(B)P(C)。即表明 A 和 B，B 和 C，C 和 A 两两独立。但是P(ABC)P(A)P(B)P(C)所以 A,B,C不是相互独立。18，设 A,B,C三个运动员自离球门 25码处踢进球的概率依次为,，设 A,B,C 各在离球门 25 码处踢一球，设各人进球与否相互独立，求（1）恰有一人进球的概率；（2）恰有二人进球的概率；（3）至少有一人进球的概率。解：设“A,B,C进球”分别记为事件Ni(i1,2,3)。（1）设恰有一人进球的概率为p1，则p1P N1N2 N3 P N1 N2 N3 P N1 N2 N3P(N1)P(N2)P(N3)P(N1)P(N2)P(N3)P(N1)P(N2)P(N3)（由独立性）0.5 0.3 0.40.5 0.7 0.40.5 0.30.60.29（2）设恰有二人进球的概率为p2，则p2P N1 N2 N3 P N1 N2 N3 P N1 N2 N3P(N1)P(N2)P(N3)P(N1)P(N2)P(N3)P(N1)P(N2)P(N3)（由独立性）0.5 0.7 0.40.5 0.7 0.60.5 0.30.60.44（3）设至少有一人进球的概率为p3，则p31P N1 N2 N3 1 P(N1)P(N2)P(N3)10.5 0.3 0.40.94。19，有一危重病人，仅当在10 分钟之内能有一供血者供给足量的+血才能得救。设化验一位供血者的血型需要 2分钟，将所需的 A-RH血全部输入病人体内需要 2 分钟，医院只有一套验血型的设备，且供血者仅有 40%的人具有该型血，各人具有什么血型相互独立。求病人能得救的概率。解：根据题意，医院最多可以验血型 4 次，也就是说最迟可以第4 个人才验出是 A-RH+型血。问题转化为最迟第 4个人才验出是 A-RH+型血的概率是多少因为第一次就检验出该型血的概率为；第二次才检验出该型血的概率为；第三次才检验出该型血的概率为；第四次才检验出该型血的概率为；所以病人得救的概率为+=20，一元件（或系统）能正常工作的概率称为元件（或系统）的可靠2性。如图设有 5个独立工作的元件1，2，3，4，5 按先串联再并联的p，试求系统的可靠性。方式连接，设元件的可靠性均为解：设“元件 i能够正常工作”记为事件Ai(i 1,2,3,4,5)。那么系统的可靠性为13P(A1 A2)(A3)(A4 A5)P(A1 A2)P(A3)P(A4 A5)4第 20题5P(A1 A2 A3)P(A1 A2 A4 A5)P(A3 A4 A5)P(A1 A2 A3 A4 A5)P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)P(A5)P(A1)P(A2)P(A3)P(A1)P(A2)P(A4)P(A5)P(A3)P(A4)P(A5)P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)P(A5)p2pp 2p2p2p3p4p4p3p52 p3p521，用一种检验法检测产品中是否含有某种杂质的效果如下。若真含有杂质检验结果为含有的概率为；若真不含有杂质检验结果为不含有的概率为，据以往的资料知一产品真含有杂质或真不含有杂质的概率分别为，。今独立地对一产品进行了3 次检验，结果是 2 次检验认为含有杂质，而一次检验认为不含有杂质，求此产品真含有杂质的概率。（注：本题较难，灵活应用全概率公式和Bayes 公式）解：设“一产品真含有杂质”记为事件 A，“对一产品进行3 次检验，结果是 2次检验认为含有杂质，而 1次检验认为不含有杂质”记为事件 B。则要求的概率为P(A|B)，根据 Bayes 公式可得P(A|B)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)又设“产品被检出含有杂质”记为事件C，根据题意有P(A)0.4，而且 P(C|A)P(B|A)C320.8，P(C|A)0.9，所以0.8220.384；P(B|A)C(1 0.8)3(1 0.9)20.9 0.027故，P(A|B)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)0.40.3840.4 0.3840.6 0.0270.15360.16980.9046（第 1章习题解答完毕）第 2 章随机变量及其分布1，设在某一人群中有40%的人血型是 A型，现在在人群中随机地选人来验血，直至发现血型是A 型的人为止，以 Y记进行验血的次数，求 Y 的分布律。解：显然，Y 是一个离散型的随机变量，此有Y 取k表明第k个人是 A型血而前k1个人都不是 A 型血，因PYk 0.4 (1 0.4)k 10.4 0.6k 1，（k1,2,3,）上式就是随机变量Y 的分布律（这是一个几何分布）。2，水自 A 处流至 B 处有 3个阀门 1，2，3，阀门联接方式如图所示。当信号发出时各阀门以的概率打开，以 X 表示当信号发出时水自A 流至 B 的通路条数，求X 的分布律。设各阀门的工作相互独立。解：X只 能 取 值0，1，2。设 以Ai(i1,2,3)记 第i个 阀 门 没 有 打 开 这 一 事 件。则P X0P A1(A2A3)P(A1 A2)(A1 A3)P A1 A2 P A1 A3 P A1 A2 A3 P(A1)P(A2)P(A1)P(A3)P(A1)P(A2)P(A3)(10.8)2类似有(1 0.8)2(1 0.8)30.072，0.83 P X2 P A1(A2 A3)P(A1 A2 A3)00.512，P XX11 P XP X120.4162,综上所述，可得分布律为01P XkA2B3,据信有 20%的美国人没有任何健康保险，现任意抽查15 个美3国人，以 X表示 15 个人中无任何健康保险的人数（设各人是否有健康保险相互独立）。问 X服从什么分布写出分布律。并求下列情况下无任何健康保险的概率：（1）恰有 3人；（2）至少有 2 人；（3）不少于 1 人且不多于3 人；（4）多于 5人。解：根据题意，随机变量X 服从二项分布B(15,，分布律为P(Xk)C15k0.2k0.815 k,k3)C1530.23 0.8120.2501,2)1P(XX3)P(X1)P(X1)P(X5)P(X1)P(X0,1,2,15。（1）P(X（2）P(X（3）P(1（4）P(X0)0.8329；2)P(X4)P(X0)0.06113)0.6129；2)5)1P(X3)P(XP(X4，设有一由n个元件组成的系统，记为k/n G，这一系统的运行方式是当且仅当n个元件中至少有k(0kn)个元件正常工作时，系统正常工作。现有一3/5 G系统，它由相互独立的元件组成，设每个元件的可靠性均为，求这一系统的可靠性。解：对于 3/5 G 系统，当至少有 3 个元件正常工作时，系统正常工作。而系统中正常工作的元件个数X服从二项分布 B(5,，所以系统正常工作的概率为55P(X k)k 3C5k0.9k0.15 kk 30.991445，某生产线生产玻璃制品，生产过程中玻璃制品常出现气泡，以至产品成为次品，设次品率为，现取 8000件产品，用泊松近似，求其中次品数小于解：根据题意，次品数7 的概率。（设各产品是否为次品相互独立）X 服从二项分布 B(8000,，所以6P(X 7)P(X6)k 0C8000k0.001k0.9998000kk88 e66k0(80000.001)ke 8000 0.001k!k 0k!0.3134（查表得）。6，（1）设一天内到达某港口城市的油船的只数X(10)，求P X15（2）已知随机变量X()，且有 P X 0P X 15101e0.5，求 P X 2。0.9513 0.0487；0.5，得到ln 2。所以解：（1）P X15 1（2）根据 P X01P XP X21P X0P X110.5e(1ln 2)/20.1534。7，一电话公司有 5名讯息员，各人在t分钟内收到讯息的次数X(2t)（设各人收到讯息与否相互独（2）求在给定的一分钟内 5 个讯息员恰立）。（1）求在一给定的一分钟内第一个讯息员未收到讯息的概率。有 4人未收到讯息的概率。（3）写出在一给定的一分钟内，所有解：在给定的一分钟内，任意一个讯息员收到讯息的次数5个讯息员收到相同次数的讯息的概率。X (2)。（1）P X 0e20.1353；（2）设在给定的一分钟内5 个讯息员中没有收到讯息的讯息员人数用Y 表示，则 Y B(5,，所以P Y4C5 0.1353(10.1353)5440.00145。（3）每个人收到的讯息次数相同的概率为2 ek 0k2k 032 e10k!5kk!8，一教授当下课铃打响时，他还不结束讲解。他常结束他的讲解在铃响后的一分钟以内，以X 表示铃响至结束讲解的时间。设X 的概率密度为f(x)kx20 x 1其他，（1）确定k；（2）求P X1；（3）求P1X12；（4）求 P X1230。34解：（1）根据1f(x)dx1/3kx2 dx3k，得到 k3；（2）P X03133x2 dx01/2131273；（3）P1X12133x2 dx1/44123147；（4）P X233x2 dx 12/3231927。6429，设随机变量 X的概率密度为f(x)0.003x00 x10他2，求 t的方程t2Xt 5 X 4 0其有实根的概率。解：方程 t22Xt5 X40有实根表明4 X24(5X4)0，即 X25 X40，从而要求 X 4或者 X1。因为10.001 P X10P X10.003x2dx，40.003x2dx 0.93604所以方程有实根的概率为+=.10，设产品的寿命X（以周计）服从瑞利分布，其概率密度为xex2/200 x0f(x)100其他0（1）求寿命不到一周的概率；（2）求寿命超过一年的概率；（3）已知它的寿命超过20 周，求寿命超过26 周的条件概率。1解：（1）P X1xe1/2000.00498；0100ex2/200dx1（2）P X52xex2/200dx e2704/2000.000001；52 100（3）P X26 X20P X100 xe x2/200dx2626276/200eP X202x ex/200dx2010011，设实验室的温度X（以C计）为随机变量，其概率密度为12(4 1x 2f(x)9x)其他0（1）某种化学反应在温度 X 1 时才能发生，求在实验室中这种化学反应发生的概率。（2）在 10个不同的实验室中，各实验室中这种化学反应是否会发生时相互独立的，以验室中有这种化学反应的实验室的个数，求Y 的分布律。（3）求 P Y2，P X 2。解：（1）P X 12 19(4 x2)dx5；127（2）根据题意Y B(10,5)，所以其分布律为270.25158。Y 表示 10个实k10 kP(Yk)C10k252782227,k 0,1,2,10（3）P(Y2)C10252722270.2998，P(Y2)1 P(Y 0)P(Y1)0.5778。12，（1）设随机变量 Y 的概率密度为0.2f(y)0.2 Cy0F(y)，并求 P 0 Y1y00y其他0.5，PY0.5|Y0.1。1试确定常数 C，求分布函数（2）设随机变量X 的概率密度为1/8 0 x2f(x)x/8 2 x 40其他1|X求分布函数 F(x)，并求 P1 x03，P X13。解：（1）根据1f(y)dy0.2dy1(0.2 Cy)dy00.4C21，得到 C 1.2。y01yyy0.2dy0F(y)f(y)dy1y00.2dy10(0.2 1.2 y)dy010y10.2dy1(0.2 1.2 y)dy0y100.2(y 1)0.6 y21y11y 00.2y 0.2 0 y 1y1P 0 Y0.5P Y0.5P Y0F(0.5)F(0)0.450.20.25；P Y0.5|Y0.1PY0.51PY0.50.1x01F(0.5)10.450.2260.7106P Y0.11PY1F(0.1)1xx210（2）F(x)f(x)dx1808 dx02x020dxdxxdx28x02x24xx /16x/810 x 22 x4x14x8dx4082x47/16；P1x 3P XF(3)F(1)39/16 1/8P1X1|XP X33F(3)F(1)F(3)7/9。13，在集合 A=1,2,3,.,n 中取数两次，每次任取一数，作不放回抽样，以示第二次取到的数，求X 和 Y 的联合分布律。并用表格形式写出当n(n-1)，因此X 表示第一次取到的数，以Y 表n=3 时 X 和 Y 的联合分布律。解：根据题意，取两次且不放回抽样的总可能数为P Xi,Yj1n(n1)，（ij，且1 i,jn）当 n取 3时，P Xi,Y j 161,（ij，且1i,j 3）,表格形式为XY1232301/61/61/601/61/61/6014,设一加油站有两套用来加油的设备，设备A，B 均有两个加油管。随机取一时刻，A 是加油站的工作人员操作的，设备B 是有顾客自己操作的。A，B 正在使用的软管根数分别记为0X，Y，它们的联合分布律为XY01212（1）求 P X1,Y1，P X1,Y1；（2）求至少有一根软管在使用的概率；（3）求P XY，P XYP X1,Y2。1=，解：（1）由表直接可得P X1,Y1=+=（2）至少有一根软管在使用的概率为P XY1 1P X0,Y0 10.10.9（3）P XYP XY0P XY1 P XY2=+=P XY2P X0,Y2P X1,Y1P X2,Y0 0.2815,设随机变量（X，Y）的联合概率密度为Ce(2 x 4y)，x0,yf(x,y)，他0其0试确定常数 C，并求P X2，P XY，P XY1。解：根据f(x,y)dxdy 1，可得x 0,y 01f(x,y)dxdy dxCe(2 x 4 y)dyCe2 xdxe4 y dyC，x 0,y000008所以 C8。P X2f(x,y)dxdy dx8e(2 x4 y)dy42e2 xdx4e4 y dye；x 22020 xxP XYf(x,y)dxdy dx8e(2 x 4 y)dy2e2 x dx 4e4 ydy2e2 x(1 e4x)dxxy0000011x11xP XY1f(x,y)dxdydx8e(2 x 4 y)dy2e2 xdx4e4 y dy (1e2)2。x y 10000yx,y x/2,x 1G16，设随机变量（X，Y）在由曲线22所围成的区域均匀分布。（1）求（X，Y）的概率密度；（2）求边缘概率密度fX(x),fY(y)。解：（1）根据题意，（X，Y）的概率密度f(x,y)必定是一常数，故由1x21f(x,y)dxdyf(x,y)dy1Gdxf(x,y)，得到f(x,y)6,(x,y)。G0 x2/260，其他23x2（2）fX(x)f(x,y)dy6dy 3x2，0 x/22x 1；0,2 y其他6dx，0y1y0.56(2y6(10，y)，0y)，0.5其yy0.5fY(y)f(x,y)dx6dx，0.5 yy110，其他他18，设X,Y是两个随机变量，它们的联合概率密度为f(x,y)x3ex(1 y)，x 0,y 02，0，其他（1）求(X,Y)关于X的边缘概率密度 fX(x)；，写出当（2）（3）求条件概率密度fY|X(y|x)1|Xx0.5时的条件概率密度；求条件概率 P Y0.5。解：（1）fX(x)f(x,y)dyx3x(1 y)x2xdy2 e,x0。02e其他0,（2）当x0时，fY|X(y|x)f(x,y)fX(x)xexy,y00,。其他0.5特别地，当 x时fY|X(y|x 0.5)0.5e0.5 y,y0其他0,。（3）PY1|X 0.5fY|X(y|x 0.5)dy10.5e0.5 y dy1e 0.5。19，（1）在第 14题中求在X0的条件下Y的条件分布律；在Y 1的条件下X的条件分布律。（2）在 16题中求条件概率密度fY|X(y|x)fX|Y(x|y)fX|Y(x|0.5)。，解：（1）根据公式P Y i|X 0P Y i,XP X00，得到在X0的条件下 Y的条件分布律为Y05/1211/321/4P Y|X 0类似地，在 Y 1的条件下 X的条件分布律为XP X|Y f(x,y)04/17110/1723/171（2）因为6,(x,y)G。0，x2其他fX(x)26dy 3x，0 x /22x1；他6(2yy)，0y0.5其 fY(y)0,y)，6(1，00.5y1其他2。所以，当当0 x 1时，fY|X(y|x)f(x,y)fX(x)2,x2/2 y xx2其他0,；0y0.5时，f(x,y)fX|Y(x|y)12 yy0,11,y x2 y其他x1；fY(y)当 0.5y 1时，f(x,y),y fX|Y(x|y)fY(y)y0,其他；当 y0.5时，1 fX|Y(x|y)1 0.50,0.5x1。其他220，设随机变量（X，Y）在由曲线y x,y（1）（2）写出（X，Y）的概率密度；求边缘概率密度x所围成的区域 G均匀分布。fX(x),fY(y)；（3）求条件概率密度fY|X(y|x)，并写出当x0.5时的条件概率密度。解：（1）根据题意，（X，Y）的概率密度1xf(x,y)必定是一常数，故由，得到1Gf(x,y)dxdy0dxx2f(x,y)dyxx3dy0,21f(x,y)33,(x,y)G他f(x,y)。0，其（2）fX(x)f(x,y)dy3(xx2)，0 x1；其 他yy y2)，0y23dx，0 y13(fY(y)f(x,y)dx0，其 他0，其时，（3）当0 x 1fY|X(y|x)f(x,y)x1x2 ,x2yx。fX(x)0,其他特别地，当 x0.5时的条件概率密度为4fY|X(y|0.5),1/4 y2/22 2 1。0,其他21，设(X,Y)是二维随机变量，X的概率密度为2x，02fX(x)6x0,其他且当 Xx(0 x 2)时Y的条件概率密度为1xy,0y1f(y|x)，Y|X1 x/20,其他（1）求(X,Y)联合概率密度；（2）求(X,Y)关于Y的边缘概率密度；（3）求在 Yy的条件下X的条件概率密度fX|Y(x|y)。y 1。他1xy0 x 2,0 y 1解：（1）f(x,y)fX(x)fY|X(y|x)3；他0其（2）2 f1xydx2(1y)0y1Y(y)f(x,y)dx033；0其他时，1 xy（3）当0 y1 fX|Y(x|y)f(x,y)2(1y),0 x 2。fY(y)0,其他22，（1）设一离散型随机变量的分布律为Y-101pk122又设 Y1,Y2是两个相互独立的随机变量，且Y1,Y2都与Y有相同的分布律。求Y1,Y2的联合分布律。并求P Y1 Y2。（2）问在 14题中X,Y是否相互独立解：（1）由相互独立性，可得Y1,Y2的联合分布律为P Y1i,Y2j P Y1i PY2j，i,j 1,0,1结果写成表格为Y1Y2-101-12 /4(1)/22/4PY1 Y2 PY1。0(1)/2(1)2(1)/2（2）14题中，求出边缘分布律为12 /4(1)/22/4XYi012P X0121P Yj 很显然，P X 0,Y0P X0 PY0，所以 X,Y不是相互独立。21 P Y23，设X,Y是两个相互独立的随机变量，X U(0,1)Y0，的概率密度为fY(y)8 y0 y 1/2其他试写出 X,Y的联合概率密度，并求 P X解：根据题意，Y。X的概率密度为fX(x)X,Y的联合概率密度为10 x 10其他所以根据独立定，f(x,y)fX(x)fY(y)1/2 18 y00 x 1,0 y 1/2其他23。P X Yxyf(x,y)dxdy dx 8 ydx0y24，设随机变量X具有分布律Xpk-2-11/501/611/531/1511/30求YX21的分布律。Ypk解：根据定义立刻得到分布律为11/527/3051/51011/3025，设随机变量X N(0,1)，求 UX的概率密度。解：设 X,U的概率密度分别为时，fX(x),fU(u)，U的分布函数为 FU(u)。则当 uu当00 FU(u)PUFU(u)PUuuP XP Xu0fU(u)u P u X，0；u 2(u)1时，2fU(u)FU(u)2 fX(u)2eu /2。所以，2eu2/2uu0。0 fU(u)026，（1）设随机变量X的概率密度为f(x)exx00其他求 YX的概率密度。（2）设随机变量X U(1,1)，求 Y(X 1)/2的概率密度。（3）设随机变量X N(0,1)，求Y解：设 X,Y的概率密度分别为X2的概率密度。fX(x),fY(y)，分布函数分别为FX(x),FY(y)。则P Y y P XPX（1）当y0时，FY(y)时，y 0，fY(y)P X0；当 y0 FY(y)PY yyy2 FX(y2)，fY(y)FY(y)2yfX(y2)2 yey2。所以，fY(y)2ye y2yy00。0（2）此时 fX(x)1/21 x10y其他P(X。因为 FY(y)PY1)/2yP X2y1FX(2y 1)，1 1故，fY(y)FY(y)2 fX(2 y 1)1,1 2 y，所以，10 fY(y)y10其他。（3）当y0时，FY(y)2yy Xy(y)(y)2(y)1，故，fY(y)FY(y)2 fX(y)12y12 ye y/2。所以，fY(y)12 ye y/2y 0其他。027，设一圆的半径X 是随机变量，其概率密度为f(x)(3x 1)/80 x20其他求圆面积 A的概率密度。解：圆面积AX2，设其概率密度和分布函数分别为g(y),G(y)。则G(y)P X2y P Xy/FX(y/)，故12 y0y 4g(y)G(y)1yf(y/)3 y83 y16 y,0y/223 y所以，g(y)160y。其他28，设随机变量X,Y 相互独立，且都服从正态分布N(0,2)，验证 ZX2Y2的概率密度为fZ(z)z2ez2/(22)0z 0。其他解：因为随机变量X,Y 相互独立，所以它们的联合概率密度为f(x,y)12z2x2e22。2y2先求分布函数，当z0时，FZ(z)P ZP X2Y2zz22r22z1f(x,y)dxdy0d222xy z022 erdr21 e22，故，fZ(z)FZ(z)z2ez2/(22)z 0。其他029，设随机变量X U(1,1)，随机变量 Y 具有概率密度fY(y)1，y，(1 y2)的概率密度为设 X,Y相互独立，求解：因为ZXY的概率密度。1/21 x 1 fX(x)，所以ZXY0其他z 1fZ(z)fY(y)fX(zy)dyz 112dy1arctan(z1)arctan(z 1)22。2(1 y)30 随机变量 X和 Y 的概率密度分别为fX(x)ex0 x0，fY(y)yeyy 0其他其他00，X,Y 相互独立。求 Z解：根据卷积公式，得XY的概率密度。zfZ(z)fY(y)fX(z y)dy33 yez dy3z2ez，z 0。z02所以 ZX Y的概率密度为fY(y)20z2 ez 0其他。31，设随机变量 X,Y都在(0,1)上服从均匀分布，且X,Y 相互独立，求Z解：因为 X,Y都在(0,1)上服从均匀分布，所以XY的概率密度。fX(x)1 0 x1，1 00 x1 fY(y)0其他1其他根据卷积公式，得1dy,z 1zz12z,11z0z 1其他2。fZ(z)fY(y)fX(zy)dy1dy,0 z0z,0,0,其他32，设随机变量X,Y 相互独立，它们的联合概率密度为3e3x，x，f(x,y)20,0y其他20（1）求边缘概率密度fX(x),fY(y)。（2）求 ZmaxX,Y的分布函数。（3）求概率 P1/2Z 1。23 x解：（1）3x f，x 0X(x)f(x,y)dy3e/2dy 3e；00,其他3e3x/2dx，0y201/2，0y 2fY(y)f(x,y)dx。0，其他0，其他（2）Zmax X,Y的分布函数为FZ(z)P ZzPmax X,YzP Xz,YzP Xz PY z FX(z)FY因为0y0 F0,x0y/2，X(x)；FY(y)0y21e3 x,x01y20,z0所以，FZ(z)FX(z)FY(z)2z1 e3 z ,0z2。1 e3z,z2（3）P1/2ZFZ(1/2)13/21 FZ(1)1e31e。42433，（1）一条绳子长为2l，将它随机地分为两段，以X表示短的一段的长度，写出X的概率密度。（2）两条绳子长度均为2l，将它们独立地各自分成两段，以Y表示四段绳子中最短的一段的长度，验证Y的概率密度为2(ly)/l2，0 ylfY(y)。0，其他解：（1）根据题意，随机变量X U(0,l)，所以概率密度为(z)1fX(x)l0 x l其他。0（2）设这两条绳子被分成两段以后较短的那一段分别记为X1,X2，则它们都在 (0,l)上服从均匀分布。Y min X1,X2，其分布函数为FY(y)1 1 FX1(y)1 FX2(y)1 (1y2),0 y l，l所以密度函数为2(ly)/l2，0y l。fY(y)FY(y)，0其他34，设随机变量X 和 Y 的联合分布律为（1）求 Umax(X,Y)的分布律。min(X,Y)X的分布律。（2）（3）求