《微积分(二)》同步练习册(最终使用版).pdf

.第五章不定积分5.3凑微分法和分部积分法（第 5.15.2 节的内容，请参见本练习册末尾、第五章“自测题”前的附加材料）1.求下列不定积分：(1)e2xdx；(2)1xln xdx；(3)dxx2 x；(4)x 1 x2dx；(5)x 1；(6)sin21 2x x2dx1 2xdx；1211 2x x2d(1 2x x2)(7)sin2xcos3xdx；(8)1sin4xdx；w csc2xdctgx(ctg2x 1)dctgx 13ctg3x ctgx c(9)x3；(10)sin xcosx1 x2dx23cos2xdx；x3x21 x2dx 11 x2xdx 2(1 x211 x2)d(1 x2)sin xcosx23cos2xdx 11223cos2xd cos2x161cos2xd(23cos2x)231323cos2x c(11)1dx；1x sinx cosx(12*)1 exdx；(13*)xx1 ln xdx；(14*)dxsin x 2cos x2.1dxe1 ln xdx2d(tgx 2)cos xtgx 22tgx 22exln xdxln x1 exln x c cxln xwtgx 2.3.求下列不定积分：(1)arcsinx ln(x 1)dx；(2)x2e2xdx；(3)exsin2xdx；(4)x1 x2ex2dx；(5)sinlnxdx；(6)1 x2dx1 x2dx sectdtgt secttgt tgtd sect secttgt tg2tsectdt secttgt sectdtgt sectdtsectdtgt 12secttgt lnsect tgt c12x 1 x2 ln 1 x2 x c4.求下列有理函数的不定积分：(1)1x(1 x7)dx；(2)x1 x x2dx.w(x 1112)231dx2717x7(1 x7)dx4(2 x)17(11131x7x71)dx7ln4(2 x)2217lnx71 x7c33arctg2 33 c5.求下列不定积分：(1)已知f(x)是ex2的一个原函数，求xf(x)dx；f(x)ex2,xf(x)dx xex2dx 12ex2d x2 12ex2 c(2)已知ex2是f(x)的一个原函数，求xf(x)dx.xf(x)dx xdf(x)xf(x)f(x)dx x(ex2)ex2 c 2x2ex2ex2 c.5.4换元积分法1.求下列不定积分：(1)1xdx；(2)11 2x 3dx；(3)1 x2x3dx；(4)1x 1 x2dx；法1）x 1tx sint原式 t3111t2(t2dt)原式 1 1t2dtsintcostcostdt法2）x tgtcsctdt lncsct ctgt c原式 sect ln11 x2tg3tsec2tdtxxccsc3tdt csctdctgt(5)x cosxdx；w(6)exdx；(7)x98dx1 x21012x98dx 1 x2101sin98tcos101tcostdt tg98tdtgt2(7)ln(11 xx)dxt 1 xx,x 1t21原式 ln(1t)d1ln(1t)1t21t21(t 1)(t 1)2dt11411(t 1)(t 1)22t 14t 1(t 1)211114(t 1)(t 1)2dt(t 14t 12(t 1)2)dt法2）原式 ln(1t)d1t2112ln(1t)d11t 1ln(1t)dt 1.2*.求不定积分2sin x cosxsin x cosxdx.4*.已知f(ln x)ln(1 x)，求f(x)dx.xt ln x,x et2sin x cosxsin x cosxdx sin x1sin x cosxdx sin x cosxd(sin x cosx)sin x4tt 1t 1sin x cosxdx(t2 2t 1)(t21)dt t2 2t 1t21dt3*.试求不定积分ln x1(ln x)2dxt ln x原式 t 1t2etdt 1tetdt 1tt2e dt1t1te dt etd1ttetdt et11tettte dt tcwf(ln x)f(t)ln(1 x)ln(1 et)xetf(t)ln(1 et)etf(x)dx ln(1 ex)exdx ln(1 ex)dex exln(1 ex)11 exdx exln(1 ex)x ln(1 ex)c.第六章定积分6.1 定积分的概念与性质1.利用定积分的几何意义，计算下列定积分：(1）20 x 1 dx；(2）11sin xdx；2(3）211 x2dx.2.不计算积分，比较下列各积分值的大小（指出明确的“指出明确的“,”关系，”关系，并给出必要的理由并给出必要的理由）.(1）120 x dx与10 xdx；(2）221x dx与21xdx；w(3）20sin xdx与20 xdx；(4）40tan xdx与40 xdx3.利用定积分的性质，估计I 20 xexdx的大小.考察xex在0,2上的最大值和最小值。14.设fx在区间0,1上连续，在0,1内可导，且满足f1 330fxdx，试证：在0,1内至少存在一点，使得f 0.130fxdx 13f()(0,13)f(1)f()在,1上考察f(x),连续、可导，满足罗尔定理的条件从而有：（13，1）（0，1），使得 f()0.5.试判断下列定积分是否有意义（即，被积函数在相应的积分区间上是否“可积”），并说明理由.2x2,x 11(1）(2）其中fx1xdx；0fxdx，2,x 116*.根据定积分的定义，试将极限lim1 2nsinsinsin表nnnnn达为定积分的形式（不需要计算出具体的数值结果）：lim11 2n1isinsinsin limsinsinxdx0nnnnnnnnw.6.2 微积分基本定理1求下列函数关于x的导数：3求函数fxuu 1u 2ex2du的极值点(1）x1/t12sin3tdt；(2）12xtetdt；(3）x2t2xe dt；(4*）x0 x tsintdtxxx0 x tsintdt x0sintdt 0tsintdtxx xxx0tsintdt x0sintdt0tsintdt 0sintdt2求下列极限：x(1）lim0tgudux0 x2；(2）lim1x0 xx01 2u1udu；(3）lim1x2x0 x40(1cos u)duw04计算下列定积分：(1）21 x31x2 x3dx；(3）2102cos x dx；2(2）1112sindx；xx(4）32min1,x2dx；.(5）221fxdx，其中fxxex,x 1；xex,x 1(6）b1x dx，其中b为常数5设fx在0,1上连续，且满足fx 2x 310fxdx，试求fxw111110fxdx 02xdx 0(30fxdx)dx 130fxdx10fxdx 12f(x)2x 326*试利用定积分的定义及计算原理求解数列极限limnSn，其中Sn12n1112n 22n nS111n2n 112n 212n n2inn11lim11n2in02 xdxn.6.3 定积分的换元积分法与分部积分法1.试利用定积分的换元法计算下列积分：(1）ln2x0e 1dx；(2）21x 1x 12dx；ex1 tx 1 t(3）11 x22x2dx；(4）2x20 x4 2x2 2dx；x sint原式 cost22costdt 2(csc2x 1)dt (ctgx x)14sin2t4442x0 x4 2x2 2dx 21102(x21)21d(x21)1arctg(x22121)02(arctg54)w(5）0sin x sin3xdx.sin x sin3xdx 00sin x cosxdx20sin x cosxdx sin x cosxdx22.利用函数的奇偶性计算下列定积分：(1）22x2sin xln x 1dx；(2）1x53x2 x 1 x2dx.21ln x 1 x2 lnx 1 x2,奇函数3.设fx是R上的连续函数，试证：对于任意常数a 0，均有a321a20 x f x dx 20 xfxdx.a32dx 1a22dx21a21a20 x f x20 x f x20tf(t)dt 20 xf(x)dx.4*.设fx是R上的连续函数，并满足xfx tet0dt x2，试求fx.u x t,t x uxfx tt0uxx0e dt xfuedu fueux0du exx0fueudu(xfueudu)(x2ex0)exf(x)(2x x2)exf(x)2x x25.利用定积分的分部积分法计算下列积分：(1）410 xsin xdx；(2）0ln1 x2dx；2(3）e1cosln xdx.w6*.试计算20fxdx，其中fx2sintxtdt.f x sin xx20fxdx xf(x)22xf xdx00 20 xf xdx 20sin xdx 17*.已知fx是R上的连续函数，试证：xftx tdt xt000fududt.xtx tdt xxftdt x0f00tftdtxxftdt xx00tftdt 0ftdt(x0t0fuduxdt)0ftdt xx0ftdt xxt0tftdt 00fududt cx 0 c 0即证.w.6.4 定积分的应用1.计算下列曲线围成的平面封闭图形的面积：(1）y x34x,y 0；s 220(4x x3)dx 8(2）y x,y x,y 2x.y xx1 0y xx21y 2xx1 0y x 1x241s 4(2x x)dx 1701(x x)dx 448w2.假设 曲线y 1 x20 x 1、x轴和y轴所围成的 区域被曲 线y ax2a 0分为面积相等的两部分，试确定常数a的值.2y 1 xx11a y ax21x12 a 11a10(1 x2 ax2)dx 1120(1 x2)dxa 33.求由下列曲线围成的平面图形绕指定轴旋转一周而成的立体体积：(1）xy41,y 0,x 14,x 1；绕x轴，vx111()2dx 44x.（2）y x3,y 0,x 2：（i）绕x轴vx20(x)3dx 4（ii）绕y轴v864y022(3y)2dy 54.已知某产品的固定成本为50，边际成本和边际收益函数分别为MCq q2 4q 6，MRq105 2q，其中q为产品的销售量（产量），试求最大利润.wC(q)q0(q24q 6)dq 50 13q32q26q 50R(q)q0(1052q)dq 105q q2L(q)R(q)C(q)L(q)R(q)C(q)99 2q q2q111,q2（舍）9L（11）-20 0，极大点最大值L（11）716.35.已知某产品在定价p 1时的市场需求量Q a，在任意价格p处的需求价格弹性为EbpQ，其中a 0,b 0均为常数，Q为产品在价格p处的市场需求量。试求该产品的市场需求函数Q QpEppQ(p)Q(p),EbpQ(p)Q(p)bp Q(p)bln p cQ(1)a Q(p)bln p a.w.6.5 反常积分初步1.判定下列无穷限积分的敛散性；若收敛,则求其值.(1)0q1 xdx（q为常数）；(2)0ekxdx（k为常数）；q 1发散q 10(1 x)qdx 1(1 x)1q0 11 q1 q1 q 0发散1 q 0k 0发散k 0ekxdx 1kekx 100k 0k发散k 0(3)sin x1 cos2xdx（其中，q,k均为常数）.sin xdx arctgcosx1cos2x发散w2.求下列极限：(1)x31tdtxlimxt2；1dtxt3dtx3xlim1x limt2dtxx2 01(2*)xlimx0arctanudu.1 x2x0arctanudu1 x2arctgxxlim1 x2xlimx23.判定下列积分的敛散性；若收敛,则求其值.(1)21x 1kdx，k为常数；k 1,发散k 1,k 02x 1kdx 11k211 k 011 k(x 1)11 k发散1 k 0.(2)10ln xdx；(3)e11x 1-ln2xdx.110lnxdx xlnx01 发散e11x 1-ln2xdx arcsinln x14.利用函数和函数的性质，以及12的结果，分别计算112，352，3.5,33.2112 9219299 7 5 3 122 2 2 2 2352 2332 32w3.5,33.536.52119 72 2 25.计算下列反常积分（提示：利用函数的定义，以及12的结果）3(1)exx20dx；(2)220exx dx.35x221x0ex dx 0 xedx (532)41x22t10ex dx te2 tdt 1200t21etdt (12)6*.考察曲线y 1x x，x1,，试求解：(1)该曲线与x轴和直线x 1所围成的平面图形的“面积”；(2)上述图形绕x周旋转一周所成旋转体的“体积”.13221xdx 2x1 2(x32)2dx 12112x12.w.第七章多元函数微积分学7.1预备知识7.2多元函数的概念1.已知点A(4,1,2)，在ox轴上找出与点A相距30的点BB(x,0,0)(x 4)2(01)2(02)2 302.求过点(1,0,3)，(2,1,2)，(4,3,7)的平面方程Ax By Cz D 03.分别写出下列区域的“x-型”与“y-型”表达形式：(1)由y x、x 2、y 1所围成的区域；x型y型D:1 x 2y x 21 y xD:1 y 2w(2)由y x2、y 2所围成的区域；x型y型D:2 x 2y x y2y 2D:x 0 y 2(3)由y2 x、y x 2所围成的区域x型D1D2y型D0 x 11:x y xD:y2 x y 21 y D:1 x 422x 2 y x4.求下列函数的定义域并画出定义域的示意图：（1）z arcsiny x22 lnln(14 4x2 y2)；y x21114 4x22 y21（2）z 1x2 y214.x2 y21 4 0 x2 y215.设f(x y,y)x22x y，求f(x,y)u x y,v yxx uuv1v,y 1vf(u,v)u2(1v2)(1v)222f(x,y)x(1 y)(1 y)26.试求下列二元函数的极限：（1）(x,ylimxy)(0,0)xy 11；xy(x,ylimxy)(0,0)xy 11(x,ylim)(0,0)xy(xy 11)2（2）x2 y2(x,y)lim(,)exyw0 x2 y2(x y)2exyexy(x 0,y 0)(x y)2T2x2 y2(x,y)lim(,)exyTlimeT 0(x,y)lim(,)exy 07*.设f(x,y)x2yx4 y2,x,y0,0，讨论f(x,y)在点(0,0)处的0,x,y0,0连续性y kx2x,y0,0 x2f(x,y)ykx4 y21 k2(xlimf(x,y)不存在，从而不连续。,y)0,0).7.3偏导数与全微分1.求下列函数在给定点处的偏导数：（1）z x x2 y3，求zx(1,2),zy(1,2)；2z23xz10 xx yx2 y3x(1,2)3z3xy2y2 x2 y3zy(1,2)2（4）u (1 xy)z，求ux(1,2,3),uy(1,2,3),uz(1,2,3)uzy(1 xy)z1xux(1,2,3)54uz1y zx(1 xy)uy(1,2,3)27u(1 xy)zzln(1 xy)uy(1,2,3)27ln32.求下列函数的指定偏导数：（1）z ln(x2 y2)，求zx；zx2xx2 y2（2）z cosx yx y，求zx；wzy 2yx sinx x y(x y)2（3）z (x sin y)xy，求zyz (x sin y)xyz exyln(xsin y)zxyln(xsin y)y exln(x sin y)xyx sin ycos y x2y3.设f(x,y),x2 y2 x2 y2 0，分别讨论f(x,y)在(0,0)处 0,x2 y2 0是否连续、是否存在偏导数x2yx2x2 y2y2xyx2(x,ylimx2y)(0,0)x2 y2 0 f(0,0),在(0,0)连续.ff(0 x,0)f(0,0)x(0,0)limx0 x 0ff(0,0 y)f(0,0)y(0,0)limy0y 0.4.求下列函数的全微分：（1）z xy yx；（2）z ey(xy1z yxln yx yx2y2)yx17.已知一矩形的长为 6 米、宽为 8 米。当长增加 5 厘米，宽减少 10 厘米时，求矩形对角线长度变化的近似值。zy x ln x xydz (yxy1 yxln y)dx (xyln x xyx1)dydz dey(x2y2)ey(x2y2)dy(x2 y2)ey(x2y2)2xydx (x2 3y2)dy5.求函数z x2y y2在点(2,1)处的全微分dz d(x2y y2)2xydx(x2 2y)dydz(2,1)4dx 6dy6.计算1.065.03的近似值z xy(x x)(yy)xy zxx zyyzx yxy1zy xyln x(1 0.06)(50.03)1 50.06 0 1.3wz x2 y2z zxx zyyzxxx2 y2zyyx2 y2z 662820.0586282(0.1)0.05.7.4多元复合函数与隐函数微分法1.求下列复合函数的偏导数或导数：）z u2（1v,u x 2y,v x 2y，求zzx,y；zz uz vxu xv x2uvu2v2zz uz v2uu2yu yv yv(2)v22（2）z eu2v,u sin x,v x3，求dzdx；dzdxz duu dxz dvv dx eu2vcosx 6x2eu2v（3）z x2 yx y,y 2x 3，求dzdx；dzff dy2x(x y)(x2 y)(x y)(x2 y)dxxy dx(x y)2(x y)22（4）z u v2lnw,u xy2,v x y,w x2 y2，求zywzz uyu yz vv yz ww y 2xylnw 2vlnwu v2w2y2.设z f(x2 y2,exy)，求z zx,yz f(x2 y2,exy)u x2 y2,v exyzxz uu xz vv x 2xf1 yexyf2zz uyz vv y 2yfxyyu 1 xef23.设f(u)可导，z xnf(yx2)，证明：xzx 2yzy nzzx nxn1f(y2yx2)xnf(u)(x3)zy xnf(u)1x2xzx 2yzy nz.4.求下列方程所确定隐函数的导数dydx：（1）xy ln y ln x 0；法1）F(x,y)xy ln y ln xy 1Fx y 1xFy x 1dyFxydx F xyx 1y法2）两边微分d(xy ln y ln x)0y 1xdy ydx 1ydy 1xxdx 0 dy x 1y法3）两边对x求导y 1y xy1yy1x 0y xx 1y（2）xy yx ln xywF(x,y)xy yxln xln yFy1 yxln y 1F1x yxy xyln x xyx1xyy1dyFyx1 yxln y xdx xF yxyln x xyx11y5.求下列二元（三元）方程所确定的隐函数y yx（z z(x,y)）的全微分：（1）exy arctanyx；dexy d arctanyxexydxy 1dyexy(ydx xdy)1xdy ydx1(y()2xy2x2x)1(x)exy(x2 y2)(ydx xdy)ydx xdydy y1exy(x2 y2)x1 exy(x2 y2)dx.（2）2xz 2xyz ln(xyz)07.5高阶偏导数111dx dy dz 0法1）微分d2xz 2xyz ln(xyz)02zdx 2xdz 2yzdx 2xzdy 2xydz 22x 2z 2yz 12xz 1dz xdx ydy2x 2xy 1z2x 2xy 1z法2）F(x,y,z)2xz 2xyz ln(xyz)F 2z 2yz 1xxF1y 2xz yF1z 2x 2xy z 2z 2yz 1zx FxxFz2x 2xy 1z1zF2xz yy Fyz2x 2xy 1zdz zzxdx ydywyz1.设z x2 y2,求 z zx2,xyzxxx2 y2x2 y2x2xyzx2 y2xx x2 y2zx2 y2xy x2 y22.设z sin(x2y),求2z2zx2,yxz 2xycos(x2xy)z2y x cos(x2y)zxx 2ycos(x2y)2x2y2sin(x2y)zyx 2xcos(x2y)2x3ysin(x2y)f(u,v)可微,z f(x2y,ln(xy),求23.设zxy.z uz v1z 2xyf f2x1u xv xxf 1 f 2z5.设z 2xz y 0，求3zxy y(zx)2xf1 2xy1y2x yf1f1 uf1 v x2yu yv yf11 1yf12f2fy2 uf2 vu yv y x2f21 1yf22代入即可。4.设f(s,t)可微,u f(2x3y,eyz)，求2uy2uu yss xu tt x3fyz1 ef22uf1yzfy2y(uy)32y eyf1f1 sf1ys y tt y3f11 eyzf12f2f2ysf2 ts yt y3f21 eyzf22代入即可。wxyd(z3 2xz y)0dz 2z3z2 2xdx 13z2 2xdyzx2zz13z2 2xy 3z2 2x2zxyzy(x)令u z2z2zzux3z2 2x f(x,z),则xyy(x)yuf z2(3z2 2xy)2z6z14xz y(3z2 2x)23z2 2x(3z2 2x)3.7.6多元函数的极值1.求f(x,y)xy xy2 x2y的极值2.求u x x2 y2在区域D(x,y)|x2 y21上的最大值与最小值3.求z xy在条件x 2y 1，x,y 0下的最值wz x2 y24.求曲线xy 1上到xoy平面距离最短的点5.假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种商品，商品在两个市场上的需求量与定价分别满足p118 2q1,p212 q2，其中p1,p2分别是该产品在两个市场上的价格(单位：万元/吨)，q1,q2分别是该产品在两个市场上的需求量(单位：吨)，且该企业生产这种产品的总成本函数为C 2(q1 q2)5。如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及统一的价格，使该企业的总利润最大化。.w.w.7.7二重积分1.将二重积分fx,ydxdy按两种次序化为累次积分，其中积分区域DD分别给定如下：（1）D由曲线y x2与直线y 1所围成；（3）D由直线y x，y 2x，x 3所围成2.交换积分次序：（1）10dxxxf(x,y)dy；（2）2dyy20y2f(x,y)dx；w（3）12xx222x0dx0f(x,y)dy 1dx0f(x,y)dy3.计算二重积分：（1）(x2 xy y2)d；|x|1,|y|1（2）0ycos(x y)d；0 xy x.（3）xyyedxdy，其中D由xy 1,x 2,y 1所围成5.画出区域D，并把f(x,y)dxdy化为极坐标系下的二次积分：DD4.计算累次积分：（1）1y20dx1xe dy；w（2）xy0dxsin0 ydy（1）D(x,y)|1 x2 y2 4；（2）D(x,y)|2x x2 y2 4x6.利用极坐标变换计算：（1）(x2 y2)dxdy，D(x,y)|1 y 1,2 x 1 y2；D.（2）(x y)dxdyx2 y2 4x7.用二重积分计算曲线y x2，y x围成的平面图形的面积8.用二重积分计算由坐标面与平面x 2y 3z 6所围立体的体积w9*.计算二重积分|x2 y2 4|dxdyx2 y2 910*.试证明下列命题：（1）若f(x),g(x)连续于a,b，则bf(x)g(x)dx2bf2(x)dxbaaag2(x)dx；.（2）若f(x),g(x)在0,1上均连续、单增，则10f(x)g(x)dx f(x)dxg(x)dx0011w.第八章无穷级数8.1常数项级数的概念和性质1.利用下列级数un的部分和Sn,求u1,u2和un以及和值S.n1(1)S3n2n3nn 1；(2)Sn4n2.判断下列级数是否收敛；若收敛，求其和值.(1)1；n1(3n 1)(3n 2)w(2)n2 nn1n22n；(3)lnnn 1n13已知级数un收敛，且和值为S，证明：n1(1)级数(un1un2)收敛，且和值为2S 2u1u2；n1(2)级数(u1n2n)收敛.n1.4利用无穷级数性质以及几何级数与调和级数的敛散性，判别下列级数的敛散性：11111(6)n3n；(2)1n；(1)5n1720202020和S a2242262321(3)(n)；(4)231333533n1n5给定级数un，有limS2n a,limun 0，试证级数un收敛，其n1nnn1w.8.2正项级数1利用比较判别法或其极限形式判别下列级数的敛散性：2利用比值判别法或根值法判别下列级数的敛散性：n(1)2nsinn15n；cos(3)1nn1n3；(5)lnnn1n；w(n4 1)；n1(4)1n2n 2lnn 1nn1(6)3nn14n 2n(1)3；n1(2n 1)!n2(3)1 n1n12nn；(5)2nn!n1nn；159(4n 3)n1258(3n 1)；(4)2n1tann14n2；(2)(2).n(6)2nx n11n3*证明：若正项级数aann收敛，则a2n与n1n1n1n均收敛w4 假设正项级数*an发散，试证：n11）级数an发散；2）级数ann11 a n2a收敛nn11n.8.3任意项级数1.判别下列级数是绝对收敛，条件收敛还是发散？(1)(1)nnn 2；n1(3)(1)n11n1n 1；(1)n12n2(5)n1n!.wcosna(n 1)2；n1(4)(1)n(1n3)；n12.判别下列交错级数的敛散性：1(1)(1)nn2n(1)n2；(2)12 112 113 113 11n 11n 1.(2).3如果级数un1n绝对收敛，试证：(1)级数n 1un绝对收敛；nn11(2)级数un收敛.nn1w2.8.4幂级数1求下列级数的收敛半径、收敛区间和收敛域：(1)5nxn；n0(2x 1)n(3)；n1n(5)2n(3)nxn.n1nw(2)n 12n12nx；n1(4)(1)nnn02n 1x；2求下列级数的收敛域，以及它们在收敛域上的和函数：(1)1n12n 1x2；n1(2)n(n 1)xn.n0.3求幂级数2n 12n22n02nx收敛域及和函数，并求n 1n02n的和.4已知级数an(2x 3)n在x 3时收敛,试讨论an(2x 3)n在以下n0n0各点处的敛散性：(1)x 0；(2)x 2；(3)x 12；(4)x 4.w5将下列函数展开成x的幂级数，并写明后者的收敛域.x)x2(1)f(1 x；(2)f(x)3x；(3)f(x)sin2x；(4)f(x)ln(43x).6求下列函数在指定点的幂级数展开式，并求收敛域.(1)f(x)11 x,x0 2；(2)f(x)ex,x0 1.第九章微分方程初步9.1微分方程的基本概念1.验证下列各函数是否为所给微分方程的通解：(1)y y ex，y x Cex；(2)y9x 10cos2t，x 2cos2t C1cos3t C2sin3t；(3)x 2yy 2x y，x2 xy y2 Cw2.验证函数y 1x 1是否为初值问题x 1y y 0，y01的解：3.验证函数y 1是否分别为：1）微分方程y 2y y 1的解；2）初值问题y 2y y 1，y01，y01的解：9.2一阶微分方程1.求下列方程的通解或在给定条件下的特解：(1)y 10 xy；(2)x xydy xy ydx 0；.(3)yy xe 0,y1 0；(4)xydyy yln；(9)yyx 1ey，y01x 1(5)x2 y2dx xydy 0；(7)y ycos x esin x；wdxx(6)y y e2x；y2dx 1 xydy 0；2.设函数yx满足方程yx3x0yt 3dt e2x，试求yx3*.设函数z fx2 y2满足方程2z2zx2y2 0，试求fx4*.设y 11352n 1xn，证明：和函数yxn12462n满足微分方(8).程方程1 xy y，并求yx2w.第十章差分方程10.1差分方程的基本概念1.计算下列差分：(1)yn2 n，求2y lnn 2，求2nn；(2)ynyn2.按教材 P330 定义10.2改写下列差分方程，并指出方程的阶数：(1)2y(2)3n5yn 3；yn3yn 2yn13.验证以下是否为数列所给方程的解（其中，C为任意常数）：(1)ynn C 3 0.3sinn20.1cosn2，yn13ynn sin2；w(2)y1n1Cn，1 ynyn1 yn10.2简单的一阶常系数差分方程的解法求下列差分方程的通解或满足给定条件的特解：(1)2y(2)ynn1 yn 3 n；n1 2yn 2；(3)2y2n1 yn 2 n，y0 4.w.【补充材料】第五章 不定积分（2011 学年第一学期内容缩编）5.1原函数与不定积分的概念5.2基本积分公式2x15x1dx；(6)(5)10 x1sin2xcosx sin xdx；1 x1 x2 cos2x)dx；dx；(8)(7)1.已知一曲线经过点(1,2)，且在其上任一点(x,y)处的切线斜率等于4x，求曲线的方程.2.求下列不定积分：(1)已知f(x)dx xe2xC,求不定积分1 2xf(x)dx；(2)已知f(x)dx arctanx C,求不定积分1f(x)dx；(3)已知f(x)dx sin2x C,求不定积分(sin x cosx)31 f(x)dx.3.求下列不定积分：(1)(2x11 x21x)dx；(2)(sin x 11 x2)dx；(3)(2x 1)2dx；(4)1 2x2xx2(1 x2)dx；w1 cos2x(9)9x2 4 9x2 481x4dx.161 x1 x.第五章自测题一、选择题1设f(x)dx x2c，则xf(1 x2)dx的结果是 A 2(1 x2)2 cB2(1 x2)2 cC12(1 x2)2cD1222(1 x)c2d(sin(12x)=Asin(12x)Bsin(12x)CC2cos(12x)CD2cos(12x)3设I ex1ex1dx，则I Aln(ex1)CBln(ex1)CC2ln(ex1)CDx2ln(ex1)C4若f(x)F(x)，则下列等式中一定成立的是 Af(x)F(x)Bf(x)F(x)CwCf(x)F(x)1DddxF(x)dx ddxf(x)dx5下列等式中不成立的是 A(x1)dx x1BdsecxdxsecxdxC(tan x)dx tan xDde2x e2xC6cosxdarcsinxarcsinxdcosxAsin xarccosxBsin xarccosx CCcosxarcsinx CDcosxarcsinx7设f(x)dx F(x)c，且x at b，则f(t)dt=AF(x)cBF(t)cC1aF(at b)cDF(at b)c8在(a,b)，f(x),g(x)均可导，且f(x)g(x)，则 Af(x)g(x)Bf(x)g(x)CCf(x)g(x)R（常数）Df(x)与g(x)之间的关系不确定二、填空题1若f(x)dx F(x)C，则f(3x5)dx.ln xC，则f(x)=xsin x3已知f(x)的一个原函数为，则xf(x)dx x2设f(x)dx ex4设y dx，则y xsin2excos2exdxdx 5不定积分xx226设f(sin x)cos x，则xf(x)dx 三、解答题1计算下列不定积分：1 x1(1)sin xdx；(2)12exdx；x4(3)x29dx；(4)xx4 x2dx；x2(5)ecos2xdx；(6)ex(1 xln x)dx；x(7)1sin2x3sin xcos xdx；(8)3x1x22x5dxw.x 02*.已知f(x)1x10 x 1，求不定积分f(x)dx.2xx 13*已知f(sin2x)xsin x，求x1 xf(x)dx.w第六章自测题一、选择题1设fx是a,b上的连续函数，则下列论断不正确是()(A)xaf(x)dx是fx的一个原函数(B)bxf(x)dx是-f(x)的一个原函数(C)baf(x)dx是fx的一个原函数(D)fx在a,b上可积2设fx是连续函数，F(x)是fx的原函数，则()(A)当fx是奇函数时，F(x)必为偶函数.(B)当fx是偶函数时，F(x)必为奇函数(C)当fx是周期函数时，F(x)必为周期函数(A)F(x)不存在(B)F(x)存在且F(x)不存在(C)F(x)存在且F(x)2 f(0)(D)F(x)存在且F(x)f(0)(D)当fx是单调递增函数时，F(x)必为单调递增函数3 设在区间a,b上，f(x)0，f(x)0，f(x)0，则下列不等式成立的是()(A)(ba)f(a)ba)f(b)af(x)dx (ba)f(2(B)(ba)f(b)bf(x)dx (ba)f(a)f(b)a2(C)(ba)f(a)f(b)b2af(x)dx (ba)f(a)(D)(ba)f(a)f(b)b2af(x)dx (ba)f(b)4设fx在(,)内为连续可导的奇函数，则下列函数中为奇函数的是()(A)sin f(x)(B)x0sin xf(t)dt(C)x0f(sint)dt(D)x0sin tf(t)dt5.设fx在(,)内连续，且在x 0时可导，且F(x)xx0f(t)dt，则下列正确的是()w6设函数f(x)有连续的导数，f(0)0，f(0)0且当x 0时，F(x)x0(sin2xsin2t)f(t)dt与xk为同阶无穷小，则k()(A)1(B)2(C)3(D)4f(x)x2t2x27已知0edt 0et2dt 1，则f(x)为()(A)正常数(B)负常数(C)零(D)非常数8已知F(x)x2sinxxesin xdx，则F(x)为()(A)正常数(B)负常数(C)零(D)非常数二、填空题1 设f(x)具 有 一 阶 连 续 导 数，且f(0)0，f(0)0，2limx0f(t)dtx0 x2x _.0f(t)dt则.2设f(x)连续，且x0tf(2xt)dt 122arctanx，已知f(1)1，则21f(x)dx _.3设f(x)ax0et(2at)dt，那么a1f(x)dx _.4设连续函数f(x)满足x0f(xt)etdt sin x，则f(x)_.三、解答题1.求下列定积分：x(1)4e2cosxsin x-cosxdx；2)4ln20 x3ex2dx；(3)a0a2 x2dx(a 0)；(4)设f(x)2x0 x 1251 x 2，求0f(x)dxw2求下列反常积分：(1)ax0ecosbxdx(a 0)；311(1 x)(x3)dx(2).3.求由抛物线y x24x3与它在点M(0,3)及点N(3,0)处的两条切线所围成图形的面积.w4.求由曲线y x及直线x 1,x 4,y 0围成图形分别绕x轴和y轴旋转形成的体积.5.设某产品的边际成本MC 2 q(万元/台)，其中q表示产量，固定成本为22(万元)，边际收益MR 20 4q(万元/台)，试求：1）总成本函数和总收益函数；2）获得最大利润时的产量；3）达到上述最大利润后，又多生产了 4 台，此时总利润的近似变化值w.w.第七章自测题一、选择题1极限(x,y)lim(xf(x,y)存在的充分条件是.0,y0)A 点P(x,y)沿无穷条路径趋于点P0(x0,y0)时，f(x,y)的极限均存在且相等Bfx(x0,y0),fy(x0,y